2完全平方數(shù)答案

1、完全平方數(shù)完全平方數(shù)是數(shù)論中較為常見的一類問題，經(jīng)常出現(xiàn)在各種數(shù)學(xué)競賽中. 在解決完全平方數(shù)的有關(guān)問題時，需要用到完全平方數(shù)的性質(zhì)及整數(shù)的有關(guān)知 識， 比如：(1) 完全平方數(shù) “2的個位數(shù)字只能是 0、1、4、5、6、 9；(2) “2的十位數(shù)字為奇數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)川的個數(shù)字是 6；(3 ) n2的個位數(shù)字為5則n2的十位數(shù)字為2.上述特征可概括為：完全平方數(shù)的未兩個數(shù)只能是福 6、畫、畫、 褲、25.記之一 .從上面的性質(zhì)我們還不難分析出，完全平方數(shù)的下列性質(zhì)：(4) 形如322、4k + 2、4k+ 3 (keZ)的數(shù)不是完全平方數(shù)；2(5) 設(shè)p為質(zhì)數(shù)，a是完全平方數(shù)，若pa ,則p a.

2、1利用完全平方的特征例1?求最小的正整數(shù)”，使得n3+2n2是一個奇數(shù)的完全平方數(shù).解：由n3+2n2 =n2(n+2)為奇數(shù)，可知"為奇數(shù).要使nn + 2)為完全平方數(shù)，則 n + 2 為完全平方數(shù)，所以最小的整數(shù) n = 7.例 2. 設(shè)"是一個正整數(shù)， A 是一個 2“位數(shù), 且每個數(shù)位上的數(shù)字均為 4, B 是一個 "位數(shù)，且每個數(shù)位上的數(shù)字均為 &證明： A + 2B + 4 是一個完全平方數(shù) . ( 第七屆巴爾干地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克 )42證明：注意到A = -(102,-l) , B= |(io,-1),故 A + 2B + 42;,= -(1

3、02;, -1) + 2/,(10" -1) + 4 = -x 102/, + x 10" + 2><10，； +4 2 = ( )9 99 9 93因為3|(2xlOn+4),所以，A + 2B + 4是一個完全平方數(shù).2 引入?yún)?shù)例 3. 設(shè) m、 "是正整數(shù)，且滿足 2001m2 + m2 = 2002/72 + n證明：由已知得 m>n,設(shè)m = n + k(k e N).則式化為rv 4002加一 200W k = 0 ,即(" 一 2001幻$ = (2001幻$ +2001/+ =紅 2001 x 2002k +1).因為

4、伙, 2001 x 2002k + 1) = 1,所以 k 和 2001 x 2002點+1均為完全平方數(shù) . 故加-”是一個完全平方數(shù) .例 4. 求所有的正整數(shù)對 (m,n), 使得 m2 -4n 和?？一 4加均為完全平方數(shù)解：由對稱性，不妨設(shè) m, n.(1 )若 “ Z”7 -1,則"2 47% .開一 4" + 4 = ("-2)2.又"2 一 4加”(“-1)2 = “2 2"+ 1 ,且其等號不成立，則n2 4m = (n 2) 2 => “ =加 +1.故一3n =( 777 2)2 8 = /2(/ e N).因為&q

5、uot;Z + / 2與m t 2的奇彳禺'性木目同，且m +1 2 > m t 2 ,所以,m +1 2 = 4, 加-/ +2 = 2.解得加=5 , n = 6是滿足條件的一組解.若"2 = “，則腫一 4 “ =加一 2尸一 4 =尸(/ w N).同上，解得"2 =“ = 4.綜上，所有滿足條件的正整數(shù)對 (" n) = (4,4), (5,6), (6,5). 評注：此題利用完全平方數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)放縮，分類討論，再引入?yún)?shù)通過 聯(lián)立方程組進(jìn)行求解 .例 5?求所有的正整數(shù)”，使得“ + 36是一個完全平方數(shù)，且除了 2或 3以 外，n沒

6、有其他的質(zhì)因數(shù).(2007年湖北省高中數(shù)學(xué))解：設(shè)"+ 36 =(尢 +6)2，其中 x&N,則 n = x(x+12).'x = 2 | .°中依題意，可設(shè)_/,其中g(shù)gb血均為非負(fù)整數(shù)，于是2": .3 勾-T' -3*' =12(1)如果a=a2=0,則3%-3%=12,這是不可能的.所以即勺中至少有一個大 于0, 于是 x 和 x + 12均為偶數(shù)，從而冬均為正整數(shù) .若a2 =1,則2-3A =12 + 2 a' -3 b',顯然只可能a, =1(否則左右兩邊被4除的余數(shù)不相同)，此時 3%=6 + 3”，

7、顯然只能是 Z>2=2,Z>=1, 此時 x = 6,n =108.若?2 .2,則x + 12是4的倍數(shù)，從而x也是4的倍數(shù)，故q.2,此時( 2)顯然 *2? 2 中至少有一個應(yīng)為 0(否則( 2)式左右兩邊奇偶性不相 同).當(dāng) 022 = 0，即 a2=2 時， 3%2“2? 3勺=( 3)此時q-2>0 (否則等式左右兩邊奇偶性不相同)，故 b2 >b若 Q.2, 則( 3)式左邊是 9 的倍數(shù)，而右邊為 3,矛盾，故只可能也=1,從而( 3)式即 3" 日2 心=1,它只有兩組解和為 1 = 1, b 2 1 = 2,a = 5丄 3'此時，

8、對應(yīng)的俺分別為 24和 96,相應(yīng)的俺分別為 864和 gax3,= 2,(4)此時顯然 a2-2 >0 (否則等式左右兩邊奇偶性不相同)，故b2 ,bx.(2)當(dāng) q2 = 0，即 q=2 時， 2"一 3% 3人=若 b2 .2,則( 4)式左邊是 9的倍數(shù)，而右邊是 3,無解. 故 Z?2<1.若 b2 = 0, 則 2C，a2 =若 b2 =1,4則, ( 4)日=1, A= 2,2_2 一 3"式即 2"此時，= 3 ,只可能勺 =0 ,此時 a2 4, x 4, n 64.23° 它只有兩組解 ：二， 和 2,2A=-<i=

9、i ，對應(yīng)的 x 值分別為 12 和 36,相應(yīng)的 "值分別為 288和 1728.因此，符合條件的 "值有 6個，分別為 64, 108, 288, 864, 1728, 10368.評注：此題通過引入適當(dāng)?shù)膮?shù)，從特殊情形出發(fā)，分類討論，從而解決問題3反證法例6.設(shè)正整數(shù)d不等于2、5、13.證明：在集合 2,5,13,中可以找到兩 個不同的元素 a、 b , 使得 ab-1 不是完全平方數(shù) .(第 27屆 IMO 試題)證明：注意到 2x5-1 = 32, 2x13-1 = 52 , 5x13-1 = *.于是只需證明 2 -1、 5d-1、 13d-1 中至少有一個

10、不是完全平方數(shù)即可 .否則，假設(shè)x、y、zwN+,使得2d-1"5 -1 “13<7 1 = z2 由式 e 知兀為奇數(shù)，設(shè)則 2d-l = (2k + l)2 =4/+4k + l.故 d = 2k+2k + , 這說明 d 為奇數(shù).由式0、?知 y、z均為偶數(shù)，令y = 2"z、z - 2n(m,neN+)代入0、？并相減，得2d = rr m2 (ji + m)(n m).由于 2d 為偶數(shù)，故加、 "的奇偶性相同 .從而，(n + m)(n - m) 是4的倍數(shù)，即d為偶數(shù)，矛盾！因此，所證結(jié)論成立 . 評注:反證法是證明此類問題的一種常規(guī)方法 .練

11、習(xí)題1?使得 3"+81 是完全平方數(shù)的正整數(shù)“有()A. 0 個B. 1 個C. 2 個D. 3 個(2007年湖北高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 )1. 解：當(dāng)n<4時，易知3"+81不是完全平方數(shù)？故設(shè)n = k + 4,其中E為正 存在正 整數(shù)x,使得3*+1 =兀2,即3* = x?-1 = (x + l)(x 1),故x+l,x I都是3 的方幕.又兩個數(shù)x + l,x-l 相差2,所以只可能是3和1,從而x = 2,k = I.因此，存在唯 一的正整數(shù)n = k + 4 = 5, 使得3"+81為完全平方數(shù).故選(B).2. 設(shè) an =n2+n + 2(/7

12、= 1,2, )?則在數(shù)列”中()A.有無窮多個質(zhì)數(shù)B.有無窮多個平方數(shù)C.有且只有有限多個質(zhì)數(shù) D.有且只有有限多個平方數(shù)(2006年江蘇省高中數(shù)學(xué)競賽)2.解：因為a” = ” 2+=：瓜-"+1)+2，故2an,且an >2.所以，a” 一定是合數(shù).從而排除選項A、B,又因為".2時，“2 <“2+ “ + 2<2“ + 1 = (“ 故+ 1只)2,有當(dāng)時，是完全平方數(shù)3?集合 1!,2!, ,24!中刪去一個元素 后，余下的元素之積恰好是完全平方數(shù).(2006年江蘇省高中數(shù)學(xué)競賽 )3 .解：由于(2炕! = (2幻(21)!,乘積可化為24X(

13、23!)2X22X(21!)2XX4 X(3!) 2 X2 = 26X(23!) X(21!) XX(3!) 2 X(12!).故刪去的數(shù)為 12!.4 .若6" +2" +2(加，” w N)是一個完全平方數(shù)，則所有可能的(m,n) = .(2005安微省高中數(shù)學(xué)競賽 )4 . 解：當(dāng) H.2 時，有 6"'+2"+2 = 2(3x6"' “+2"“顯+然1),不是完全平 方數(shù). 下面 討論加” 1或"”1的情況.當(dāng)加=0 時,6"'+2"+2 = 2"+3,由于 H.

14、2 時，2"+3 三 3(mod4)所以 2"+3 不 可能 是完全平方數(shù) ?故或 1 ,此時有解 (m,zz) = (0,0).當(dāng)也=1時， 6"'+2"+2 = 2 “ + 由8,于加. 4時， 2"+8 = 8(2 心+1)不可能是完全 平 方數(shù)，故 n = 0, 1 , 2 ,或 3 易知(" “) = (1,0),(1,3).當(dāng) n = 0,l 時，同理可得 (%") = (0,0), (1,0).5 . 證明：不存在正整數(shù) " ，使得 2/+1、3/+1、 6/r+l 均為完全平方數(shù) .(200

15、4 年日本數(shù)學(xué)競賽 )5. 證明：假設(shè) 2/+1、3/r+K 6/r+l 均為完全平方數(shù) .則 36/(6/ +1)(3/ +1)(2/ +1)= (36?4 +18/ +1)2 -1 為完全平方數(shù) , 矛盾 !6.求證：不存在正整數(shù)a、b,使得/+/,及a + F都是完全平方數(shù).6?分析：欲證一個數(shù)不是完全平方數(shù)，只需證明其介于兩個連續(xù)的完全平方數(shù)之 間即可?即欲證“不是完全平方數(shù)，只須證 a2<n<(n + l) 2.證明：女口果 a.b>0則 a? <a?+Z?' a?+a(a + 1)1這說明a2+b不是完全平方數(shù)；女口果 b> aO, Ab-&l

16、t;a+b- , b + b<(b + l),這說明a + F不是完全平方數(shù).所以，不論a、b的大小關(guān)系如何，a2+b及a +夕至少有一個不是完全平方 數(shù)，命題得證 .結(jié)論是兩個都不能同時都為完全平方數(shù)，但其中之一是可以的，例如 ? = 3, b = 40時，a2 +b是完全平方數(shù).同樣的辦法可證a2 + 2b與2a+ b2也不可能為完 全 平方數(shù) .7 .已知正整數(shù)數(shù)列 a”滿足aQ=m,a” =a+487.試確定加的值，使 a”中完 全平方數(shù)的個數(shù)最大 .7 .解：顯然m三0, 1,2, 3(mod4),下面依次討論.若 m=0(mod4),那么 q 三 m +487 =487=3(

17、mod4),a三 a： +487 三(一 1)'+487 三 2(mod4), a?三 a； +487 三 3(mod4),這樣易得嗎三2(mod4),，這樣依次循環(huán).而完全平方數(shù)對4取模應(yīng)余0或1,這樣 a”中至多只有一個完全平方數(shù) (兔).若 m=l(mod4),那么易知 ai =0(mod4),色三 3(mod4), a,=2(mod4), s&=3(mod4),此時至多有 2個完全平方數(shù) (勺和 q).同樣的分析，若m三2或3(mod4),那么 a”中不可能有完全平方數(shù).由上知a”中至多有2個完全平方數(shù)，且只可能為勺和q，下面求m的值使和 再都為完全平方數(shù) .設(shè) a()

18、 =m=k2,那么設(shè) ax = nr 1 + 487 = kw + 487 = n2, .'.81= n 2 -k i0 =(n k5)(n+k 5).注意到487是質(zhì)數(shù)，那么n-k5 =1,解得k=3, .*.m=9.經(jīng)檢驗，m=9時 兔和 均為完全平方數(shù)， .?. 所求加即為 9.8 .求所有正整數(shù)組 (a,b,p,ri), 使得 p 為素數(shù)，且 a3+b3 = p n.8.解：a'+b3 (a + ba +b -ab) - p n,顯然 a + b>l,那么 p|a + b.33假女口 p = 3 , 那么 a3 +b3 = (a + Z?)(a2+b ab) 3&

19、quot;.設(shè) a2+b2-ab = y,如果 7” 當(dāng)心 0 時，a2+b2-ab = l,那么l = a +b 2 ab. .ab , 所以 a = b = 1, 得 3" = 2,矛盾！當(dāng)7 = 1時，3 - a2 +b -ab. .ab , 所以a、0中至少有一個為1，又3 a + b , 所以，另一個為 2.此時 3" =9,所以 n = 2, 由此得到兩組解 (1,2,3,2), (2,1,3,2).女口果"”2,易矢口 "工 0,當(dāng)”時，(a+b)(cr +b 2 -ab)-3 , 那么 a + b = 3,a? + cib = 1. .c

20、ib , 矛盾!當(dāng) “ =2 時，jhkBt a3+b3 = (a + bAa 2 +b2 -ab) -32, AVXa + b = a 2+b2-ab = 3 ,得 a, 0中一個為 1,另一個為 2 . 即得先前求得的兩組解 (1,2,3,2), (2,1,3,2). 即當(dāng) i ”1 或“.2時,有兩組解 (1,2,3,2), (2,1,3,2).如果 7.2 (即 a2 +b2 -ab .9) 且 n .3, 那么 3a+b , 且321 a2 +b2 -ab = (a+b) 2-3ab,所以 323ab,即 3ab,所以 3|a 且 3|b從而(歹+(?=? + £) 爭+

21、($送?餌 31此時仍有(尹+(孑一罟9且H-3.3，重復(fù)上述步驟，重復(fù)k次以后，得(訝+)(栄+導(dǎo))( 訝+(知一十卻導(dǎo)眾此時有(#)2+(#)2 一#*” 3 或"一 3£”女2,口上分析有 # = 1, # = 2，" 2 或 zv h廠 2,廠,n-3k = 2,即(a, b, p, n) = (3 2 x 3 3,3k + 2)或(2x333,3A + 2)伙e N).這里(1,2,3,2)與(2丄3,2)這兩組解也可概括進(jìn)來.經(jīng)檢驗(3',2x3“ ,3,3k +與(2x3',3',3,3k + 2)均是原方程的解.假女口卩鼻

22、3.如果, ， 2,易矢口主 0,當(dāng) =1時?+/? 3 =( 。+方)(/+ 戻一=所 AXa2 +b2-ab = l.ab , a+b=p, a=b=l, p=2,此時得到一組解(1,1,2,1).1 1 2女口果 =2，此時/+Z?3=(q+Z?)(q2+ 戾 一。/?) =/,? *. a + b-p , a +b -ab = lA2# = 0+/? = /+戻-oZ?若是前者貝！ J a=b=l, p = 2 ,矛盾！故 p-a+b-a 2 -A-b 2 -ab. .ab , .I a .b(a-l).若a , b都不小于2,那么aAbAa-V) 2( °),得o, 2,a

23、=2,那么夕+4-2b = Z? + 2,得b = l或2.所以p = 3或4,矛盾！.?.Q方至少有個為1,當(dāng)。=1時，夕+1-/? = /? + 1解得b = 2，同理Z?=l時°2，此 時p=3,矛盾！綜上 2時有一組解 (1,1,2,1).如果".3,那么(-) 3+(-) 3 此時若仍有則繼續(xù)重復(fù)， k 次后P P片 +4=嚴(yán)：設(shè)此時恰好使 n 3k,2, 如上分析，此時 4 = 4 = 1>p = 2 , n-3k = 1, 得 a=b=2* ,p=2,n=3k+l,即(a Q)/毋左 k k k+ (k w N), (1,1,2,1)也可歸納進(jìn)去，經(jīng)檢驗

24、 (2*,2*,2,3k + l)("N) 是原方程的解 綜上所述，(a,b, p,ri) =(3* ,2x3*322)或(2x3*,3* ,3,3k+ 2)或(2*,2*,2,3k + l) (kwN).9 .確定是否存在一個正整數(shù) n, n 無平方因子，恰好被 201 1個不同的質(zhì)數(shù)整除 , 而且 2"+1 被"整除.9 ?假設(shè)存在這樣的 " ，因為"無平方因子且恰好被 201 1個不同的質(zhì)數(shù)整除，可設(shè)？ = A A 102011這里卩1、卩2、P'為互不相同的奇質(zhì)數(shù)（顯然"為奇數(shù)）且卩 < 卩2 <?<&?因為” |2"