七年級(jí)下冊(cè)相交線與平行線題型歸納總結(jié)教師

1、 相交線與平行線章末重難點(diǎn)題型【考點(diǎn)1 點(diǎn)到直線的距離】【方法點(diǎn)撥】從直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。【例1】（2019春廈門期末）如圖，三角形ABC中，ACB90°，CDAB于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A點(diǎn)A到直線BC的距離為線段AB的長(zhǎng)度B點(diǎn)A到直線CD的距離為線段AD的長(zhǎng)度C點(diǎn)B到直線AC的距離為線段BC的長(zhǎng)度D點(diǎn)C到直線AB的距離為線段CD的長(zhǎng)度【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度來(lái)分析即可【答案】解：ACB90°，ACBC根據(jù)點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度來(lái)分析：A：點(diǎn)A到直線BC的距離為線段AC的長(zhǎng)度，而不是線段AB的

2、長(zhǎng)度，故A錯(cuò)誤故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的基本概念，屬于基礎(chǔ)題型，難度不大【變式1-1】（2019春雨花區(qū)期末）如圖，ACB90°，CDAB，垂足為D，則下面的結(jié)論中正確的是（）BC與AC互相垂直；AC與CD互相垂直；點(diǎn)A到BC的垂線段是線段BC；點(diǎn)C到AB的垂線段是線段CD；線段BC是點(diǎn)B到AC的距離；線段AC的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到BC的距離ABCD【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可BC與AC互相垂直；AC與CD互相垂直；點(diǎn)A到BC的垂線段是線段BC；點(diǎn)C到AB的垂線段是線段CD；線段BC是點(diǎn)B到AC的距離；線段AC的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到BC的距離【答案】解：AC

3、B90°，ACBC，故正確；AC與DC相交不垂直，故錯(cuò)誤；點(diǎn)A到BC的垂線段是線段AC，故錯(cuò)誤；點(diǎn)C到AB的垂線段是線段CD，故正確；線段BC的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離，故錯(cuò)誤；線段AC的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到BC的距離，故正確故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)到直線的距離，熟知直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離是解答此題的關(guān)鍵【變式1-2】（2019春婁星區(qū)期末）如圖所示，點(diǎn)A到BC所在的直線的距離是指圖中線段（）的長(zhǎng)度AACBAFCBDDCE【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，可得答案【答案】解：點(diǎn)A到BC所在直線的距離是線段AF的長(zhǎng)度，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的

4、距離，利用點(diǎn)到直線的距離的定義是解題關(guān)鍵【變式1-3】（2019春天河區(qū)校級(jí)月考）如圖，ACBC，CDAB，下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）線段CD的長(zhǎng)度是C點(diǎn)到AB的距離；線段AC是A點(diǎn)到BC的距離；ABACCD；線段BC是B到AC的距離；CDBCABA2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D5個(gè)【分析】根據(jù)垂直的定義，點(diǎn)到直線距離的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可【答案】解：線段CD的長(zhǎng)度是C點(diǎn)到AB的距離，正確；線段AC的長(zhǎng)度是A點(diǎn)到BC的距離，錯(cuò)誤；ABACCD，正確；線段BC的長(zhǎng)度是B到AC的距離，錯(cuò)誤；CDBCAB，正確；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)到直線的距離、垂直的定義，熟記定義并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵特別

5、注意點(diǎn)到直線的距離指的是點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，互相垂直指夾角為90°【考點(diǎn)2 相交線的交點(diǎn)問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)，n條直線相交，最多有1+2+3+（n1）n（n1）個(gè)交點(diǎn)【例2】（2019秋旌陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）在同一平面內(nèi)的n條直線兩兩相交，最多共有36個(gè)交點(diǎn)，則n（）A7B8C9D10【分析】從簡(jiǎn)單情形考慮：分別求出2條、3條、4條、5條、6條直線相交時(shí)最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出規(guī)律即可解答【答案】解：2條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交最多有1+2個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交最多有1+2+3個(gè)交點(diǎn)；5條直線相交最

6、多有1+2+3+4個(gè)交點(diǎn)；6條直線相交最多有1+2+3+4+5個(gè)交點(diǎn)；所以n條直線相交最多有1+2+3+4+5+（n1）個(gè)交點(diǎn)；由題意得36，解得n9故選：C【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題【變式2-1】（2019秋鄄城縣期末）兩條直線最多有一個(gè)交點(diǎn)，三條直線最多有三個(gè)交點(diǎn)，四條直線最多有6個(gè)交點(diǎn)，那么7條直線最多（）A28個(gè)交點(diǎn)B24個(gè)交點(diǎn)C21個(gè)交點(diǎn)D15個(gè)交點(diǎn)【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)，故可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+（n1）n（n1）個(gè)交

7、點(diǎn)【答案】解：7條直線兩兩相交：3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)，而3×2×3，6×3×4，101+2+3+4×4×5，七條直線相交最多有交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：n（n1）×7×621故選：C【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形變化類，此題在相交線的基礎(chǔ)上，著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法【變式2-2】（2019春沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）同一平面內(nèi)兩兩相交的四條直線，最多有m個(gè)交點(diǎn)，最少有n個(gè)交點(diǎn)，那么mn是（）A1B6C8D4【分析】根據(jù)每三條不交于同

8、一點(diǎn)，可得m，根據(jù)都交于同一點(diǎn)，可得n，根據(jù)乘方的意義，可得答案【答案】解：每三條不交于同一點(diǎn)，得m6，都交于同一點(diǎn)，得n1，mn6，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了相交線，利用每三條不交于同一點(diǎn)，都交于同一點(diǎn)得出m，n是解題關(guān)鍵【變式2-3】（2019秋江陰市校級(jí)月考）觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字，如圖所示：兩條直線相交，最多有一個(gè)交點(diǎn)；三條直線相交，最多有三個(gè)交點(diǎn)；四條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)，像這樣，11條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A40個(gè)B50個(gè)C55個(gè)D66個(gè)【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)

9、，故可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+（n1）n（n1）個(gè)交點(diǎn)【答案】解：10條直線兩兩相交：3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)，而3×2×3，6×3×4，101+2+3+4×4×5，11條直線相交最多有交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：n（n1）×11×1055故選：C【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形變化類，此題在相交線的基礎(chǔ)上，著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法【考點(diǎn)3 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的判斷】【方法點(diǎn)撥】直線AB，CD被第三條直線EF所截

10、。這三條直線形成了兩個(gè)頂點(diǎn)，圍繞兩個(gè)頂點(diǎn)的8個(gè)角之間有三種特殊關(guān)系：*同位角：沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，它們?cè)谥本€AB,CD的同側(cè)，在第三條直線EF的同旁（即位置相同），這樣的一對(duì)角叫做同位角；*內(nèi)錯(cuò)角：沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，它們?cè)谥本€AB,CD之間，在第三條直線EF的兩旁（即位置交錯(cuò)），這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；*同旁內(nèi)角：沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，它們?cè)谥本€AB,CD之間，在第三條直線EF的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角；【例3】（2019春巴州區(qū)校級(jí)期中）如圖，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A3和5是同位角B4和5是同旁內(nèi)角C2和4是對(duì)頂角D2和5是內(nèi)錯(cuò)角【分析】根據(jù)同位角，同旁內(nèi)角，對(duì)頂角以及內(nèi)錯(cuò)角的定

11、義進(jìn)行判斷【答案】解：A、3和5是同位角，故本選項(xiàng)不符合題意B、4和5是同旁內(nèi)角，故本選項(xiàng)不符合題意C、2和4是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)不符合題意D、2和5不是內(nèi)錯(cuò)角，故本選項(xiàng)符合題意故選：D【點(diǎn)睛】考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角以及對(duì)頂角解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手【變式3-1】（2019春西湖區(qū)校級(jí)月考）同學(xué)們可仿照?qǐng)D用雙手表示“三線八角”圖形（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）下面三幅圖依次表示（）A同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角B同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角C同位角、對(duì)頂角、同旁內(nèi)角D同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角【分析】?jī)蓷l線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這

12、種位置關(guān)系的角稱為同位角；兩個(gè)角分別在截線的異側(cè)，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角；兩個(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁內(nèi)角據(jù)此作答即可【答案】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，可知第一個(gè)圖是同位角，第二個(gè)圖是內(nèi)錯(cuò)角，第三個(gè)圖是同旁內(nèi)角故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)別它們【變式3-2】（2019春閔行區(qū)期中）如圖，同位角共有（）對(duì)A6B5C8D7【分析】根據(jù)同位角的概念解答即可【答案】解：同位角有5對(duì)，4與7，3與8，1與7，5與6，2與9，1與3，故選：

13、A【點(diǎn)睛】此題考查同位角，關(guān)鍵是根據(jù)同位角解答【變式3-3】（2019春九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如圖，下列結(jié)論正確的是（）A4和5是同旁內(nèi)角B3和2是對(duì)頂角C3和5是內(nèi)錯(cuò)角D1和5是同位角【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角，對(duì)頂角，內(nèi)錯(cuò)角以及同位角的定義解答【答案】解：A、4和5是鄰補(bǔ)角，不是同旁內(nèi)角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤B、3和（1+2）是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤C、3和5是內(nèi)錯(cuò)角，故本選項(xiàng)正確D、1和（1+2）是同位角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：C【點(diǎn)睛】考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角以及對(duì)頂角的定義，解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手對(duì)平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，要做到對(duì)它們正確理解，對(duì)不同的

14、幾何語(yǔ)言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義【考點(diǎn)4 平行線公理及其推論】【方法點(diǎn)撥】平行線公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和已知直線平行?！纠?】（2018春城關(guān)區(qū)校級(jí)月考）下列說(shuō)法中，正確的是（）A兩條不相交的直線叫平行線B一條直線的平行線有且只有一條C若直線ab，ac，則bcD兩條直線不相交就平行【分析】根據(jù)平行線的定義判斷A；根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷B；根據(jù)平行公理的推論判斷C；根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系判斷D【答案】解：A、在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、一條直線的平行線有無(wú)數(shù)條，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、若直線ab，ac，則bc，滿足平行公理的推論，故本選項(xiàng)正確；D、在

15、同一平面內(nèi)兩條直線不相交就平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：C【點(diǎn)睛】本題考查平行線的定義、性質(zhì)及平行公理，熟練掌握公理和概念是解決本題的關(guān)鍵【變式4-1】（2019春張店區(qū)期末）已知在同一平面內(nèi)，有三條直線a，b，c，若ab，bc，則直線a與直線c之間的位置關(guān)系是（）A相交B平行C垂直D平行或相交【分析】根據(jù)平行公理的推論直接判斷直線c與直線a的位置關(guān)系即可【答案】解：在同一平面內(nèi)，直線ab，直線bc，直線c與直線a的位置關(guān)系是：ac故選：B【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行公理的推論，熟練記憶推論內(nèi)容是解題關(guān)鍵【變式4-2】（2019春龍泉驛區(qū)期中）下列說(shuō)法正確的是（）Aa，b，c是直線，且ab，bc，則a

16、cBa，b，c是直線，且ab，bc，則acCa，b，c是直線，且ab，bc，則acDa，b，c是直線，且ab，bc，則ac【分析】根據(jù)“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”和“在同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行”解答即可【答案】解：A、正確，根據(jù)“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”B、錯(cuò)誤，因?yàn)椤霸谕黄矫鎯?nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行”C、錯(cuò)誤，a，b，c是直線，且ab，bc則ac；D、錯(cuò)誤，b，c是直線，且ab，bc，則ac故選：A【點(diǎn)睛】此題考查的是平行線的判定和性質(zhì)定理，比較簡(jiǎn)單【變式4-3】（20

17、19春邱縣期末）下列語(yǔ)句：不相交的兩條直線叫平行線在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行如果線段AB和線段CD不相交，那么直線AB和直線CD平行如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行正確的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4【分析】直接利用平行公理以及其推論分析得出答案【答案】解：不相交的兩條直線叫平行線，必須是在同一平面內(nèi)，故錯(cuò)誤；在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行，正確如果線段AB和線段CD不相交，那么直線AB和直線CD平行，錯(cuò)誤；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行，正確；過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已

18、知直線平行，故錯(cuò)誤，故選：B【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行公理及推論，正確把握定義是解題關(guān)鍵【考點(diǎn)5 利用平行線的性質(zhì)求角】【方法點(diǎn)撥】?jī)蓷l直線平行則同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ).【例5】（2019春澗西區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，將含有30°角的三角板（A30°）的直角頂點(diǎn)放在相互平行的兩條直線其中一條上，若138°，則2的度數(shù)（）A28°B22°C32°D38°【分析】延長(zhǎng)AB交CF于E，求出ABC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出AEC，根據(jù)平行線性質(zhì)得出2AEC，代入求出即可【答案】解：如圖，延長(zhǎng)AB交CF于E，ACB90°

19、;，A30°，ABC60°，138°，AECABC122°，GHEF，2AEC22°，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，平行線性質(zhì)的運(yùn)用，主要考查學(xué)生的推理能力解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等【變式5-1】（2019春西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，把三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若132°，則2的度數(shù)為（）A68°B58°C48°D32°【分析】因直尺和三角板得ADFE，BAC90°；再由ADFE得23；平角構(gòu)建1+BAC+3180°得1+390

20、°，已知132°可求出358°，即258°【答案】解：如圖所示：ADFE，23，又1+BAC+3180°，BAC90°，1+390°，又132°，358°，258°，故選：B【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)，直角，平角和角的和差相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用，重點(diǎn)是平行線的性質(zhì)【變式5-2】（2018秋襄汾縣期末）如圖，某江段江水流向經(jīng)過(guò)B、C、D三點(diǎn)拐彎后與原來(lái)方向相同，若ABC125°，BCD75°，則CDE的度數(shù)為（）A20°B25°C35°D50

21、76;【分析】由題意可得ABDE，過(guò)點(diǎn)C作CFAB，則CFDE，由平行線的性質(zhì)可得BCF+ABC180°，所以能求出BCF，繼而求出DCF，再由平行線的性質(zhì)，即可得出CDE的度數(shù)【答案】解：由題意得，ABDE，如圖，過(guò)點(diǎn)C作CFAB，則CFDE，BCF+ABC180°，BCF180°125°55°，DCF75°55°20°，CDEDCF20°故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是過(guò)C點(diǎn)先作AB的平行線，由平行線的性質(zhì)求解【變式5-3】（2018秋方城縣期末）將AD與BC兩邊平行的紙條ABC

22、D按如圖所示折疊，則1的度數(shù)為（）A72°B45°C56°D60°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出C'EF62°，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可【答案】解：一張長(zhǎng)方形紙條ABCD折疊，C'EFFEC62°，ADBC，1C'FB180°62°62°56°，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、翻折變換（折疊問(wèn)題）正確觀察圖形，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【考點(diǎn)6 平行線的判定】【方法點(diǎn)撥】?jī)蓷l直線被第三條直線所截，以下幾種情況可以判定這兩條直線平行：平行線判定定理1：同位角相

23、等，兩直線平行平行線判定定理2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行平行線判定定理3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行平行線判定定理4：兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線，兩條直線平行【例6】（2019春西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，下列條件：12；45；2+5180°；13；61+2；其中能判斷直線l1l2的有（）ABCD【分析】根據(jù)平行線的判定定理，對(duì)各小題進(jìn)行逐一判斷即可【答案】解：12不能得到l1l2，故本條件不合題意；45，l1l2，故本條件符合題意；2+5180°不能得到l1l2，故本條件不合題意；13，l1l2，故本條件符合題意；62+31+2，13，l1l2，故本條件符合題意故選：C【點(diǎn)睛】本

24、題考查的是平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵【變式6-1】（2019春西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，對(duì)于給出的四個(gè)條件：（1）34；（2）12；（3）ADCE；（4）D+ABD180°能判斷ABCD的有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【分析】根據(jù)平行線的判定判斷即可【答案】解：（1）34，BDAC；（2）12，ABCD；（3）ADCE，ABCD；（4）D+ABD180°，ABCD，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定解答【變式6-2】（2019春南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）如圖，下列條件，其中能判定ABCD的有（）12；BADBCD；A

25、BCADC，34；BAD+ABC180°A3個(gè)B2個(gè)C1個(gè)D0個(gè)【分析】根據(jù)平行線的判定方法對(duì)四個(gè)條件分別進(jìn)行判斷即可【答案】解：12，ADBC，不能判定ABCD；BADBCD，不能判定ABCD；ABCADC，34；ABDCDB，ABCD；BAD+ABC180°，ADBC，不能判定ABCD；能判定ABCD的有1個(gè)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平行線判定：同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【變式6-3】（2019春吳江區(qū)期中）以下四種沿AB折疊的方法中，由相應(yīng)條件不一定能判定紙帶兩條邊線a，b互相平行的是（）A展開后測(cè)得12B展開后測(cè)得12

26、且34C測(cè)得12D測(cè)得12【分析】根據(jù)平行線的判定定理，進(jìn)行分析，即可解答【答案】解：A、12，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行進(jìn)行判定，故正確；B、12且34，由圖可知1+2180°，3+4180°，123490°，ab（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故正確；C、測(cè)得12，1與2即不是內(nèi)錯(cuò)角也不是同位角，不一定能判定兩直線平行，故錯(cuò)誤；D、12，根據(jù)同位角相等，兩直線平行進(jìn)行判定，故正確故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵是熟記平行線的判定定理【考點(diǎn)7 垂線段在生活中的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短【例7】（2019

27、秋泰興市期末）如圖，在直線MN的異側(cè)有A、B兩點(diǎn)，按要求畫圖取點(diǎn)，并注明畫圖取點(diǎn)的依據(jù)（1）在直線MN上取一點(diǎn)C，使線段AC最短依據(jù)是 （2）在直線MN上取一點(diǎn)D，使線段AD+BD最短依據(jù)是 【分析】（1）過(guò)A作ACMN，AC最短；（2）連接AB交MN于D，這時(shí)線段AD+BD最短【答案】解：（1）過(guò)A作ACMN，根據(jù)：垂線段最短（2）連接AB交MN于D，根據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段最短【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂線段的性質(zhì)和線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握垂線段最短；兩點(diǎn)之間線段最短【變式7-1】（2019秋北侖區(qū)期末）如圖，平原上有A，B，C，D四個(gè)村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣?wèn)題，政府準(zhǔn)備投資修建一個(gè)蓄水池（1）不考慮

28、其他因素，請(qǐng)你畫圖確定蓄水池H點(diǎn)的位置，使它到四個(gè)村莊距離之和最??；（2）計(jì)劃把河水引入蓄水池H中，怎樣開渠最短并說(shuō)明根據(jù)【分析】（1）由兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接AD、BC交于H，則H為蓄水池位置；（2）根據(jù)垂線段最短可知，要做一個(gè)垂直EF的線段【答案】解：（1）兩點(diǎn)之間線段最短，連接AD，BC交于H，則H為蓄水池位置，它到四個(gè)村莊距離之和最?。?）過(guò)H作HGEF，垂足為G“過(guò)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短”是把河水引入蓄水池H中開渠最短的根據(jù)【點(diǎn)睛】本題考查了線段和垂線的性質(zhì)在實(shí)際生活中的運(yùn)用【變式7-2】（2019春召陵區(qū)期中）如圖所示，碼頭、火車站分別位于A，B兩點(diǎn)，直線a

29、和b分別表示鐵路與河流（1）從火車站到碼頭怎樣走最近，畫圖并說(shuō)明理由；（2）從碼頭到鐵路怎樣走最近，畫圖并說(shuō)明理由；（3）從火車站到河流怎樣走最近，畫圖并說(shuō)明理由【分析】（1）從火車站到碼頭的距離是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即兩點(diǎn)間的距離依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答（2）從碼頭到鐵路的距離是點(diǎn)到直線的距離依據(jù)垂線段最短解答（3）從火車站到河流的距離是點(diǎn)到直線的距離依據(jù)垂線段最短解答【答案】解：如圖所示（1）沿AB走，兩點(diǎn)之間線段最短；（2）沿AC走，垂線段最短；（3）沿BD走，垂線段最短【點(diǎn)睛】根據(jù)具體的問(wèn)題正確判斷出是點(diǎn)到點(diǎn)的距離還是點(diǎn)到線的距離是解答問(wèn)題的關(guān)鍵【變式7-3】（2019秋延慶縣期末）如圖，點(diǎn)

30、P，點(diǎn)Q分別代表兩個(gè)村莊，直線l代表兩個(gè)村莊中間的一條公路根據(jù)居民出行的需要，計(jì)劃在公路l上的某處設(shè)置一個(gè)公交站（1）若考慮到村莊P居住的老年人較多，計(jì)劃建一個(gè)離村莊P最近的車站，請(qǐng)?jiān)诠穕上畫出車站的位置（用點(diǎn)M表示），依據(jù)是 ；（2）若考慮到修路的費(fèi)用問(wèn)題，希望車站的位置到村莊P和村莊Q的距離之和最小，請(qǐng)?jiān)诠穕上畫出車站的位置（用點(diǎn)N表示），依據(jù)是 【分析】（1）直接利用點(diǎn)到直線的距離的定義得出答案；（2）利用線段的性質(zhì)得出答案【答案】解：（1）如圖，點(diǎn)M即為所示依據(jù)是直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中垂線段最短（2）如圖，點(diǎn)N即為所示依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短；故答案為：直線外一點(diǎn)與直

31、線上各點(diǎn)連接的所有線段中垂線段最短；兩點(diǎn)之間線段最短【點(diǎn)睛】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，正確理解線段的性質(zhì)是解題關(guān)鍵【考點(diǎn)8 利用平行線的判定及性質(zhì)證明平行】【例8】（2019秋渦陽(yáng)縣期中）已知：如圖，1+2180°，AD求證：ABCD（在每步證明過(guò)程后面注明理由）【分析】結(jié)合圖形，利用平行線的性質(zhì)及判定逐步分析解答【答案】證明：1與CGD是對(duì)頂角，1CGD（對(duì)頂角相等），1+2180°（已知），CGD+2180°（等量代換），AEFD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），ABFD（兩直線平行，同位角相等），又AD（已知），BFDD（等量代換），ABCD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩

32、直線平行）【點(diǎn)睛】本題利用了平行線的判定和性質(zhì)，還利用了對(duì)頂角相等，等量代換等知識(shí)【變式8-1】（2019春江城區(qū)期中）如圖，ADBC于D，EFBC于F，12，AB與DG平行嗎？為什么？【分析】結(jié)論：ABDG只要證明BAD2即可【答案】解：結(jié)論：ABDG理由：ADBC于D，EFBC于F，ADEF，1BAD，12，BAD2，ABDG【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，垂線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型【變式8-2】（2019春懷寧縣期末）如圖，已知點(diǎn)AD，B在同一直線上，12，3E，試判斷DE、BC有怎樣的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由【分析】由12，AOECOD可證得CDOE；再

33、由3E得CDO3，即得DEBC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）【答案】解：DEBC證明：12，AOECOD（對(duì)頂角相等），在AOE和COD中，CDOE（三角形內(nèi)角和定理）；3E，CDO3，DEBC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定，涉及到三角形內(nèi)角和定理、對(duì)頂角等知識(shí)點(diǎn)【變式8-3】（2019春明光市期末）如圖：已知1+2180°，3B，請(qǐng)問(wèn)AB與DE是否平行，并說(shuō)明理由【分析】結(jié)論：ABDE首先證明EFBC，再證明BEDC即可【答案】解：結(jié)論：ABDE理由：1+ADC180°（平角的定義），又1+2180°（已知），ADC2（等量代換），EFD

34、C（同位角相等兩直線平行），3EDC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又3B（已知），EDCB（等量代換），ABDE（同位角相等兩直線平行）【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型【考點(diǎn)9 利用平行線的判定及性質(zhì)證明角相等】【例9】如圖，已知BDAC，EFAC，點(diǎn)D，F(xiàn)是垂足，12，求證：ADGC【分析】由BD與EF都與AC垂直，利用垂直于同一條直線的兩直線平行得到BD與EF平行，利用兩直線平行同位角相等得到一對(duì)角相等，再由已知的一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到DG與BC平行，利用兩直線平行同位角相等即可得證【答案】

35、證明：BDAC，EFAC（已知），3490°（垂直的定義），BDEF（同位角相等，兩直線平行），2CBD（兩直線平行，同位角相等），12（已知），1CBD（等量代換），GDBC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），ADGC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵【變式9-1】（2019春彭澤縣期中）如圖，已知：ABE+DEB180°，12，則F與G的大小關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】根據(jù)平行線的判定得出ACDE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出CBEDEB，求出FBEGEB，根據(jù)平行線的判定得出BFEG即可【答案】解：FG，理由是：A

36、BE+DEB180°，ACED，CBEDEB，12，CBE1DEB2，即FBEGEB，BFEG，F(xiàn)G【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能熟練地運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的性質(zhì)有：兩直線平行，同位角相等，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然【變式9-2】（2019春惠陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)E、F在直線AB上，點(diǎn)G在線段CD上，ED與FG交于點(diǎn)H，CEFG，CEDGHD（1）求證：CEGF；（2）試判斷AED與D之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若D30°，求AED的度數(shù)【分析】（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行，可證

37、CEGF；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得CFGD，根據(jù)等量關(guān)系可得FGDEFG，證出ABCD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得AED與D之間的數(shù)量關(guān)系；（3）由平行線的性質(zhì)得出DEFD30°，即可得出答案【答案】（1）證明：CEDGHD，CEGF；（2）解：AED+D180°，理由如下：CEGF，CFGD，CEFG，F(xiàn)GDEFG，ABCD，AED+D180°；（3）解：ABCD，D30°，DEFD30°，AED180°30°150°【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)以及平角的定義等知識(shí)；平行線的性質(zhì)有：兩直線平行，同位角相等；

38、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)【變式9-3】（2019春北流市期末）如圖，1C，2+D90°，BEFD于G，證明BC【分析】先根據(jù)1+D90°，2+D90°，即可得到12，進(jìn)而得出2C，判定ABCD，即可得到1B，即可得到BC【答案】證明：BEFD于G，1+D90°，又2+D90°，12，1C，2C，ABCD，1B，BC【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系【考點(diǎn)10 平行線中構(gòu)造平行線】【例10】（2019春普寧市期中）已知ABCD

39、，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AP、CP（1）探究：如圖（1）PAB145°，PCD135°，則APC的度數(shù)是 ；如圖（2）PAB45°，PCD60°，則APC的度數(shù)是 （2）在圖2中試探究APC，PAB，PCD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由（3）拓展探究：當(dāng)點(diǎn)P在直線AB，CD外，如圖（3）、（4）所示的位置時(shí)，請(qǐng)分別直接寫出APC，PAB，PCD之間的數(shù)量關(guān)系【分析】（1）如圖1，過(guò)P作PEAB，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到APC的度數(shù)；如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PEAB，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到APC的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)P作PEAB，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得出APEPA

40、B，CPEPCD，進(jìn)而得到APCAPE+CPE，即可得到APCPAB+PCD；（3）過(guò)點(diǎn)P作PEAB，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可【答案】解：（1）如圖1，過(guò)P作PEAB，ABCD，PECD，APE+PAB180°，CPE+PCD180°，PAB145°，PCD135°，APC360°145°135°80°，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PEAB，ABCD，PECD，APEPAB，CPEPCD，APCAPE+CPE，APCPAB+PCD105°；故答案為：80°；105°（2）APCPAB+PCD理

41、由：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PEAB，ABCD，PECD，APEPAB，CPEPCD，APCAPE+CPE，APCPAB+PCD；（3）如圖3APCPCDPAB，如圖4APCPABPCD【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，此類題目過(guò)拐點(diǎn)作平行線是解題的關(guān)鍵【變式10-1】（2019春桂平市期末）（1）如圖，CEF90°，點(diǎn)B在射線EF上，ABCD，若ABE130°，求C的度數(shù)；（2）如圖，把“CEF90°”改為“CEF120°”，點(diǎn)B在射線EF上，ABCD猜想ABE與C的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由【分析】（1）過(guò)E作EKAB，則ABE+1180°

42、，根據(jù)ABCD，EKAB，即可得到EKCD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到C的度數(shù)；（2）過(guò)E作EKAB，則ABE+1180°，根據(jù)ABCD，EKAB，即可得到EKCD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到180°ABE+C120°，據(jù)此可得ABE與C的數(shù)量關(guān)系【答案】解：（1）如圖，過(guò)E作EKAB，則ABE+1180°，1180°ABE50°，CEF90°，290°140°，ABCD，EKAB，EKCD，C240°；（2）ABEC60°，理由：如圖，過(guò)E作EKAB，則ABE+1180°

43、;，1180°ABE，ABCD，EKAB，EKCD，C2，CEF1+2120°，即180°ABE+C120°，ABEC180°120°60°【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯(cuò)角【變式10-2】（2019春金水區(qū)校級(jí)期中）在綜合與實(shí)踐課上，老師計(jì)同學(xué)們以“兩條平行線AB，CD和一塊含60°角的直角三角尺EFG（EFG90°，EGF60°）”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)（1）如圖（1），若三角尺的60°角的頂點(diǎn)G放在CD上，若221，求1的度數(shù)；（2）如圖（2），小穎把三角尺的兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)E、G分別放在AB和CD上，請(qǐng)你探索并說(shuō)明AEF與FGC間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖（3），小亮把三角尺的直角頂點(diǎn)F放在CD上，30°角的頂點(diǎn)E落在AB上若AEG，CFG，則AEG與CFG的數(shù)量關(guān)系是什么？用含，的式子表示（不寫理由）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可知1EGD，依據(jù)2+FGE+EGD180°，可求解1的度數(shù)；（