二次函數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

1、二次函數(shù)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a0，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù)yax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次多項(xiàng)式。（含自變量的代數(shù)式是整式，自變量的最高次數(shù)是2， 二次項(xiàng)系數(shù)不為0.） 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的基本形式1. yax2的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)（增減性）向上（0，0）軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下（0，0）軸時(shí)

2、，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值2. yax2k的性質(zhì)： （k上加下減）的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)（增減性）向上（0，k）y軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值k向下（0，k）軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值k3. ya（x-h）2的性質(zhì)： （h左加右減）的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)（增減性）向上（h，0）直線x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下（h，0）直線x=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值4. ya (xh)2k的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)（增減性）向上（h，k

3、）直線x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下（h，k）直線x=h時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值5. yax2+bx+c的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)（增減性）向上直線時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下直線時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值三、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項(xiàng)系數(shù)a. (決定了拋物線開口的大小和方向)二次函數(shù)中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下；的絕對(duì)值越大，開口越小，反之的絕對(duì)值越小，開口越大。總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方

4、向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù)b （a和b共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置） .拋物線的對(duì)稱軸是直線，故：時(shí)，對(duì)稱軸為軸； （即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)； （即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè). ab的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異” 3. 常數(shù)項(xiàng)c (決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置) 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線

5、就是唯一確定的四、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）沿x軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）五、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中六、二次函數(shù)圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖

6、.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).七、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變

7、化，因此永遠(yuǎn)不變八、二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡(jiǎn)便一般來說，有如下幾種情況：1. 一般式：（，為常數(shù)，），適用條件：已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 頂點(diǎn)式：（，為常數(shù)，），適用條件：已知圖像上點(diǎn)兩坐標(biāo)，且其中一點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3. 交點(diǎn)式（兩根式）：（，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）， 適用條件：已知圖像上三點(diǎn)坐標(biāo)，其中兩點(diǎn)為拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)（，0），（，0），一般選用交點(diǎn)式；九、二次函數(shù)的最值 如果自變量的取值范圍是全

8、體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時(shí)，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時(shí)，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。十、 掌握二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系(以a>0為例，a<0請(qǐng)同學(xué)們自己補(bǔ)充)判別式 二次函數(shù)a>0對(duì)稱軸：交點(diǎn)式：當(dāng)x為全體實(shí)數(shù)時(shí)，y>0二次函數(shù)a<0一元二次方程 兩根為（有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根）（有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根）無實(shí)根拋物線上兩點(diǎn)，則拋

9、物線對(duì)稱軸為直線十一、函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)應(yīng)用十二、二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲道庙旤c(diǎn)坐標(biāo)公式，即當(dāng)時(shí)，；或先配方利用頂點(diǎn)式求最值。 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號(hào)，或由二次函數(shù)中，的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型1、 已知以為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)， 則的值是 -1 2寫出一個(gè)開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，-3）的函數(shù)解析式 。3. 將二次函數(shù)配成

10、的形式是_.4拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是_（2，0）、 (3,0) .5. 已知函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，y5,則x1時(shí)，y的值是_1_。6王翔同學(xué)在一次跳高訓(xùn)練中采用了背躍式，跳躍路線正好和拋物線相吻合，那么他能跳過的最大高度為 _m7.將拋物線的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線是（ B ）。A B C D8下列描述拋物線的開口方向及其最值情況正確的是（C）。A開口向上，y有最大值 B開口向上，y有最小值 ABDC C開口向下，y有最大值 D開口向下，y有最小值 9如圖，一邊靠墻（墻有足夠長(zhǎng)），其他三邊用12米長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形（ABCD）花園，這個(gè)花園的最大面積是（ 18 ）平

11、方米。10、如圖，如果函數(shù)的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)的圖像大致是（ B ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D11、二次函數(shù)的圖像如圖1，則點(diǎn)在（ D ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限12、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：a、b同號(hào)；當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；4a+b=0；當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是（B ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 圖（1） 圖（2） 13、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2，O)、(x1，0)，且1<x1&

12、lt;2，與y軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(O，2)的下方下列結(jié)論：a<b<0；2a+c>O；4a+c<O；2a-b+1>O，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(D ) A 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D4個(gè)14、已知：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個(gè)根為x=2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(C )A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 15、你知道嗎?平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4 m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的

13、手水平距離1m、25 m處繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過他們的頭頂已知學(xué)生丙的身高是15 m，則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)( B )A15 m B1625 m C166 m D167 m 16、已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為，求這條拋物線的解析式。17、已知拋物線（a0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1、3，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).18、已知拋物線y=x2+x-（1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸（2）若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，求線段AB的長(zhǎng)19、如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過

14、A 、B、C三點(diǎn).（1）觀察圖象，寫出A 、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線解析式;（2）求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸;-14yxAB5O（3）觀察圖象，當(dāng)x取何值時(shí)，y0？y0？y0?20、已知拋物線y=x2+（2k+1）x-k2+k(1) 求證：此拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）設(shè)A（x1，0）和B（x2，0）是此拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，且滿足x12+x22= -2k2+2k+1，求拋物線的解析式此拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使PAB的面積等于3，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由?！窘馕觥?1)=(2k+1)²-4*1*（-k²+k)=8k²+1

15、0 恒成立此拋物線線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（2）x1²+x2²=-2k²+2k+1 x1+x2=-b/a=2k+1 x1*x2=c/a=-k²+kx1²+x2²=（x1+x2）²-2x1x2=（2k+1）²-2（-k²+k）=6K²+2k+1=-2k²+2k+1解得 k=0 拋物線的解析式是y=x²+x點(diǎn)A和點(diǎn)B是拋物線y=x²+x與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)由x²+x=0 ，得 x1=-1，x2=0則AB=1又PAB的面積等于3 設(shè)P（x，y）S=（1/2）*1*

16、y=3 則y=6由x²+x=6，得x1=2，x2=-3即P1（2，6） 或P2（-3，6）21、如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動(dòng)，直到AB與CD重合設(shè)x秒時(shí)，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2（1）寫出y與x的關(guān)系式；（2）當(dāng)x=2，3.5時(shí)，y分別是多少？（3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)，三角形移動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸.22、某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù) （1）求出日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （2）要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b則 解得k=-1，b=40，即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40 （2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤(rùn)為w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225 產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，此時(shí)每日獲得最大銷售利潤(rùn)為225元23. 如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A