16嫣基于層次分析法的選拔與組隊模型

1、（改動此頁內(nèi)容和格式。此承諾書打印簽名后作為紙質的封面，注意論文中不得出現(xiàn)此頁。以請仔細核對，如填寫錯誤，可能被取消評獎資格。）- 2 -賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)填寫）：2018 年高教社杯大學生數(shù)學建模競賽編 號頁賽區(qū)評閱（可供賽區(qū)評閱時使用）：送評閱統(tǒng)一編號（賽區(qū)填寫）：評閱隨機編號（填寫）：（改動此頁內(nèi)容和格式。此編號頁賽區(qū)和評閱使用，參賽隊打印后裝訂到紙質的第二頁上。注意中不得出現(xiàn)此頁。）- 3 -評閱人備注基于層次分析法的選拔與組隊模型摘要以選擇隊員參加大學生數(shù)學建模競賽的組隊問題為背景?，F(xiàn)有 20 名隊員準備參加競賽根據(jù)隊員的能力和水平要選出 18 名優(yōu)秀隊員分別組成 6 個隊每個隊

2、3 名隊員去參加比賽選拔隊員主要考慮 7 個依次遞減的基本條件x1,.,x7 通過給出的每個隊員基本條件量化后的數(shù)據(jù)，建立模型，分析、解決問題。問題一，需要從 20 名隊員中選拔出綜合實力最強的 18 名隊員?；?AHP 法構建層次分析模型，總共分為三層，即目標層 A、準則層 C、方案層 P。目標層 A 的目的是挑選隊員，準則層 C 為 7 項基本條件，P 層為 20 名隊員。首先，用標度法對 C 層、P 層中的元素進行兩兩比較后，在軟件中轉化為矩陣，這樣就可以分別得出中同一層次元素對上一層次同一目標的影響，從而確定他們在目標中所占的比重。經(jīng)驗算，矩陣通過一致性檢驗，最終計算出每名隊員每個條

3、件對目標選擇的總權重，對基本條件求和可得每名隊員的綜合水準。經(jīng)排序，去除綜合實力最弱的 H、I 同學。問題二，要在參賽的 18 名隊員中選拔 3 名隊員組成一支最強的隊伍?？紤] 3 名隊員之間取長補短，某一具體條件達到的最大效應取決于這一能力最強的隊員，隊伍的綜合水平為組內(nèi)各項條件最大值的和。利用 spss 對前項基本條件和與七項總和建立直線回歸方程，結果顯示回歸方程有統(tǒng)計學意義，個人綜合實力和前 3 項實力和有直線回歸關系，作曲線關系，可查兩者較強擬合。這一直線回歸方程表示，定性分析排序隊員的強弱時，剩下 4個條件可忽略不計。建立簡化模型，對準則層只分析前 3 個基本條件 x1、x2、x3。

4、最后， 選擇隊員時選擇前 3 項每項條件最強的隊員，得出為隊員 L、M、S。問題三，分別找到基本條件 x1,x2,x3 中元素按大小降序秩次為 1-5 的隊員。由于x1 的權重最大，得到的 5 名隊員全部保留，將 x1 中最強的 5 名成員分配到 5 個隊伍group1.group5 中。逐次分析優(yōu)化，使這三個指標中最大的前 5 個元素都能被保留。剛好，分配完以上這部分的隊員，5 個隊伍x1,x2,x3 三個基本條件的最大水平都已確定。剩下的隊員隨機分配填補空白賽水平，再求和。造成太大的失衡。計算整體競賽水，先計算每個隊伍的競：層次分析法 直線回歸 逐次分析優(yōu)化 最優(yōu)化 選拔4一、問題重述1.

5、1 背景資料與條件每年舉辦一次的大學生數(shù)學建模競賽是一項以 3 人為一組的團體競賽，所以每個學校都將一個分配問題，這包括如何選拔出最優(yōu)秀的隊員，再從學的組隊，使全校參賽的所有隊伍的整體水平達到最高。目前有 20 名隊員準備參加競賽, 需要根據(jù)隊員的能力和水平選出 18 名優(yōu)秀隊員分別組成 6 個隊。20 個隊員有 7 項量化指標可考量，7 個指標間有重要程度的差別。1.2 需要解決的問題(1) 試建立合理的指標，量化分析各個隊員的整體水平，選拔出綜合實力最強的 18 名隊員。(2) 分析影響一支隊伍的整體水平的因素，并選出使隊伍的綜合實力最強的 3 名隊員。(3) 分析影響使剩下的五支隊伍整體

6、水平最強的因素，量化并每只隊伍的綜合實力。二、問題分析2.1 問題一的分析問題一要求從 20 名隊員中綜合實力最強的 18 名隊員。我們可以利用 AHP 法構建層次分析模型，總共分為三層，即目標層 A、準則層 C、方案層 P。首先比較準則層 C 對目標層 A 的影響，得到兩兩矩陣。其次，在這一單一準則下計算元素相對權重，矩陣一致性檢驗。同理，計算方案層 P 對準則層 C 的元素相對權重。最后，結合以上兩個隊員，確定首選方案。權重，計算方案層各隊員對目標層的組合權重，排序選拔優(yōu)秀2.2 問題二的分析本題需要從剩下的 18 個人中挑選 3 名隊員，組成一支最強的隊伍，這個隊伍的綜合實力達到最大。剖

7、析隊伍的綜合實力，隊伍的綜合實力由 7 個量化指標相加而來;次之，考慮 3名隊員之間取長補短，某一具體能力達到的最大效應取決于這一能力最強的隊員。簡化 7 個量化指標，取隊員前 3 個最重要的能力之和 sum3 和 7 項能力總和 sum7，利用 spss 建立直線回歸方程，探索 sum3、sum7 是否直線回歸關系，結果為回歸方程有統(tǒng)計學意義，個人綜合實力和前 3 項實力和有直線回歸關系，并由較強擬合。前三項綜合實力越強，總體綜合實力越強。剩下 4 項的指標的權重足夠低到忽略不計。可依靠前 3 個指標對所有隊員的綜合實力進行排序。要使隊伍綜合實力最強即等價于分別挑選前 3 個單項指標最強的隊

8、員。52.3 問題三的分析去除最強的隊伍后，還剩下 15 名隊員。去除最強隊伍后，剩下 5 支隊伍的整體競賽水平等于每支隊伍綜合實力的相加。由問題二可知，對某一隊員來說，一個隊的整體水平等于所有元素的權重之和剔除同一指標不如隊友的權重。要使 5 支隊伍的總體競賽水平最大化，要盡可能多的保留前三種指標較大的元素。換言之，一個隊伍中特定能力，要避免撞型，隊員之間互補。首先分別找到 x1,x2,x3 中元素按大小降序秩次為 1-5 的隊員。由于 x1 的權重最大，得到的 5 名隊員全部保留，將 x1 中最強的 5 名成員分配到 5 個隊伍中。逐次分析優(yōu)化，使這三個指標中最大的前5 個元素都能被保留。

9、剛好，分配完這部分的隊員，5 個隊伍x1,x2,x3三個指標的最大水平都已確定。剩下的隊員隨機分配填補空白造成太大的失衡。計算整體競賽水，先計算每個隊伍的競賽水平，再求和。三、模型假設（1） 假設所有隊員接受了同樣的培訓, 外部環(huán)境相同。（2） 假設所有隊員的水平取決于有關學科成績（平均成績）、智力水映思維能力、分析問題和解決問題的能力等）、動手能力（計算機的使用和其它方面實際操行能力）、寫作能力、外語能力、協(xié)作能力（團結協(xié)作能力）和其它特長，且這 7 項能力重要度依次遞減。（3）假設競賽中不考慮其它的隨機因素,競賽水平的發(fā)揮只取決于表中所給的各項條件。四、符號說明12Almaxk準則層相對于

10、目標層的比較矩陣矩陣 A 的最大特征值3lmax 所對應的最大特征向量方案層對準則層的比較矩陣Z 的特征矩陣隊員的序列號456Z Ci(i = 1,2,.,20)6序號符號符號說明7指標的序列號j( j = 1,2,.,7)8第i 人的第j 項實力對目標層總權重的集合第 i 人綜合實力對比賽方案選擇的權重Eij9fi10隊員 o 的第j 項實力mj (o)11隊員 o、p、q 組隊的第j 項水平指標Mi (o, p, q)M T1213表示一個隊伍的競賽水平j = 1,2,3 時的水平簡化的 M，只考量五、模型的建立和求解5.1問題一5.1.1 模型的建立（1）模型背景將問題所包含的因素按屬性

11、不同而分層,可以劃分為最、中間層和最低層。同一層次元素作為準則,對下一層次的某些元素起支配作用,同時它又受上一層次元素的支配 ,這種從上至下的支配關系形成一個遞階層次最示解決問題的目的 ,因此也稱目標層。通常只有一個元素 ,它是問題的預定目標 ,表中間層為實現(xiàn)總目標而采取的措施、方案和政策 ,它可以由若干個層次組成 ,包括所需考慮的準則、子準則 ,因此也稱為準則層。最低層為實現(xiàn)目標可供選擇的各種措施、決策方案等 ,用于解決問題的各種途徑和也稱為方案層。本題中采用進行計算本題層次關系見圖-1：7圖 1-遞接層次示意圖（2）構建 A-C 層兩兩矩陣1)設立矩陣要比較n 個因素 X=x1,x2,xn

12、對目標 A 的影響 ,確定它們在A 中所占的比重.每次取兩個因素 xi 和 x,以 aij 表示 xi 和 xj 對A 的影響之比,得到兩兩比較A = (aij )nn矩陣:1a 0, a =(i j)i jjiai j = 1(i, j = 1, 2,., n)aij得到一個正負反矩陣由題干所知,x1 到x7 的重要程度依次遞減，標度等級依次為 1、3、5、7、9、11、13,其中n=7,得到矩陣 A:8圖 2-矩陣 A2)層次單排序利用軟件求出矩陣 A 的最大特征值：lmax = 7.6084再根據(jù)下列公式：Ak =lmaxk求得所對應的最大特征向量為:k = 0.8203 0.4733

13、0.2669 0.1485 0.0824 0.0467 0.0286以上權向量為：k0 = 0.4394,0.2535 ,0.1430 ,0.0796 ,0.0441,0.0250 ,0.0153其值即為 C 層中 7 個能力水平對于目標層A 中相對重要性的排序。3)一致性檢驗計算 A 的一致性指標 CI：CI = lmax - nn -1式中,n 為 A 的階數(shù)，當 CI=0 時， lmax = n 時,A 具有完全一致性，CI 越大,I 的一致性越差。將 CI 與平均隨機數(shù)一致性指標 RI 進行比較，令 CR=CI/RI，稱 CR 為隨機性一致比率。CR0.10 時,A 具有滿意的一致性，

14、否則要對 A 重新調(diào)整，直到具有滿意的一致性。計算中的特征向量k 經(jīng)過標準化后，才可以作為層次單排序的。查表得 n=7 時,RI=1.32。最終求得 CI（A）=0.1014,CR（A）=0.0746。通過一致性檢驗。(3) 構建 C-P 兩兩1) 設立矩陣 Z矩陣 C設方案層對準則層的比較矩陣 Z 為:9Z = (aij ) i = 1,2,K,20; j = 1,2,K7對矩陣 Z 進行歸一化處理，使 Z 中各列和為 1，表示每位學生某種能力在所有學生中所占的比重，得到的矩陣 C:aijC =, i = 1,2,K20; j = 1,2,K720 aiji=12)一致性檢驗得到 CI(C)

15、=0，CR（C）=0(4)構建 A-P 矩陣 E1檢驗總一致性，CR（總）=CR（A）+ CR （C）=0.0746 0.1一致性通過。2) 計算總權重要確定 P 層各元素對 A 層所有相關因素的權重，即每個人的每種元素在比賽方案選擇中所占的權重，要通過計算特征向量 E:E = k (C max(i)并計算每個人綜合實力對比賽方案選擇的權重:7= Eijj =1fi各元素的比重見表-1：表 1 各元素的總權重表A0.02190.01320.00680.00400.00200.00130.00070.0499B0.02090.01290.00670.00320.00190.00120.00020

16、.0472C0.02040.01270.00700.00420.00230.00130.00100.0488D0.02190.01310.00680.00480.00240.00130.00100.0513E0.02240.01240.00700.00380.00220.00120.00110.0501F0.02340.01350.00680.00390.00230.00120.00070.0519G0.02340.01410.00740.00360.00230.00120.00110.0532H0.01780.01180.00810.00310.00220.00130.00070.0450I

17、0.01960.01210.00690.00320.00240.00120.00060.0461J0.02110.01190.00710.00340.00210.00130.00050.0475K0.02290.01210.00660.00390.00230.00130.00060.0496L0.02450.01340.00670.00490.00220.00130.00070.053710X1X2X3X4X5X6X7學生綜合水平k 0=k 0=0.k 0=0.k 0=0.k 0=0.0k 0=0.025k 0=0.0權重 f0.43942535143007964410153M0.02420.

18、01410.00680.00400.00230.00120.00080.0536N0.02190.01220.00680.00400.00230.00120.00060.0490O0.02320.01280.00730.00420.00220.00130.00060.0515P0.02370.01240.00710.00440.00220.00130.00070.0517Q0.02140.01180.00780.00460.00210.00120.00080.0497R0.02220.01220.00760.00450.00220.00120.00100.0509S0.01960.01190.

19、00790.00380.00230.00130.00110.0479T0.02290.01290.00780.00390.00190.00120.00070.0515(5)篩選最優(yōu)的 18 人fmin 的兩項，利用 Excel 排序，選出為 H、I 同學，將他們移出隊伍，剩下的隊員則為比賽成員。5.1.2 問題二（1）建立隊伍競賽水平的模型從剩下的 18 個人中挑選 3 名隊員，組成一支最強的隊伍，這個隊伍的綜合實力達到最大。剖析隊伍的綜合實力，隊伍的綜合實力由 7 個量化指標相加而來;次之，考慮 3 名隊員之間取長補短，某一具體能力達到的最大效應取決于這一能力最強的隊員。設三個隊員分別為 o

20、,p,q, mj (o) 表示隊員 o 的第 j 項實力， Mi (o, p, q) 表示隊員 o、p、q 組隊的第j 項水平指標：M j (o, p, q) = maxmj (o), mj ( p), mj (q)一個隊的綜合實力為：7M = M j (o, p, q)j =1（2）簡化模型-直線回歸分析取隊員前 3 個最重要的能力之和sum3 和 7 項能力總和sum7，利用 spss 探索 sum3、sum7是否直線回歸關系：3sum3(i) = mijj =1sum7(i) = fi由Spss 得,sum3 和sum7 均符合正態(tài)分布，可以選擇方差分析對兩者得樣本作假設檢驗。1）建立假

21、設檢驗，確定檢驗水準H0 = 0, b = 0，即sum7與sum3之間無直線回歸關系H1 = 0, b 0,即sum7與sum3之間有直線回歸關系11=0.052)計算統(tǒng)計量2_SS總 = （y - y）SS= b2l回xxSS殘 = SS總 - SS回MS回SS回 / v回F = 253.308MS殘SS殘 / v殘v回 = 1，v殘 = n - 2 = 183)確定 P 值，作出統(tǒng)計推斷， 查 F 表，得 P CI=0.1014(查表)CR=0.0746 一致性通過特征向量(0.8203, 0.4733,0.2669,0.1485,0.0824,0.0467 ,0.0286)權向量 w

22、=(0.4394,0.2535 ,0.1430 ,0.0796 ,0.0441 ,0.0250 ,0.0153)Z=8.6 98.2 87.9 9.5 68.2 8.8 8.1 6.5 7.7 9.1 288.6 8.5 8.5 9.2 9.6 88.68.89.28.98.49.28.38.58.29.67.77.99.7 9.7 88.6 9.2 9996189.279.6 9 7.2 9.1 9.2 989.8 6.2 8.7 9.7 67.78.399.69.58.2 8.4 6.5 9.6 9.3 58.1 8.6 6.9 8.5 9.4 48.2 87.8 99.99.5 59.1

23、9.68.18.38.7 9.7 68.199.3 78.69.19.38.48.78.38.78.488.28.88.69.48.18.48.89958.8 9.4 58.6 9.5 69.2 8.4 9.1 78.3 9.2 9.1 8.7 9.2 87.798.1 9.6 7.6 99.6 98.8 9.5 7.97.796m,n=size(Z) b=sum(Z)b1=ones(m,1)b2=b1*bC=Z./b2學生數(shù)據(jù)歸一化：C =0.04990.04750.05220.05110.04730.04670.05000.04070.04520.04400.05080.04870.047

24、20.0157190.04640.04990.05100.05330.05330.04060.04460.04810.05220.05570.05510.04990.05280.05390.04870.05040.04460.05220.04990.05170.04880.05340.05570.04640.04760.04700.04760.05280.05570.04820.05050.04880.04640.04820.04700.05110.04900.04790.04900.04730.05190.05650.04850.04960.04620.04670.04790.04730.0

25、5080.04960.05420.05310.05540.05480.05320.06000.04820.04940.04500.03880.04070.04320.04880.06190.05070.05070.05250.05500.05750.05690.04750.04940.05260.05550.04920.05150.05200.04970.05490.04860.05150.04970.05150.05150.05030.04920.04800.04970.05150.04400.05130.05190.04920.04810.04920.05190.04970.05030.0

26、5080.05190.04970.04810.05030.05080.04870.04920.05130.04810.06300.06300.07090.04720.07090.04720.03940.03150.03940.04720.05510.03940.03940.04720.05510.06300.07090.0472求權向量：Q=0.8203 0.47330.02860.2669 0.1485 0.0824 0.0467w=Q/sum(Q)w=0.4394 0.2535 0.14300.07960.04410.02500.0153d=repmat(w,20,1);E=d.*C f=

27、sum(E,2)各學生的權重E =200.02190.02090.02040.02190.02240.02340.02340.01780.01960.02110.02290.02450.02420.02190.02320.02370.02140.02220.01960.02290.01320.01290.01270.01310.01240.01350.01410.01180.01210.01190.01210.01340.01410.01220.01280.01240.01180.01220.01190.01290.00680.00670.00700.00680.00700.00680.007

28、40.00810.00690.00710.00660.00670.00680.00680.00730.00710.00780.00760.00790.00780.00400.00320.00420.00480.00380.00390.00360.00310.00320.00340.00390.00490.00400.00400.00420.00440.00460.00450.00380.00390.00200.00190.00230.00240.00220.00230.00230.00220.00240.00210.00230.00220.00230.00230.00220.00220.002

29、10.00220.00230.00190.00130.00120.00130.00130.00120.00120.00120.00130.00120.00130.00130.00130.00120.00120.00130.00130.00120.00120.00130.00120.00070.00020.00100.00100.00110.00070.00110.00070.00060.00050.00060.00070.00080.00060.00060.00070.00080.00100.00110.0007整理得：A0.02190.01320.00680.00400.00200.00130.00070.0499B0.02090.01290.00670.00320.00190.00120.00020.0472C0.02040.01270.00700.00420.00230.00130.00100.0488D0.02190.01310.00680.00480.00240.00130.00100.0513E0.02240.01240.00700.00380.00220.00120.00110.0501F0.02340.01350.00680