專題711橢圓的極坐標(biāo)方程相關(guān)問(wèn)題的研究與拓展

1、專題7. 11：橢圓的極坐標(biāo)方程相關(guān)問(wèn)題的研究與拓展【探究拓展】探究1：若以為極點(diǎn)，以作為極軸，設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)利用橢圓的第二定義推導(dǎo)以左焦點(diǎn)為極點(diǎn)的橢圓的極坐標(biāo)方程變式1:：請(qǐng)利用橢圓的第二定義推導(dǎo)以右焦點(diǎn)為極點(diǎn)的橢圓的極坐標(biāo)方程；變式2:：若過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若設(shè)點(diǎn)的極角為，寫出和；探究2：在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的右焦點(diǎn)為（，為常數(shù)），離心率等于0.8，過(guò)焦點(diǎn)、傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若時(shí)，求實(shí)數(shù)；（3）試問(wèn)的值是否與的大小無(wú)關(guān)，并證明你的結(jié)論解：（1），橢圓離心率， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （2）在橢圓方程中，令，解得當(dāng)時(shí)，直線MNx軸，

2、此時(shí) ， 解得 （3）的值與的大小無(wú)關(guān) 證明如下：法一：設(shè)點(diǎn)M、N到右準(zhǔn)線的距離分別為 ， 又由圖可知， 即 同理，=顯然該值與與的大小無(wú)關(guān) 法二：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（2）知，的值與的大小無(wú)關(guān)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得 設(shè)點(diǎn)、，恒成立，11分=顯然該值與與的大小無(wú)關(guān) （優(yōu)化方法：借助橢圓的第二定義，應(yīng)用平面幾何的相關(guān)性質(zhì)解決）本題結(jié)論可進(jìn)一步推廣：（1）若是經(jīng)過(guò)橢圓焦點(diǎn)的一條弦，其中分別是直線與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則定值；（2）若是經(jīng)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)的一條弦，其中分別是直線與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則定值；（3）若是經(jīng)過(guò)拋物線（）焦點(diǎn)的一條弦，其中分別是直線與拋物線的兩個(gè)焦點(diǎn)

3、，則定值；ABPOxy探究3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，已知和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)P（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值變式：橢圓的右焦點(diǎn)為，為24個(gè)依逆時(shí)針順序排列在橢圓上的點(diǎn)，其中是橢圓的右頂點(diǎn)，并且若這24個(gè)點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離的倒數(shù)和為，則的值為 . 180拓展1：某人欲設(shè)計(jì)一個(gè)如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”，其中是過(guò)拋物線焦點(diǎn)且互相垂直的兩條弦，該拋物線的對(duì)稱軸為，通徑長(zhǎng)為4記，為銳角（通徑：經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦）（1）用表示的長(zhǎng)；

4、（2）試建立“蝴蝶形圖案”的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計(jì)的大小，使“蝴蝶形圖案”的面積最小解：（1）由拋物線的定義知，解得，（2）據(jù)（1）同理可得，所以“蝴蝶形圖案”的面積， 即， 令，則，所以當(dāng)，即時(shí)，的最小值為8 答：當(dāng)時(shí)，可使“蝴蝶形圖案”的面積最小 拓展2：已知曲線的參數(shù)方程是 (為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.正方形的頂點(diǎn)都在上，且以逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)的極坐標(biāo)為 .（1）求點(diǎn) 的直角坐標(biāo)；（2）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.拓展3：已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓與直線相切.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)作兩條互相垂直的直線和，與橢圓分別交于及兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值與最小值. 可進(jìn)一步探究：結(jié)論能否作進(jìn)一步推廣？結(jié)論如何？推廣后的結(jié)論：；思考1：已知點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足到點(diǎn)的距離與其到定直線的距離之比為，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程？ 此時(shí)應(yīng)用求軌跡方程的一般步驟求解，否則不給分，此處未告知橢圓的中心是否在坐標(biāo)原點(diǎn)思考2：可模仿某年全國(guó)高考試題命題：求證四邊形面積的最大值只與橢圓的短半軸長(zhǎng)有關(guān)拓展4：如圖，中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為F（3，0），右準(zhǔn)線