三中值定理應(yīng)用

1、第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1內(nèi)容提要一、介值定理1、定理1（零點定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有一點使 2、定理2（介值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且及，那么對于與之間的任一個常數(shù)，開區(qū)間內(nèi)至少有一點，使 二、微分中值定理1、定理3（費馬（fermat）引理）設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo)，如果對任意的，有（），那么。注：費馬引理函數(shù)的極值點若可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)為0。一階導(dǎo)數(shù)等于零的點稱為函數(shù)的駐點。2、 定理4（羅爾（Rolle定理）如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即，那么在內(nèi)至少有一點，使得。3、定理

2、5（拉格朗日（Lagrange）定理）如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在內(nèi)至少有一點，使得。4、定理6如果函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么函數(shù)在區(qū)間上是一個常數(shù)。5、定理7（柯西（Cauchy）定理）如果函數(shù)及滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）對任一那么在內(nèi)至少有一點，使得。6、定理8（泰勒（Taylor）定理）如果函數(shù)在含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對有，其中，這里是與之間的某個值，此公式也稱為帶有拉格朗日型余項的階泰勒公式。（1）當(dāng)時，稱為帶有皮亞諾（Peano）余項的階泰勒公式。（2）在泰勒公式中，如果取，則在與之間，此時可令，下

3、面兩公式分別稱為帶有拉格朗日余項的階麥克勞林公式和帶有皮亞諾余項的階麥克勞林公式：2 典型題型與例題分析題型一 證明存在，使解題提示：用介值定理。唯一性由（或）確定。例1、設(shè)在上連續(xù)，當(dāng)時，（為常數(shù)）。試證明：若，則方程在上有且僅有一個實根。（提示：由拉格朗日中值定理在中先找到一點，使，然后再用介值定理，注意唯一性）例2、設(shè)在上連續(xù)，且，證明在內(nèi)存在唯一的，使得直線將曲線和直線以及所圍成的平面圖形分成面積相等的兩部分。例3、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且。試證：在內(nèi)至少存在兩個不同的點，使 分析：證明介值問題，一般兩種情形：（1）要證的結(jié)論與某函數(shù)在一點的函數(shù)值有關(guān)，但與其導(dǎo)數(shù)值無關(guān)，可考慮用連續(xù)函數(shù)的介

4、值定理（如例1，例2）；（2）要證的結(jié)論與某函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)值或更高階導(dǎo)數(shù)值有關(guān)，則應(yīng)考慮微分中值定理（包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式）（題型二將詳述）。 本題要證的結(jié)論與導(dǎo)數(shù)無關(guān)，但用連續(xù)函數(shù)的介值定理又解決不了，是隱含介值問題，實際上應(yīng)用微分中值定理解決，根據(jù)，利用變限積分的函數(shù)作輔助函數(shù)。 本題提示：本題直接用連續(xù)函數(shù)的介值定理比較困難，可考慮作輔助函數(shù)：。顯然有，但要證本題結(jié)論，還需要找的一個零點，這要由第二個條件來實現(xiàn)，為了與聯(lián)系起來，可將其變換為再通過分部積分和積分中值定理就可達到目的。例4、設(shè)在上連續(xù)，在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且在內(nèi)，并且，試證至少存在兩個不同的點，使。（提示

5、：同例3）題型二 證明存在，使解題提示：用羅爾定理（或多次利用羅爾定理） 例5、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。試證必存在，使。（提示：只需證明存在一點，使然后應(yīng)用羅爾定理即可。由條件，問題轉(zhuǎn)化為1介于函數(shù)的最值之間，用介值定理就可以達到目的。） 例6、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有三階導(dǎo)數(shù)，且，設(shè)，證明：在內(nèi)存在一點，使得。（提示：直接用麥克勞林公式，也可以三次用羅爾定理）例7、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，且，證明：存在，使得。（本題綜合考查介值定理和羅爾定理。提示：令，只需對用羅爾定理。）題型三 證明存在，使解題提示：構(gòu)造輔助函數(shù)，利用中值定理）步驟：（1）將換為；（2）恒等變形，

6、便于積分；（3）積分并分離常數(shù)：，則即為所需的輔助函數(shù)。例8、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足，證明至少存在一點，使得。（提示：將要證關(guān)系式中的換為，并作恒等變形得，兩邊積分后得故可作出輔助函數(shù)，對已知條件使用積分中值定理，然后對輔助函數(shù)應(yīng)用羅爾定理即可。）例9、設(shè)在內(nèi)上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，但當(dāng)時，求證對任意自然數(shù)，在內(nèi)存在，使。 （提示：將所證結(jié)論中改為，兩邊積分后，可作出輔助函數(shù)）。例10、設(shè)在上可導(dǎo)，且同號，證明：至少存在一點，使。 （提示：令，注意到同號，故用柯西中值定理）。例11、設(shè)在內(nèi)上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：（1）存在，使；（2）對任意自然數(shù)，必存在，使（提示：(1)直接用介值定理

7、即可；（2）令利用羅爾定理）例12、假設(shè)函數(shù)和在存在二階導(dǎo)數(shù)，并且，試證：（1）在開區(qū)間內(nèi)；（2）在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使。（提示：對等式積分可令輔助函數(shù)為。再利用羅爾定理即可）題型四 雙介值問題，要證存在兩個中值滿足某種關(guān)系的命題解題提示：先用一次中值定理轉(zhuǎn)化為單介值問題，一般是再用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理。例13、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證 ：存在，使得（提示：將要證結(jié)論改寫為即證。令，對其應(yīng)用拉格朗日中值定理。）評注：對雙介值問題（證明，使）一般按以下步驟證明：（1）與，化為。（2）若容易找到，使（或），則對應(yīng)用拉格朗日中值定理，得。（3）應(yīng)用微分中值定理，證明。例14、

8、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證 ：存在，使得（提示：應(yīng)用拉格朗日中值定理和柯西中值定理。）例15、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證 ：（1）存在，使得（2）存在兩個不同的點，使得（提示：第一問用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二問為雙介值問題，考慮用拉格朗日中值定理，并注意用第一問已得結(jié)論。）題型五 不等式的證明解題提示：不等式的證明方法很多，一般有：利用單調(diào)性證明不等式；利用極值與最值證明不等式；利用凹凸性證明不等式；利用拉格朗日中值定理證明不等式；利用泰勒展開式證明不等式。這里只簡要敘述兩種方法，應(yīng)用拉格朗日中值定理的難點在于找到適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)名，將其在某兩點的函數(shù)值之差與要證的不等式聯(lián)系起來，如

9、果輔助函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)不能確定符號，需要二階甚至二階以上的導(dǎo)數(shù)信息才能證明不等式，此時也可考慮用泰勒公式證明。類型一 利用微分中值定理證明不等式例16、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且又求證 ：對任意必有（提示：當(dāng)在上利用拉格朗日中值定理證明。當(dāng)在與上分別利用拉格朗日中值定理證明）例17、設(shè)在上二階可導(dǎo)，且在內(nèi)達到最小值，又在。證明：（提示：存在使在與上分別使用）類型二 利用泰勒公式證明不等式適用于二階以上可導(dǎo)的情形。例18、設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足條件，其中都是非負(fù)常數(shù)，證明：對任意必有（提示：再將分別代入相減。并注意）例19、設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且在上的最小值等于，試證：至少存在一點使（提示：，在

10、點處泰勒展開，并將分別代入。）題型六 中值定理的綜合應(yīng)用例20、設(shè)在內(nèi)連續(xù)，在處可導(dǎo)，且（1）求證：對任意給定的存在使（2）求極限（提示：（1）令對其應(yīng)用拉格朗日中值定理；（2）由（1）得 再令兩邊分別取極限）例21、設(shè)在上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明在內(nèi)至少存在一點，使得（提示：將在展成二階麥克勞林公式，令得到兩式相減，對用介值定理。）附：01-07年天津市大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中與該部分內(nèi)容有關(guān)的題目1、設(shè)在區(qū)間具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明：（01年試題）2、設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在可導(dǎo)，且，求證：在內(nèi)至少存在一點在，使得。（01年試題）3、設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且在曲線上任意取一點作曲線的切線，此切線在軸上的截

11、距記作，求：（03年試題）4、設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在可導(dǎo)，且，試證明：對于任意給定的正數(shù)和，在開區(qū)間內(nèi)存在不同的和，使得（03年試題）5、設(shè)正整數(shù)，證明方程至少有兩個實根。（04年試題）6、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證明：存在，使得。（05年試題）7、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：存在一點，使得。（05年試題）8、證明：當(dāng)時，。（07年試題）9、設(shè)在連續(xù)，在可導(dǎo)，且有，則至少存在一點，使。（07年試題）答案提示1、對進行泰勒展開。2、先利用積分中值定理，再利用羅爾定理。3、過點的曲線的切線方程為：注意到：由于，在的鄰域內(nèi)當(dāng)時。因此，此直線在x軸上的截距為，且=0。利用泰勒公式將在點展開，得到 在0與之間 在0與之間代入得4、提示：取數(shù)，由介質(zhì)定理知，存在，使得，在區(qū)間0，c與c，1上分應(yīng)用拉格朗日中值定理，得到，代入要證明的式子中。再取即得結(jié)論。5、提示：把方程左邊設(shè)為，則其在區(qū)間上連續(xù)，且，因而必存在，使分別在和應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的