威布爾分布壽命分析

1、威布爾和極值分布的推斷方法這-章將對威布爾分布討論其統(tǒng)計方法。威布爾密度函數(shù)是 # # II其中00和a>0是參數(shù)，經(jīng)常分別稱它們?yōu)樵摲植嫉男螤顓?shù) 和尺度參如代替威布爾分布的-種更方便的形式是與其等價的 極值分布，其密度函數(shù)為./Ci川)=eT(-,i").(402)其中 » （一8<“<乂）和b （6>0）是參數(shù)。就像在L 32節(jié)中指出的那樣，假如丁有密度函數(shù)（40.1）,那未X=logT有密度函 數(shù)（4.0. 2）,其中u=oga和円研究極值分布更方便，主要是由于“和0是位置參數(shù)和尺度參數(shù)這個事實，從-個分布導出 的任結(jié)果很容易轉(zhuǎn)換到另-個分布

2、上去。威布爾分布在實際中是很重耍的壽命分布，大量射方法的 文獻都是由此分布引岀的。關(guān)于威布爾分布的很多文章都涉及它 的統(tǒng)計性質(zhì)。一般說來，由于對（4.0.1）的0和a,或與之等價 的（4.0.2）的"和0沒有二維充分統(tǒng)計量，從而使產(chǎn)生估計量的 統(tǒng)就很多。此外，與威布爾分布和極值分布有關(guān)的多數(shù)估計量 和其它統(tǒng)計量的分布在數(shù)學上是難于處理的.這就導致多方面的研究如為便于推斷而編制用表；對某種類型估計尋求近似分布。 幸運地妊相對便于使用的好的統(tǒng)計方法已有一些，多謝高速計算 機幫助其實現(xiàn)。涉及型截尾數(shù)據(jù)的問題將首先討論，接著進行I型截尾數(shù) 據(jù)的推斷然后是威布爾分布的比較和其它專題。4-1單樣

3、本：完全或"型截尾數(shù)據(jù)對完全的或R型截尾數(shù)據(jù)來說，統(tǒng)計理論及其各種方法都是 較為成熟的，盡管他們在數(shù)學上和在計算上都是復雜的。設(shè)右 冬仃是來自威布爾分布（4（）1）的容量為九的隨機樣本中前廠個最小觀察值,或者等價地假設(shè)"W冬片是來自（4.0.2）的容量為n的樣本中前r個最小觀察值,其中* = 】og珀。（為方便起見.我們將在如和工"的卜標數(shù)字上省略括號，除非另外指定。在 這節(jié)中兀表示第個最小觀察值用（141）可得q,.卩 的聯(lián)合密度函數(shù)為（二;門（Q +嚴7"exp （宀 心討exp （2。山）（4. 1. 1） 這就定義了立和5的似然函數(shù)9同時可看出，

4、G,.易）是這 個樣本的最小充分統(tǒng)計量oU和5的點估計將先討論，然后討論檢驗和區(qū)間估計，推導和 結(jié)果將主要用極值分布語言給出。411點估計極大似然估計從（411）可以取出如下的似然函數(shù) 143 這里我們引出一個有用的記號，對任意序列炒，記rr：® =+(一 r)w, i= 1i i對數(shù)似然函數(shù)是logLCw ,6) rlogZ? 4- £：飛xp玉（4-1 4） m. L e,矗和&叮同時解方程?oL/du 0和31ogl/巧=（）得到? 為此，一個簡便的途徑是令（4h3）為0,給出將此式代入方程刁1。屛/笳=0,可得(416)為了尋找立和人可以確定&作為（

5、4.1.6）的解，然后從（4.1.5）得到譏由于（416）不能解出厶的明顯表達式，故某些數(shù)值方法必需采用。使用疊代法，譬如牛頓法（見附錄F）,給出（416）的解是沒有困難的。威布爾參數(shù)"和a的m. Le,是&=expz；和'、假如有必 要，極大似然方程CL1-5）和（416）可以改寫為威布爾形式, 然后直接解岀&和可是這樣做沒有特別方便之處，其壘后方程 是 145 (4<b7)(4. L 8)£ *亦可參見可靠性試驗用表（增訂本），國防工業(yè)出版社，1987 澤者注。 144 £ 7 - 4占 £ 1。筋=°i Mi

6、 -1線性估計 威布爾或極值分布的參數(shù)的極大似然估計是直接獲得的，這常需要用計算機去解方程（416）或C4-1-8）,不用計算機就可 完成估計的計算有時是很方便的。在這方面宀和b的線性估計常 被采用他們是形如u=工廠）不7= 1（4. 1.9） rb=的估計其中諸血和&是常系數(shù)，它們依賴于廠和心 當給出諸 e和心后9線性估計很容易算得，然而對大多數(shù)最好的線性估計 沒有簡單公式能以廠和挖形式給出諸彳和這樣一來，必須要 構(gòu)造系數(shù)值的表J最好線性無偏估計（b.Lu.x）,即在線性無 偏估計類中具有最小方差的估計，可以從位置和尺度參數(shù)的線性 估計的一般結(jié)果中獲得(Lloyd 1952 ； Ke

7、ndall 和 Stuart 1967, P（1956）和其他人曾8791;亦可見問題 41)9 Lieblein 和Zelen 對極值分布導出這樣的估計。另外，Mann （1967a）考慮了統(tǒng)和6的最好線性同變估計（b.l.i.eQ,這種估計在線性估計類中擁有 最小均方誤差，且（均方誤差/h2在對諸無作位置尺度變換下是 不變的。對于這二類估計確定（4-1.9）中諸血和e,要求先算出標 準極值分布次序統(tǒng)計量的均值，方差和協(xié)方差（見問題4.1）,Mann等人（1974.第5章）對極值分布給岀了線性估計很好的討論，Sarhan 和 Greenberg (1962)和 David (1970)對線性

8、估計作了一般地討論。對小到中樣本來說，b. 1ic.大概是最方便的。這些估計的系 數(shù)“6, r)和c.(n,r)的表是容易得到的：Mann仃967a)和Mann 等人(1974, ppl94-207)對的樣本給出了表，Mann(1967b)對2WW5給出了表,bLie作為u與b的點估計可以和m.Le.進行比較。兩者都是漸近有效的，在小到中樣本場 合它們都有類似的性質(zhì)，blie更容易計算，雖然它們現(xiàn)在只能 對”£25的樣本使用，因為超出這個范圍還沒有這樣的表。無論 如何容易計算不應(yīng)成為壓倒一切的理由。事實上，由于極大似 然估計也可用于1型截尾數(shù)據(jù)，而線性估計一般是不能的，因此,任何人，

9、只要他經(jīng)常使用威布爾模型、且數(shù)據(jù)常常是I型截尾的, 計在I型截尾數(shù)據(jù)場合總是被優(yōu)先使用他就需要有計算極大似然估計的程序。無論nU.還是線性估在文獻中還有很多其它的線性估計被提岀來。DAgostino (1971和另一些人討論了 bL u, e.和b. L i. e的近似式,很多作 者提出這樣的線性估計，它所需的表要比b1. iie.或b1. i. e.的 表要小得多。Mann等人(1974,第5章)，Mann和Fertig(1977)和Engelhardt和Bain (1977a)研究了其中最好的。兩個這樣的估計將在41. 2d節(jié)中討論、在那里它們將用來獲得“和6 的置信區(qū)間。最后，Thoma

10、s和Wilson (1972)討論了逐步增加的I型截尾樣本的線性估計。有時我們希望很怏或很容易地計算出”和6的估計。譬如，為 了計算ml巴的*和&時，對A的值要有一個初始的予測。這時 可以利用簡單的線性估計，如在412d節(jié)中討論的估計，或它們 的最小二乘估計。另一種可能性就是利用概率紙得其圖估計。它 們的一般敘述已在2.4.2節(jié)中給岀。這里讓我們對極值分布簡要 地回顧一下全過程。假如-張概率紙就像2.4.2節(jié)那樣已被構(gòu)造 出來，那么對概率紙上的點擬合一條直線，用此擬合直線即可獲 145 得次和"的估計。這條直線可以用最小二乘法做出(見25節(jié);White, 1969),但常用目

11、測來擬合這條線因為極值分布的生存函數(shù)滿足log SgS=(XU)/久擬合的直線將有方程Y log logS (jt)=(rr "J /b這條直線的斜率濟可估計“久軸上的截距“I可估計"當極 值分布概率紙用S&)作刻度時7的截距是用擬合直線與直線y =0的交點給出的。這時對應(yīng)的S(n) = e 1 = 0- 368。圖估計和其它估計方法nJ以用下面的例子來說明。例4I (例24Z再考察)Mann和Fertig (1973)給出飛 機零件的失效時間，在這個壽命試驗中共有13個零件參與試驗, 試驗是在第10個零件發(fā)生失效時結(jié)束。失效時間(小時)是022, 0. 50, 0

12、.88, 1.00, 132 133, 1-54, 1, 76, 2 50 和 3 00,設(shè)這些數(shù)據(jù)來自威布爾分布讓我們利用前面所敘述的各種估訃方法。為了計算線性估計我們把這些數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成極值形式"0 個觀察值的對數(shù)分別是】5彳4 0. 693類似數(shù)表町柱町靠性試驗用表査得該書于1978年由國防工業(yè)出版社出版 增訂本一譯者注。 012& 0, 0278, 0.285, 0. 432. 0.565, 0.916 和 1099。利用 Mann 等人( 1974) 的表53可得必要的數(shù)* ,我們可算得b.L i匕如下莎一一0 002927(- 1. 541) + -I 0, 6153

13、48(1. 099)-0. 873萬二一0 083170(-1. 541)斗T 0 528441(1. 099) = 0.715這個例子的圖估計曾在例2. 4.2中描述過。在那里憑目測在 概率紙上畫岀直線，然后得到的估計為五=077和6-0. 69。為了確定in丄e我們先要對b用迭代法解方程(4116) °以 圖估計069作為初始的預測值，如用牛頓法只需二次疊代就給出 m1.譏=0706,然后由(41. 5)算出必=0. 821。壽命分布其它特征的估計可直接從參數(shù)估計獲得。譬如.若 用五和乙估計“和氛那么P分位數(shù)心=“+方log log fl p） 可以用=丑+弘g Tog （】-p

14、）去估計。假如在這當中使用 的是"和5的m. Le.那么最后的估計當然是相應(yīng)量的mJ.已.比和6的blie與b1u. e相應(yīng)導出的也是可的b.l.i.e.與b.Lue，但是，假如用這二類估計來求諸如S3。） = exp（-一必）之類的估計，那么最后的估計顯然不具有線性也不具有 原來估計的某些其它性質(zhì)。4-L2置信區(qū)間和檢驗獲得位置和尺度參數(shù)的置信區(qū)間的一般方法是眾所周知的, 然而當分布不同于正態(tài)分布時，數(shù)學上和計算上難于處理是常常 遇到的問題。這些問題在附錄G中已進行了討論。但為了敘述方 便，仍把這些內(nèi)容在應(yīng)用到極值分布之前在4.1.2a節(jié)中作回 顧。顯著性檢驗不作詳細的討論，但它很

15、容易從構(gòu)造置信區(qū)間的 樞軸量得到。給出s b和心的置信區(qū)間的幾個方法將在4b 2b, c和d等節(jié)中討論，生存函數(shù)的估計將在4l2e節(jié)中討論。4l2a位置和尺度參數(shù)的置信區(qū)間考察具有位置參數(shù)«（-<w<oo）和尺度參數(shù)b （6>0）的 分布族，其密度函數(shù)形式為（8<久 <8）（4110）X Ub生存函數(shù)為G3f/$,其中G（y） = gMdz丿y設(shè)是一個I型截尾樣本，它就是來自（41W）的容量為九的樣本的前廠個最小觀察值。命五=五5心）和方=（勸，乙）是"和方的估計，且具有如下同變性質(zhì)五（/乂+“皿27 +刃=的（文|,（41. ）1）bdx +

16、 ce>dxT + c）=勿（，皿）（4 1. 12） 147 其中C （一和/ W0）是任意實常數(shù)。這樣的估計常 命名為“同變的=要求（4【11）和（41- 12）成立只是由于對 數(shù)據(jù)施行位置和尺度轉(zhuǎn)換將對S誘導出相同的位置和尺度轉(zhuǎn)換. 而對石只誘導出相同的尺度變換。這些對位置和尺度參數(shù)的估計 來說都是自然的要求。在411節(jié)中討論的所有點估計都可以證 明滿足4- hll和（4.1- 12）（見問題42。下面的定理在附錄G中給出證明見定理G2）：定理4. 11假如往和乙是基于來自（410）的I型截尾樣 本心£=斗的同變估計，那么（i） Zj = （u u）/b, Z2 = h/

17、b 和 Z3 = （S u）/b 是樞軸量。 （“）諸量心=a征）/E是一組輔助統(tǒng)計量（即是這樣的統(tǒng) 計量，它的分布不依賴于"或6），其中只有廠一2個是西數(shù)獨立的?；谝粚μ貏e的同變估計的樞軸量乙和乙可以用來構(gòu)造比 和b的置信區(qū)間。譬如，若人和僉是這樣的量，它們使PrUi W Z、 £/=廠，那么，S-Z16）是“的丫置信區(qū)間，類似地， 假如，Pr （f 1WZ2WZ2=丁，那么（萬/血，呂2是力的y置信區(qū)間。 對分布的分位數(shù)的置信區(qū)間亦可得到。（4. L10）的p分位數(shù)是 旳 = “+3，其中s滿足G （wp =1一，樞軸量(413)刁（2u） Wpb_ uxz尸b=r可

18、以用來給出®的置信區(qū)間，因為匕=孑意味著 Pr （五一冷M燈冬莎一厶刃=兒它給岀叭的F置信區(qū)間（證一妙, 狂一Z#）。而乙，是樞軸量，這可從Zp = Z-uZi'中看岀。雖然趙或可的置信區(qū)間原則上可以從樞軸量Zi，z2和乙 得到但實際的困難在于它們的分布是非常復雜的。下面的定理 在附錄G中給出（見定理G3）°定理4- 1.2命五和3是在定理411條件下的“和&的同 變估計.那么Z2, 5，2的聯(lián)合密度函數(shù)有如下形式 148 +巧乞）Ga2 +釣之2）"（4114）其中k（a.r,n）僅是5,，a, 2廠和氏的函數(shù)。在給定*=（5 ，g）下（Z“乙）

19、的條件密度函數(shù)同樣冇4114）形式。表達式（4打4）是任一模型中乙,Z2, ” 皿"的聯(lián)合 密度甌數(shù)形式。不幸地，除正態(tài)分布的無截尾樣本情況之外, （4114）中的諸/不可能被積掉，這表明不能獲得乙和乙分布 的解析表達式。極值分布場合下的這項結(jié)果將在4l2c節(jié)中討 論。還有一點需要指岀，除正態(tài)分布的無截尾樣本外，畏有一對 估計五和0是形如（4-1.10）的模型中羿和方的充分統(tǒng)計量。這一 點已在4- 1. 1節(jié)中對極值分布作了注釋。然而有r-2維輔助統(tǒng)計 量，嚴格地說，我們應(yīng)在給定獨的觀察值的條件下作推斷（見附錄 G）,即置信區(qū)間可以從給定R時，乙，乙或乙的條件分布得到。 譬如，為了給

20、出弐的置信區(qū)間，我們需找這樣的右和厶，使得Pr （ZjZj/Ja） =/（415）雖然這看上去似乎在推斷中增加了復雜性，但它使得（41-15）的 概率計算要比無條件概率Pr （AWZWQ的計算容易很多。這種得到置信區(qū)間的條件方法將在4b 2b節(jié)中討論，其它方 法將在412c和d中給出° 一般位置一尺度參數(shù)模型中的條件方 法進-步的討論在附錄G和本書所引的文獻中。Lawless （1 978）綜述了這個領(lǐng)域的研究工作和有關(guān)極值分布的專門文獻。對極值分布來說，條件方法有在任何給定情況下都能夠獲得置信區(qū)間的優(yōu)點，當然，要做到這一點需要有一臺計算機。對某 些問題可用一些更簡單的方法，這些方法

21、將敘述在4；2c和d節(jié) 中。4l2f節(jié)將對方法的選擇作出某些評論。42b用條件方法獲得的置信區(qū)間命狂和乙是基于I型截尾樣本的“和b的同變估計。極值分布(1. 0. 2)有形如<1. b )0)的密度函數(shù)，其中g(shù)(y) -cxp(v- e-y)和 G(.y) = exp(- )。從定理 4- 1< 2 可推得，7 u - u)/b 和ZH在給足a時的密度函數(shù)有如下形式y(tǒng)Tk1 (atr,n)z2r_Texp 丫 (atz2 卜2冋)一工 '卅2"旬f = 1"(4 b 16) 這電我們再-次采用在41-1節(jié)中引岀的記號沙7>=)i= IWf + (n

22、 - r)wr # 從(4. b 16)我們可以在條件a下推得Z】，Zp和乙中枉個的邊緣分布。下面定理中的結(jié)果是Lawless (1972, 1975)給出的(也 nJ*見 Lawless、 1978)。定理 4- L 3 命乙=(2心)/5=(uu wfib)/b 和乙=b/b 其中s嚴log C-log (1-/>),玄和厶是基于I型截尾樣本4冬 竝的蛀和b的同變估計，這個截尾樣本是來自極值分布 (402), at(工匚一五)/人t- 1 f.廠9那末(i)紿定獨下，N的條件密度函數(shù)冇如下形式h2z ja)=(a,r它exp (z 1)；°J>=i # # (4.1.

23、17(ii)在給定R下彳7農(nóng)的條件分布函數(shù)是Pt(乙 < /|a)= # # (4. b 18)其中1 (n 5)是不完全珈瑪函數(shù)(£12。在給定&下，Z|的分布數(shù)可在(4】18)式中命3戶=0給出。 # # 證明 (O為得(4117)我們對(41. 16)求場的積分 # 可得<x>如（|a z（a,roc+ rzxz2 &嚴2嚴坷 dz/-1,=|可得frA2（z2|a） = _kf （a,rtn）exp（工Jz廠/（另 K勺門八廠） e = i 1這實質(zhì)上就是（4117）,為以后數(shù)值計算方便這里把幾項合并為一個新的常數(shù)<ii）對（4116）

24、求勺的積分不可能有解析式，于是我們在 給定«下求Zp的分布函數(shù)。在給定3下，Z2和Z嚴乙一w?Z2-的 聯(lián)合密度函數(shù)容易從（4J.16）得到（另（a樣2 + z2zp + wr）* （=】一*exp（2 + z2zp + U7）其中引>0,一在給定a下，Z”的分布函數(shù)是Pr（ZpQ|Qh（zf>2）dzpciz2cr. 151 # 作變量替換夕=£補勺£“嚴"“r I可得Pr（乙 £ /|a）=（a,r2exp（；_ia乂2 + r7Vp）（2=1$吧®）yr xeydy dz2 a其中t" (5?嚴勺)exp稍

25、作整理就可給出5118)1:1“為構(gòu)造s b或的置信區(qū)間，必需獲得ZirZ2或S的分位 點。這些容易從定理413的結(jié)果中算出，不過對(4li7)求 積分和計算(4b 18)的值都需要數(shù)值積分。這些將在例4L 2中 敘述。可以看出(見附錄G),不同的同變估計對給定的樣本可產(chǎn) 生相同的置信區(qū)間。因此用什么樣的估計去構(gòu)造樞軸量和氏是不 重要的。由于計算機對數(shù)值積分是必需的，因此還是獲猖和使用 mH.e.為好盡管任一個同變估計也都能滿足需要。要指出，雖 然A(z2a)含有未知常數(shù)&3、廠"),這是可以用九(訃)的積分 為1算出的。這個方法的操作將在下面例子中清楚地看岀。例412 下述

26、數(shù)據(jù)由lawless (1975, p. 258)給出.其 九= 40.廠=28, 極值形式的諸觀察值益是一2 982,2 849, N 546,_2 350,-1 983, 一1 492, 1 443 一 1394,-1386,-1 269,7 195, 】 174, 0 845,-0. 620 一0576. 0548,0 247,-0- 195,-0.056,0 013,-0. 006 0.033,0.037,0.046,0084,0221,0245。0.296我們將在mJ. e的基礎(chǔ)上作出樞軸量和輔助統(tǒng)計量。m1巴 算岀為 = 0.1563和& = 0.9104.然后輔助統(tǒng)計量被

27、定義為 么=3 01563)/0. 9104山=1.28。在計算幾個置信區(qū)間前讓 我們先考慮以后計算需要的量。所有的Q,都可算得，而在 (4L17)中的常數(shù)缸a*曲)是可知道的。這可以從下式中算岀f ft2(z |a)rfz = 1J 0它意味著i(a,r,n) = J z'-】exp( (z I)(4 b 19) 在（41.19）中的被積函數(shù)是性質(zhì)很好的函數(shù)，它的積分很容易在 數(shù)值上計算岀來。一個簡單方法是檢查被積函數(shù),確定一個區(qū)域 心埶,使得位于右和d2之外的累計值可以忽略不計。然后 一個簡單的數(shù)值方法，如辛普森法，可用來計算這個積分當在這 里釆用n 1.巳時，就兒乎沒有必要考慮在

28、0到10之外區(qū)域上的 被積函數(shù)。在獲得Ka>r<n）之后,利用(4 L20)Pr（Zz < Z|a） = hz（z）dz0我們很容易地確定Z2的百分點。使（4.1.20）等于y的精確百分 點Z=Z"可以用重復試算的方法獲得。得到乙的百分點要對（4-1.18）進行類似的計算。這個積分 在很多方面與積分（4.1.20）相同。因為 DM 1 ,積分 （4118）永遠小于或等于積分（4120）.不完全珈瑪函數(shù)/ （廠. $）的計算在附錄B中有討論。最后指岀，假如對”或6的某個特 定值希望進行顯著性檢驗，那就只需要對Z2或Zp計算單個概率 即可?，F(xiàn)讓我們冋到我們的數(shù)值例子上來

29、。很快會看到，在這個問 題中.在（4.1.19）中的被積函數(shù)之下與在區(qū)域（0, 3）之外的 面稅是可以忽略不計的，用數(shù)值積分方法，位于被積函數(shù)之下的 .總面積為0.4355,于是& （給廠，n） =22961。現(xiàn)我們有個完 整的密度函數(shù)h2（z»）,干是可對Z2，Z|或乙計算任何一個想要 得到的概率。譬如我們想要得到6的0. 90的雙側(cè)置信區(qū)間，可用 數(shù)值方法對屁（?。┻M行積分，可以確定Pr（Z2<0.713|a）= 0. 05 和 Pr（Z2 < 1.257|a） = O 95 ,于是Pr（O 713 冬刃6 冬 1 257 |a） = 0 90從觀察值&

30、;=09104可得0724冬燉277,這就是6的090置 信區(qū)亂假如我們還想得到r的095置信下限。從（4.1.18）找到 153 Pr(Zal0<3- 153|a) = 0 95這里不.尸 3-畑J /從于是xo.w>u-1536是想要得到的 置信區(qū)間，它給出心我孑一2.714,這就是算得的區(qū)間。條件方法的一個優(yōu)點是可用來獲得或可的置信區(qū)間，而 不管D型截尾樣本的大小。它也可以獲得其它特征量的置信區(qū)間 如生存函數(shù)（見4. 12e節(jié)），也可用來處理逐步增多的H型截尾數(shù) 據(jù)。這個方法是直接的.但因它要求數(shù)值積分，這必須在計算機 上進行這里所要求的計算在-臺交換計算設(shè)備上進行是很方便

31、的.Lawless （1978）對此有幾點附加的忠告并提及一個FORTRAN 程序使用者用此程序只要給岀很少的輸入就可算岀置信 區(qū)間。在某些場合，需要比條件方法計算更少的方法。在下面二卩 將討論這些方法。4- 12c荻得精確置信區(qū)間的其它方法 基于樞軸量條件分布（給定Q下）的置信區(qū)間可以用基于樞軸的同變估計來構(gòu)造樞軸量是不重要的,但在無條件方法中則不然, 它要優(yōu)先利用具有好性質(zhì)的估計量。也就是用這樣的估計量，它 的抽樣分布愈集中在參數(shù)周圍愈好。對待估的極值參數(shù)M和6已提出幾種方法。阪rm （196%）和Mann和Fertig （1S73）考慮基于m和6的b> L L e的樞軸量。Thom

32、an等人（1969）和McCool （1970）提出基于m. 1e的樞軸量。困難是在這二種場合F2】，乙和乙的分布在數(shù)學上難于處 理，于是就不可能用解析形式去表示精確的百分點。而可能的是 用蒙得卡羅方法去產(chǎn)生各百分點近似估計。在這方面就需要構(gòu)造 （近似）百分點的表。這個基本思想如下所述：因為Z?和乙 是樞軸量，它們的分布（對給定的廠和小對極值分布的“和6的 無論什么值都是相同的。當比=0,和6=1時，樞軸量成為E_log _log (1 />) b臂如.?的分布町以用計算機上產(chǎn)生的標準極值分布(" = 0, b =1)的樣本作出估計。這樣的樣本可以產(chǎn)生很多(在這里可用40000

33、 個樣本),對每個樣本計算五和人然后得到Z,=u/b的值。這樣 我們町以得到Z的分布的個很好的估計。Z?和乙的分布可以 類似地估計岀來。下面的百分點表是用蒙得卡羅方法產(chǎn)生的，所用的樞軸量是基于bL ie或mL efl1-基于b.LLe的樞軸量：Mann等人(1971)對3冬廠態(tài)斤冬 25的樣本給岀了久乙和Zp "=0010.05, 0.10)的百分點 表.這樣的表也在Mann &. Fertig (1973)和Mun等人(1974, 第5章)中給岀，不過僅對3WrM“gl3的樣本，而對乙僅為 />=6 05 和 0 10。2基于mle的樞軸量：Thoman等人(1969

34、)對樣本量n£120的完全樣本給岀Z】和乙的百分點表。Thoman等人 (1970)對樣本量100的完全樣本給出生存函數(shù)的置信區(qū)間,對 于截尾樣本，Billmann等人(1972)給出了類似的表，但這些表 相當稀疏，只含有力=40. 60, 80, 100, 120和廠=O75“ 050n的樣本，但用插值法可以一定的精度得到一些附加值。最后9 McCool (1970, 1974)對Z, Z2 和 ZP (/»=0-0b 0.10, 0- 50)給 岀廠和刀的17種組合的表。這些(廠，兀)組合是” =5 (廠=3, 5).刀=10 (r3» 5, 10),用=15

35、 6=5，10, 15), x = 20，(廠= 5, 10, 15. 20)和“ =30 &=5, 10, 15, 20, 30)。造出這樣的表是很昂貴的，因為第一個廠和值的組合都必 須分開處理。因此沒有亠張表能包含實際中可能出現(xiàn)的所有樣本 量。此外這些表要占據(jù)相當大的空間，且不能集中于一頁上。雖 然如此，使用它們還是很方便的誰大量使用威布爾分布，誰就 應(yīng)設(shè)法得到它們的拷貝。155F面二個例子將說明如何使用這些表。例413例4h 1再考察在例411中給出的數(shù)據(jù)是飛 行器零件的失效時間，它們是死=13和廠=10的D型截尾樣本。它 們的對數(shù)壽命假設(shè)有極值分布。我們希望得到“和0的090雙

36、側(cè) 置信區(qū)間和工.0的095冒信卜限。在上而所列的表中由Mann &. FeMg給出的表含有n-13和 廠二0的樣本。這些表是基丁乜和的bJ.i.c和乙構(gòu)造岀來的° 從Mann等人(1974)的表575&和510中我們可以找到(l)Pr(O< 52<Z?< K4O) = 0. 90 ,<2) Pr(- 0. 72 W Zi £ 0- 58) = 0 90 ,(3) Pr(Z01<J M 4 37) = 095 °其中 = (2- w) /b9 Z2=b/b 和 Zai嚴U 這些式 子給出的置信區(qū)間是(1) 6/l<

37、;40S/0. 52 <2) a-0.586<w5 + 0. lib. u-4- 375jr0 l0以觀察值2 = 0-873和宀0715代入，可順次得到0.5110=1- 375, 0. 458冬388 和_2 252W如.叭這些置信區(qū)間可以轉(zhuǎn)換到柑應(yīng)威布爾分布參數(shù)和特征量的置 信區(qū)間。譬如威布爾分布(或壽命)的0J0分位數(shù)是心山=expso、于是".io的 0. 95 置信下限是exp(2252) = 0.105。例4 1.4作為第二個例子，我們考察從極值分布來的八=20 和廠=10的B型截尾樣本：357, 255. 2O2, L 66» L 36 115,

38、 -095, -077, 0 61 今一0.45。在這個場合，為得到置信區(qū)間我們可用下面二個表中任一個：基 于m.l.e,并由McCool(1974)給出的表和基于h Li. e,并由 Mann等人(1971)給岀的表。讓我們對每一種情況都計算各自的 估計，并且為了進一步比較也讓我們用41.2b節(jié)的條件方法給岀 156 置信區(qū)間。從給定數(shù)據(jù)可算得e為K _0M2和兒0907. 其b.I.i.e.為五一 0- 048 和&0.915.利用Mann 等人(1971)和 McCool (1974)給出的ZZ?和Zo.w的分位數(shù)表,對n 2Q和廠 一】0我們叩得幾"和航衛(wèi)的09。的雙

39、側(cè)置信區(qū)間，結(jié)果列于表沒有實質(zhì)上的差別。表4 11411中。用條件方法所得的置信區(qū)間同樣可以獲得。為了進行比 較，各種置信限都僅給出二位小數(shù)，因為這些表的精度不能支持 更精確的比較?？汕宄乜闯?，在這個例子中的三種方法的結(jié)果Bic樞軸量MJ.e.樞軸量條件方法0-64<Kh82（）89-376航我冬一151064總©81一 05禺0903. 74如|忑一1490 65W6W1.83050總90 一376丸加 151三種方法得到的090雙側(cè)置信區(qū)間在很多場合，基于b丄i匕和m丄e.的樞軸量的無條件分布 所得的結(jié)果間只有很小的差別，而它與用條件方法得到的結(jié)果間 也只有很小的差別.差

40、別發(fā)生在小樣本或重截尾樣本等情形。但 對幾乎所有的實用目的這些方法是大致相同的,4.1.2/節(jié)含有贊 成和反對使用這些方法的些評論。4 12d樞軸分布的近似因為用蒙得卡羅方法對所有實際重要問題獲得ZH Z2ffJ zfi 的分位點是不易辦到的。因此研究轉(zhuǎn)人尋找這些分布的近似。某 些簡單的近似及其應(yīng)用和隨后出現(xiàn)的專題討論在此-并考慮。對刃D的分布的F近似對Zblb(厶是b的m丄匕)可以找到一很簡單的近似。這個近似就是/分布，它對幾乎所有的實際場合都是適用的。該近 似除了能得到b的置信區(qū)間的簡單方法外，亦可用來比較二個或 更多個威布爾和極值分布(見4.3,1節(jié)中的討論)。 157 (4. 1<

41、;21)從經(jīng)臉中發(fā)展起來的這個近似有如下形式g(萬畑其中Z是的m丄亡，所用樣本是和個觀察值中前廠個組成的It 型截尾樣本舟亠g(r.n)和去=hgn)是常數(shù)。McCool(1975b), Lawless和Mann (1976)和其它人都建議用這個方法去近似厶”的分布。常常這樣來選擇&和H使得<4.h21)兩邊的 均值和方差相等"這就給出二個方程齟左卜h于Var(彳=2h由此可得g = 2E(b/b) /Var (b/b) 原文為g 2/V ar (6/b)t有課譯者注。 158 和 h gE(b/b) 0 困難在于 E Cb/b)和Var (i/6)對所有的(r C不是

42、都知道的。不過，H沖心 和Moore1968)曾用模擬就睨=10或20的截尾樣本進行了估計, 而 McCool (19756)和 Lawless 和 Mann (1976)討論了估計 E(b/b) 和Var(6/)的其它方法。表 4 1 2 是由 Harter 和 Moore (1968，McCool (1975b)和 Lawless和Mann (1976)分別得到的結(jié)果組合而成的。它對各種(廠，并)組合給出了 hG、n)的值。g(d 由g(廠皿)=肛廠/) + 2給出。把用(4121)和育"的這些值得到的bib的百分點與McCool (1974, 1975b)和Billmann等人

43、(1972)給出的精確百分點 進行比較表明，這個近似在兒乎所有場合都是適用的。一般說來, 這個近似是隨著n或廠/力增大而有改善。當刃->oo和r/n為固定 時，這個近似在極限狀態(tài)是精確的。對沒有包含在表412中的死和廠/九的值，A的值可用線性 內(nèi)插法獲得。對廠大約大于10的樣本，這個近似是很精確的，分 布的下尾部要比上尾部略高一些。這個近似的精度的個例子在后面給出。要指岀，在4121）中的F自由度參數(shù)可能不是整數(shù)。對小的h值;的概率和百分點可用Z2累積分布函數(shù)和不完全伽瑪函數(shù)之間的關(guān)系（見附錄直接計算，也可用整數(shù)自由度的X2表進行內(nèi)播來確定（見Pearson和Hartley （1966）

44、; Mardia表4.2近似（4】21）中所用的去（c n）值151020406080100OQ 12.06.010.014. 118. 10. 205刃22.06214.623.031.539. 90 420n3 4310.924. 037.050.16320.652«4226715.833851. 869. 987.9» 899h 5 r/n 63. 59. 120. 744067. 390. 6113-9I. 165m4- 711.425. 854783. 5112. 314L 11 457” 76.014. 832.66&1103. 8139. 5175.

45、01782丹81. 818. 540.08331264169.5212. 52. 155”910. 323.049. 0100.9153. 0204. 9256.92- 607并1.012.929.362. 412& 2194. 8257. 6325.53. 295n) hr 9 n)+ 2."2 r（ ；燈丿和Zemroch （1978）。對大概大于10的力，於概率和分位數(shù)的很 精確的近似可從Wilson-Hilferty變換見附錄B的（B14）和 （B15）得到。對概率有如下近似.1/32-1(4 b 22)(4123)(1 十窈一 1 N (0 1)對來&的分位

46、數(shù)有如下近似公式9/!? 1 2=3總，宀口-麗+川韻.其中g(shù)是標準正態(tài)分布的p分位數(shù)。這些近似對表4. 12中所 159 161列的很多情況計算概率和分位數(shù)是容易的也是精確的。例41-5作為/近似的例子，考慮一個兀=20和廠=2的 衛(wèi)型截尾樣本。以介=20和廠加=05可從表4.1.2中得到勺 207和g = 227。于是近似(4121)是人227(彳)也.廠表4. 1, 3給岀了乙“的分布的某些百分點，它是用這個近似計算 的，另一些是來自McCool (1975b)表而實際上是禰6的精確百分 點。除去在99%分位點上有相當小的偏羌外這個近似是非常精 確的。表43 b/b的精確和近似的百分點百

47、分點151050909599精確值0.38 0- 500- 580 881.291 421.67(4.；. 21)近似值0- 380- 500.570.881.291- 42h 70基于線性估計的樞軸的近似有兒個近似是在基于線性估計的樞軸量的分布上而建立起來 的，其中兩個將在這里討論。它們都是很有用的，尤其是在與下 面介紹的"和b的二個簡單線性估計連結(jié)在一起時更是這樣。這 些近似要用到"和6的無偏線性估計。這不是一個限制，因為其它 估計，譬如b. 1. ie，也可以用無偏估計形式表示。令五和呂是坯和b的無偏線性估計，它們是基于容量為力的Bt機樣本中前廠個最小觀察值組成的I型

48、截尾樣本。于是E(u) =“和E (?)二"此外，命 對任一個特定的估計量諸值A(chǔ) 八B (八Q和(：(r. «)原 則上是容易得到的。因為它們是來自標準極值分布次序統(tǒng)計量的 均值、方差和協(xié)方差的兩數(shù)。然而在實際中，它們是很難獲得的, 以至于對九25的樣本這些量還沒有列出表來。cmVar(6)b2F面二個近似方法是分別用X Mann 等人(1974, p. 241)和 Mann (1977)導出用 F 分布去近似乙的分布。命log log (1 />)是極值 分布的P分位數(shù)。再命才=u - B(r,n)5/C(r,n).于是這個近 似是分布和F分布去近似樞軸量的分布使得

49、它們的某些矩相等，具體如下：Z2=b/b的分布常可由F分布很好地近似。其做法與厶的分布用(4121)去近似相同,Engelhardt (1975), Lawless和 Mann (1976)和其他人使用這個方法。這里E(b/b) - Var (恥)=C (廠，這個近似是氣£|尬)(4124)其中g(shù) = g(S)和為=力(")依賴于r和札使(4. L24)兩邊 的前二階矩相等，可得&(廠)=h(rn)2C(r)#(4.1.25)163#其中 Wp = log log(l 一 />),dzB(廠C(r.n)A")B(r9n)2C(rn) I2C(rfn)

50、#當采用最好線性無偏估計(B-Lu-eJ時，這個近似僅對一些 情況是令人滿意的，然而它們已包含了多數(shù)重要的實際場合。細節(jié)在Mann (1977)中給出?？筛爬ǖ卣f,只要心5且紐V <18-50,該近似對p025是適用的。要指出，在 (4.1. 25中的dx和dz常是非整數(shù)。在這種情況下確定F的概率 將在附錄B. 43節(jié)和在例4L 6中討論。這些近似是與bk u. c一起使用,當然這并不是必須的，因 為Mann-Fertig(1973)的表是基于b. L L匕(它與b】 u.e.有關(guān)) 的樞軸量的分布，其樣本量最多為 =20。對"25的樣本還沒有 為所有AS d B(r, n)和

51、CS n)制成表。于是這些近似就 不能使用。由于這一點，就有很大興趣去尋找具有好性質(zhì)的簡單 線性估計。這方面研究的文獻已被Marm&Fertig (1977)和Em gelhardt和Bain (1977a)給岀。具有很好好統(tǒng)計性質(zhì)的一對估計 量瘠在這里給岀。當利用近似(4.1.24)和(4.1.25)時，它們 也提供構(gòu)造檢驗和置信區(qū)間的簡單方法。簡單線性估計這里所考察的估計和結(jié)果是由Bain (1972), EngelhardtBain (1973, 1974), Engelhardt ( 1975 )和 Mann 和 Fertig(1975a)建立的。所給的估計有:種形式，這要看樣

52、本是B型截尾GO)還是全樣本。具體如下：1對于截尾樣本(r<«)j = y 旦 一(4.1.26)' i=i 廉(s) u = xr w(rn)b其中文伍是口型截尾極值樣本M(s)是常數(shù)，它是這樣 選出的，使得E=w(r,n)是來自標準極值分布的樣本容量 為的第廠個最小觀察值的期望值。取自Engelhardt (1975)的表 414提供了若干系數(shù)，用它們可算得和(廠曲幾用表 4L4所得到的值是較為精確的近似值。它的最大誤差僅在小數(shù)第4位上相差1。(表415給出了 (4.1.26)的方差和協(xié)方養(yǎng)4(”)")和C(r),這些在使用近似(4124)和(4125)時

53、也是需要#哀4！ 4用來計算簡單線性估計因子的系數(shù)* 1.2 34.5 6 7 8 9竝0 102650.211290. 327230. 452340 58937。 742740. 92026b 13821 14436局1- 02711. 06221. 10601 16341 24151 35401. 83131. 85672. 6929k?0. 00 0300540 0800. 1456 2420. 4330 9062. 7962 25041.4999 1-0309-0. 67173366510. 087420. 185630.475890. 83403切5- 57433 0740-22859k 93011. 76191.7114-L 77272- 0110Z. 7 737- 8481.886一 0. 7670. 3550. 0910U110.