21參數(shù)方程的概念

1、 高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修4-4 第二章第二章參數(shù)方程參數(shù)方程2.1 參數(shù)方程參數(shù)方程的概念的概念一、曲線的參數(shù)方程一、曲線的參數(shù)方程1、參數(shù)方程的概念、參數(shù)方程的概念探究：如圖探究：如圖, 一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m的高處以的高處以100m/s的速度作水平直線飛行的速度作水平直線飛行, 為使為使投放的救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面投放的救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面(不計(jì)不計(jì)空氣阻力空氣阻力), 飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？,100tx ,215002gty xyOAM(x,y)v=100500 ,21500,1002gtytx一、

2、一、方程組有方程組有3個(gè)變量個(gè)變量,其中的其中的x, y表示點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo),變量變量t叫做參變量叫做參變量, 而且而且x, y分別是分別是t的函數(shù)。的函數(shù)。二、二、由物理知識(shí)可知由物理知識(shí)可知,物體的位置由時(shí)間物體的位置由時(shí)間t唯一決唯一決定定, 從數(shù)學(xué)角度看從數(shù)學(xué)角度看, 這就是點(diǎn)這就是點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo)x, y由由t唯一唯一確定確定, 這樣當(dāng)這樣當(dāng)t在允許值范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)在允許值范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí), x, y的的值也隨之連續(xù)地變化值也隨之連續(xù)地變化, 于是就可以連續(xù)地描繪出于是就可以連續(xù)地描繪出點(diǎn)的軌跡點(diǎn)的軌跡.三、三、平拋物體運(yùn)動(dòng)軌跡上的點(diǎn)與滿足方程組平拋物體運(yùn)動(dòng)軌跡上的點(diǎn)與滿足方程

3、組的有序?qū)崝?shù)對(duì)的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x, y)之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 1. 參數(shù)方程的意義參數(shù)方程的意義: 一般地一般地, 在取定的坐標(biāo)系中在取定的坐標(biāo)系中, 如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x, y都是某個(gè)變數(shù)都是某個(gè)變數(shù) t 的函數(shù)的函數(shù), 即即 ),(),(tgytfx 并且對(duì)于并且對(duì)于 t 的每一個(gè)允許值的每一個(gè)允許值, 由方程組所確定由方程組所確定的點(diǎn)的點(diǎn)M(x, y)都在這條曲線上都在這條曲線上, 那么方程組就叫那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程做這條曲線的參數(shù)方程, 其中聯(lián)系其中聯(lián)系x, y之間關(guān)系之間關(guān)系的變數(shù)的變數(shù) t 叫做參變數(shù)叫做參變數(shù), 簡(jiǎn)稱參數(shù)

4、簡(jiǎn)稱參數(shù). 它可以是有物理、幾何意義的變數(shù)它可以是有物理、幾何意義的變數(shù), 也可以也可以是沒有明顯意義的變數(shù)是沒有明顯意義的變數(shù).相對(duì)于相對(duì)于參數(shù)方程參數(shù)方程來說來說,前面學(xué)過的直接給出曲線前面學(xué)過的直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程, 叫做曲線的叫做曲線的普通方程普通方程.注：注：1. 參數(shù)方程的特點(diǎn)是沒有直接體現(xiàn)曲線上參數(shù)方程的特點(diǎn)是沒有直接體現(xiàn)曲線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，而是分別體現(xiàn)了點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，而是分別體現(xiàn)了點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與參數(shù)之間的關(guān)系點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與參數(shù)之間的關(guān)系.2. 參數(shù)方程的應(yīng)用往往是在參數(shù)方程的應(yīng)用往往是在x與與y直接關(guān)系很難直接關(guān)系很難

5、或不可能體現(xiàn)時(shí)或不可能體現(xiàn)時(shí), 通過參數(shù)建立間接的聯(lián)系通過參數(shù)建立間接的聯(lián)系.例例 已知曲線已知曲線C的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是 ( t 是參數(shù)是參數(shù) ): (1) 判斷點(diǎn)判斷點(diǎn) M1 ( 0 , 1 ), M2 ( 5 , 4 )與曲線與曲線C的位置的位置關(guān)系關(guān)系; (2) 已知點(diǎn)已知點(diǎn) M3 ( 6 , a )在曲線在曲線C上上, 求求 a 的值的值. 1232tytx解解:(1)把點(diǎn)把點(diǎn) M1 的坐標(biāo)的坐標(biāo)(0, 1 )代入方程組代入方程組, 解得解得 t = 0 , 所以點(diǎn)所以點(diǎn) M1 在曲線在曲線C上上; 把點(diǎn)把點(diǎn) M2 的的坐標(biāo)的的坐標(biāo)(5, 4)代入方程組代入方程組, 這個(gè)方程組無(wú)

6、解這個(gè)方程組無(wú)解, 所以點(diǎn)所以點(diǎn) M2 不在曲線不在曲線C上上. 124352tt解解:(2) 因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn) M3 (6, a) 在曲線在曲線C上上, 12362tat所以所以解得解得 t = 2 , a = 9 .所以所以, a = 9 . 1232tytx例例1. 已知曲線已知曲線C的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是(1)判斷點(diǎn)判斷點(diǎn)M1(0, 1), M2(5, 4)是否在是否在C上上;(2)已知點(diǎn)已知點(diǎn)M3(6, a)在曲線在曲線C上，求上，求a.100:1 ytxM4959355:2 ytxMaytxM 926:3212 ,().xttayat 為參數(shù),R訓(xùn)練訓(xùn)練1:已知曲線已知曲線C的參數(shù)方

7、程是的參數(shù)方程是點(diǎn)點(diǎn)M(5, 4)在該在該 曲線上曲線上, 求常數(shù)求常數(shù)a. 解：將點(diǎn)解：將點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo)(5, 4)代入方程組，得到代入方程組，得到解得解得 t=2，a=1 24215att2.曲線曲線 (t為參數(shù)為參數(shù))與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為為( )25 ,1 2xtyt 2111.(0, ),( ,0).(0, ),( ,0)5252AB5.(0, 4),(8,0).(0, ),(8,0)9CD1512B解析解析:消去參數(shù)消去參數(shù)t,可得可得2x+5y-1=0,令令x=0,則則y= ; 令令y=0, 則則x= .1( ,0)21(0, ).5即與即與x軸交點(diǎn)為軸交點(diǎn)為 和和y軸

8、交點(diǎn)為軸交點(diǎn)為3. 由方程由方程x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0(t為參數(shù)為參數(shù))所表示所表示的一組圓的圓心軌跡是的一組圓的圓心軌跡是( ) A.一個(gè)定點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn) B.一個(gè)橢圓一個(gè)橢圓 C.一條拋物線一條拋物線 D.一條直線一條直線解析解析:上述方程可變形為上述方程可變形為(x-2t)2+(y-t)2=4,這組圓的圓心坐標(biāo)為這組圓的圓心坐標(biāo)為(2t, t).令令圓心的軌跡是一條直線圓心的軌跡是一條直線.2 ,xtytDx-2y=0.5. 已知曲線已知曲線C的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 已知已知 在曲線在曲線C上上,則相應(yīng)的則相應(yīng)的 值為值為( )(,)2,2,xcosysin02為參數(shù)(

9、1,3)A2511.3336ABCD12,:32,cossin解C5.3 21cos23sin 二二、參數(shù)方程和普通方程的互化參數(shù)方程和普通方程的互化1. 普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)如：直線如：直線L 的普通方程是的普通方程是2x-y+2=0, 令令x=t可以化為參數(shù)方程可以化為參數(shù)方程. 22,tytx（t為參數(shù)）為參數(shù)）在普通方程在普通方程xy=1中中, 令令x = tan ,可以化為參數(shù)方程可以化為參數(shù)方程 .cot,tanyx（ 為參數(shù)）為參數(shù)）(2)參數(shù)方程通過參數(shù)方程通過代入消元代入消元或或加減消元加減消元消去參數(shù)消去參數(shù)化為普通方程化為普通方

10、程如如:參數(shù)方程參數(shù)方程.sin,cosrbyrax消去參數(shù)消去參數(shù) 可得可得圓的普通方程圓的普通方程 (x-a)2+(y-b)2=r2.可得普通方程：可得普通方程：y=2x-4. 42,tytx參數(shù)方程參數(shù)方程（t為參數(shù)）為參數(shù)）通過代入消元法消去參數(shù)通過代入消元法消去參數(shù)t ,(x0)注意：注意：在參數(shù)方程與普通方程的互化中在參數(shù)方程與普通方程的互化中, 必須使必須使x，y的取值范圍保持一致的取值范圍保持一致. 否則否則, 互化就是不等價(jià)的互化就是不等價(jià)的. 例例1. 把下列參數(shù)方程化為普通方程把下列參數(shù)方程化為普通方程, 并說明它并說明它們各表示什么曲線？們各表示什么曲線？1()12ty

11、tx=t(1)為參數(shù)sincos().1sin2y x=(2)為參數(shù)(1)11231)11xtyx 解解： 因因?yàn)闉樗砸云掌胀ㄍǚ椒匠坛淌鞘牵▁ x這這是是以以（ ， ）為為端端點(diǎn)點(diǎn)的的一一條條射射線線（包包括括端端點(diǎn)點(diǎn)）sincos().1sin2y x=(2)為參數(shù)2(2)sincos2sin()42,2,2,2 .因?yàn)椋核运云胀ǚ匠淌莤xxy x 例例2. 參數(shù)方程參數(shù)方程)20()sin1 (21|,2sin2cos| yx表示表示 （ ）（A）雙曲線的一支，這支過點(diǎn)）雙曲線的一支，這支過點(diǎn)(1，);21（B）拋物線的一部分，這部分過）拋物線的一部分，這部分過 （C）雙曲線的一

12、支，這支過點(diǎn)）雙曲線的一支，這支過點(diǎn) （D）拋物線的一部分，這部分過）拋物線的一部分，這部分過 );21, 1 ();21, 1( ).21, 1( 分析分析 一般思路是：化參數(shù)方程為普通方程一般思路是：化參數(shù)方程為普通方程求出范圍、判斷求出范圍、判斷.解解:22)2sin2(cos x=1+sin =2y，普通方程是普通方程是x2=2y, 為拋物線為拋物線. , )42sin(2|2sin2cos| x又又0 2 ，, 20 x故應(yīng)選（故應(yīng)選（B）說明說明: 這里切不可輕易去絕對(duì)值討論這里切不可輕易去絕對(duì)值討論, 平方法是平方法是最好的方法。最好的方法。例例4. (1)設(shè)x=3cos ， 為

13、參數(shù)；2.tt(2)設(shè)y=， 為參數(shù)22194xy求橢圓的參數(shù)方程。22cossin1cos,sin3cos2sinxyxy令32為參數(shù)解解:2.tt(2)設(shè)y=， 為參數(shù)22194xy求橢圓的參數(shù)方程。)1 ( 9222txty 解解: 由由223 13 1222xtxtytyt（ ）參參數(shù)數(shù)方方程程是是或或思考：思考：為什么（為什么（2）中的兩個(gè)參數(shù)方程合起來）中的兩個(gè)參數(shù)方程合起來才是橢圓的參數(shù)方程？才是橢圓的參數(shù)方程？練習(xí)練習(xí):1. 曲線曲線y=x2的一種參數(shù)方程是（的一種參數(shù)方程是（ ）. 2224sin A B C Dsinxtxtxtxtytytytyt、分析分析: : 在在y=x2中中, xR, 在在A、B、C中中, x, y的范圍都發(fā)生了變化，的范圍都發(fā)生了變化，因而與因而與 y=x2 不等價(jià)；不等價(jià)；注意：注意：