上海高考數(shù)學(xué)試卷及解析

1、2013年上海市秋季高考理科數(shù)學(xué)一、填空題1計(jì)算：【解答】根據(jù)極限運(yùn)算法則，2設(shè)，是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則【解答】3若，則【解答】4已知ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，若，則角C的大小是_（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【解答】，故5設(shè)常數(shù)，若的二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，則【解答】，故6方程的實(shí)數(shù)解為_(kāi)【解答】原方程整理后變?yōu)?在極坐標(biāo)系中，曲線與的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為_(kāi)【解答】聯(lián)立方程組得，又，故所求為8盒子中裝有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，則這兩個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的概率是_（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）【解答】9個(gè)數(shù)5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，根據(jù)題

2、意所求概率為9設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在上，且，若AB=4，則的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為_(kāi)【解答】不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，于是可算得，得10設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列的公差，隨機(jī)變量等可能地取值，則方差【解答】，11若，則【解答】，故12設(shè)為實(shí)常數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)一切成立，則的取值范圍為_(kāi)【解答】，故；當(dāng)時(shí)，即，又，故13在平面上，將兩個(gè)半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過(guò)作的水平截面，所得截面面積為，試?yán)米鏁溤怼⒁粋€(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，得出的體積值為_(kāi)【解答】根據(jù)提示，一個(gè)半徑為1，高為的圓柱平放，一個(gè)高為2，底面面積

3、的長(zhǎng)方體，這兩個(gè)幾何體與放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個(gè)平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為14對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)，記，已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)有反函數(shù)，且，若方程有解，則【解答】根據(jù)反函數(shù)定義，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，而的定義域?yàn)?，故?dāng)時(shí)，的取值應(yīng)在集合，故若，只有二、選擇題15設(shè)常數(shù)，集合，若，則的取值范圍為（ ）(A) (B) (C) (D) 【解答】集合A討論后利用數(shù)軸可知，或，解答選項(xiàng)為B16錢大姐常說(shuō)“便宜沒(méi)好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（）(A)充分條件 (B)必要條件 (C)充分必要條件 (D)既非充分也非必要條件【解答】根據(jù)等價(jià)命題，便宜Þ沒(méi)好

4、貨，等價(jià)于，好貨Þ不便宜，故選B17在數(shù)列中，若一個(gè)7行12列的矩陣的第i行第j列的元素，（）則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)為（ ）(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【解答】，而，故不同數(shù)值個(gè)數(shù)為18個(gè)，選A18在邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為；以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為.若分別為的最小值、最大值，其中,則滿足（ ）. (A) (B) (C) (D) 【解答】作圖知，只有，其余均有，故選D三、解答題19.（本題滿分12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平

5、行于平面DA1C，并求直線BC1到平面D1AC的距離.【解答】因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，故，故ABC1D1為平行四邊形，故，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面DA1C；直線BC1到平面D1AC的距離即為點(diǎn)B到平面D1AC的距離設(shè)為考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得而中，故所以，即直線BC1到平面D1AC的距離為20（6分+8分）甲廠以x千克/小時(shí)的速度運(yùn)輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得利潤(rùn)是元.(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？

6、并求最大利潤(rùn).【解答】(1)根據(jù)題意，又，可解得(2)設(shè)利潤(rùn)為元，則故時(shí)，元21（6分+8分）已知函數(shù)，其中常數(shù)；（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）令，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，區(qū)間（且）滿足：在上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的中，求的最小值【解答】(1)因?yàn)?，根?jù)題意有(2) ，或，即的零點(diǎn)相離間隔依次為和，故若在上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為22（3分+5分+8分）如圖，已知曲線，曲線，P是平面上一點(diǎn)，若存在過(guò)點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn)，則稱P為“C1C2型點(diǎn)”(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“C1C2型點(diǎn)”時(shí)，要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線，試

7、寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn)，求證，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1C2型點(diǎn)”；(3)求證：圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1C2型點(diǎn)”【解答】：（1）C1的左焦點(diǎn)為，過(guò)F的直線與C1交于，與C2交于，故C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)”，且直線可以為；（2）直線與C2有交點(diǎn)，則，若方程組有解，則必須；直線與C2有交點(diǎn)，則，若方程組有解，則必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”。（3）顯然過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線若與曲線C1有交點(diǎn)，則斜率必存在；根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn)，則直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn)，故化簡(jiǎn)得，。若直線與曲線C1有交點(diǎn)，則化簡(jiǎn)得，。由得，但此時(shí)，因?yàn)椋词讲怀闪?；?dāng)時(shí)，式也不成立綜上，直線若與圓內(nèi)有交點(diǎn)，則不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn)，即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)” 23（3 分+6分+9分）給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）若，求及；（2）求證：對(duì)任意，；（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說(shuō)明理由.【解答】：（1）因?yàn)椋?，?）要證明原命題，只需證明對(duì)任意都成立，即