簡諧運動及其圖象

1、.簡諧運動及其圖象【學習目的】1知道什么是彈簧振子以及彈簧振子是理想化模型。2知道什么樣的振動是簡諧運動。3明確簡諧運動圖像的意義及表示方法。4知道什么是振動的振幅、周期和頻率。5理解周期和頻率的關(guān)系及固有周期、固有頻率的意義。6知道簡諧運動的圖像是一條正弦或余弦曲線，明確圖像的物理意義及圖像信息。7能用公式描繪簡諧運動的特征?！疽c梳理】要點一、機械振動1彈簧振子彈簧振子是小球和彈簧所組成的系統(tǒng)，這是一種理想化模型如下圖裝置，假如球與桿之間的摩擦可以忽略，且彈簧的質(zhì)量與小球的質(zhì)量相比也可以忽略，那么該裝置為彈簧振子2平衡位置平衡位置是指物體所受回復力為零的位置3振動 物體或物體的一部分在平衡

2、位置附近所做的往復運動，叫做機械振動 振動的特征是運動具有重復性要點詮釋：振動的軌跡可以是直線也可以是曲線4振動圖像1圖像的建立：用橫坐標表示振動物體運動的時間，縱坐標表示振動物體運動過程中對平衡位置的位移，建立坐標系，如下圖 2圖像意義：反映了振動物體相對于平衡位置的位移隨時間變化的規(guī)律 3振動位移：通常以平衡位置為位移起點，所以振動位移的方向總是背離平衡位置的如下圖，在圖像中，某時刻質(zhì)點位置在軸上方，表示位移為正如圖中時刻，某時刻質(zhì)點位置在軸下方，表示位移為負如圖中時刻4速度：跟運動學中的含義一樣，在所建立的坐標軸也稱為“一維坐標系上，速度的正負號表示振子運動方向與坐標軸的正方向一樣或相反

3、 如下圖，在坐標軸上，設點為平衡位置。為位移最大處，那么在點速度最大，在兩點速度為零在前面的圖像中，時刻速度為正，時刻速度為負要點二、簡諧運動1簡諧運動 假如質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)規(guī)律，即它的振動圖像是一條正弦曲線，這樣的振動叫做簡諧運動 簡諧運動是物體偏離平衡位置的位移隨時間做正弦或余弦規(guī)律而變化的運動，它是一種非勻變速運動 物體在跟位移的大小成正比，方向總是指向平衡位置的力的作用下的振動，叫做簡諧運動 簡諧運動是最簡單、最根本的振動 2實際物體看做理想振子的條件 1彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量小得多，可以認為質(zhì)量集中于振子小球；2當與彈簧相接的小球體積足夠小時，可以認為小球是一個質(zhì)點

4、；3當程度桿足夠光滑時，可以忽略彈簧以及小球與程度桿之間的摩擦力；4小球從平衡位置拉開的位移在彈簧的彈性限度內(nèi) 3理解簡諧運動的對稱性如下圖，物體在與間運動，點為平衡位置，和兩點關(guān)于點對稱，那么有： 1時間的對稱： 2速度的對稱： 物體連續(xù)兩次經(jīng)過同一點如點的速度大小相等，方向相反物體經(jīng)過關(guān)于點對稱的兩點如與兩點的速度大小相等，方向可能一樣，也可能相反4從振動圖像分析速度的方法 1從振動位移變化情況分析：如下圖，例如欲確定質(zhì)點在時刻的速度方向，取大于一小段時間的另一時刻，并使極小，考察質(zhì)點在時刻的位置，可知，即位于的下方，也就是經(jīng)過很短的時間，質(zhì)點的位移將減小，說明時刻質(zhì)點速度方向沿軸的負方向

5、同理可斷定時刻質(zhì)點沿軸負方向運動，正在分開平衡位置向負最大位移處運動 假設，由簡諧運動的對稱特點，還可判斷和時刻對應的速度大小關(guān)系為。 2從圖像斜率分析：圖像切線斜率為正，速度方向為正方向，圖像切線斜率為負，速度方向為負方向，斜率絕對值表示速度大小斜率大、速度大要點三、描繪簡諧運動的根本概念 1全振動 一個完好的振動過程，稱為一次全振動不管以哪里作為開場研究的起點，彈簧振子完成一次全振動的時間總是一樣的2周期 1定義：做簡諧運動的物體完成一次全振動所需要的時間叫做振動的周期，用表示 2單位：在國際單位制中，周期的單位是秒 3意義：周期是表示振動快慢的物理量 周期越長表示物體運動得越慢，周期越短

6、表示物體運動得越快 4簡諧運動的周期公式：要點詮釋：公式中為做簡諧運動物體的質(zhì)量，為做簡諧運動物體受到的合外力跟位移的大小的比例常數(shù)3振幅 1定義：振動物體分開平衡位置的最大間隔 ，叫做振幅，用表示 2單位：在國際單位制中，振幅的單位是米 3意義：振幅是表示振動強弱的物理量要點詮釋：振幅是一個標量，是指物體偏離平衡位置的最大間隔 它沒有負值，也無方向，所以振幅不同于最大位移在簡諧運動中，振幅跟頻率或周期無關(guān)在一個穩(wěn)定的振動中，物體的振幅是不變的振動物體在一個全振動過程通過的路程等于個振幅，在半個周期內(nèi)通過的路程是兩個振幅，但個周期內(nèi)通過的路程不一定等于一個振幅可以比一個振幅大，也可以比一個振幅

7、小4頻率 1定義：單位時間內(nèi)完成的全振動的次數(shù)，叫故振動的頻率，用表示常把物體在內(nèi)完成的全振動次數(shù)叫做頻率 2單位：在國際單位制中，頻率的單位是赫茲 3意義：頻率是表示物體振動快慢的物理量頻率越大表示振動得越快，頻率越小表示振動得越慢 4周期與頻率的關(guān)系：。5固有頻率和固有周期：振子獲得能量后，物體開場振動物體的振動頻率，只是由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定，與其他因素無關(guān)，其振動頻率叫固有頻率，振動周期也叫固有周期要點四、簡諧運動的描繪1簡諧運動的表達式： 1式中表示振動質(zhì)點相對于平衡位置的位移，表示振動的時間 2表示振動質(zhì)點偏離平衡位置的最大間隔 ，即振幅 3叫做簡諧運動的圓頻率，它也表示簡諧運動

8、物體振動的快慢與周期及頻率的關(guān)系：所以表達式也可寫成：或 4表示時，簡諧運動質(zhì)點所處的狀態(tài)，稱為初相位或初相代表了簡諧運動的質(zhì)點在時刻處在一個運動周期中的哪個狀態(tài)，所以代表簡諧運動的相位 5簡諧運動的位移和時間的關(guān)系也可用余弦函數(shù)表示成：，注意同一振動用不同函數(shù)表示時相位不同，而且相位 是隨時間變化的量 6相位每增加就意味著完成了一次全振動 2測量彈簧振子周期的方法彈簧振子的周期一般較小，測定其周期時，一般是用秒表測出振子完成次全振動所用的時間，那么值取大一些如可以減小周期的測量誤差3計算振動物體通過的路程的方法 一個周期內(nèi)，振子的運動路程為假設全振動的次數(shù)為，那么振動物體通過的路程為 4對一

9、次全振動的認識 對簡諧運動的物體，某一階段的振動是否為一次全振動，可以從以下兩個角度判斷： 一是從物體經(jīng)過某點時的特征物理量看，假如物體的位移和速度都回到原值大小、方向兩方面，即物體完成了一次全振動； 二是看物體在這段時間內(nèi)通過的路程是否等于振幅的四倍 5相位差 是指兩個相位之差，在實際中經(jīng)常用到的是兩個具有一樣頻率的簡諧運動的相位差，反映出兩簡諧運動的步調(diào)差異 設兩簡諧運動和的振動方程分別為：它們的相位差為 可見，其相位差恰好等于它們的初相之差，因為初相是確定的，所以頻率一樣的兩個簡諧運動有確定的相位差假設那么稱的相位比的相位超前，或的相位比的相位落后；假設那么稱的相位比的相位落后，或的相位

10、比的相位超前1同相：相位差為零，一般的為2反相：相位差為，一般的為 要點詮釋：比較相位或計算相位差時，要用同種函數(shù)來表示振動方程，相位差的取值范圍： 6振動圖像的信息 如下圖，那么 1從圖像上可知振動的振幅為； 2從圖像上可知振動的周期為； 3從圖像上可知質(zhì)點在不同時刻的位移，時刻對應位移，時刻對應位移； 4從圖像上可以比較質(zhì)點在各個時刻速度的大小及符號表示方向，如時刻質(zhì)點的速度較時刻質(zhì)點的速度小，時刻質(zhì)點的速度為負，時刻質(zhì)點的速度也為負時刻是質(zhì)點由最大位移處向平衡位置運動過程的某一時刻，而時刻是質(zhì)點由平衡位置向負的最大位移運動過程中的某一時刻； 5從圖像上可以比較質(zhì)點在各個時刻加速度的大小及

11、符號，如時刻的加速度較質(zhì)點在時刻的加速度大，時刻質(zhì)點加速度符號為負，時刻質(zhì)點加速度符號為正；6從圖像可以看出質(zhì)點在不同時刻之間的相位差7簡諧運動的周期性 簡諧運動是一種周而復始的周期性的運動，按其周期性可作如下判斷：1假設那么兩時刻振動物體在同一位置，運動情況一樣2假設那么兩時刻，描繪運動的物理量均大小相等，方向相反3假設或那么當時刻物體到達最大位移處時，時刻物體到達平衡位置；當時刻物體在平衡位置時，時刻到達最大位移處；假設時刻，物體在其他位置，時刻物體到達何處就要視詳細情況而定【典型例題】類型一、簡諧運動的根本概念 例1關(guān)于機械振動的位移和平衡位置，以下說法中正確的選項是 A平衡位置就是物體

12、振動范圍的中心位置 B機械振動的位移總是以平衡位置為起點的位移 C機械振動的物體運動的路程越大，發(fā)生的位移也越大 D機械振動的位移是指振動物體偏離平衡位置最遠時的位移【思路點撥】平衡位置是物體所受回復力為零時所在的位置【答案】B 【解析】平衡位置是物體可以靜止時的位置，所以應與受力有關(guān)，與是否為振動范圍的中心位置無關(guān)如乒乓球豎直落在臺面上的運動是一個機械振動，顯然其運動過程的中心位置應在臺面上，所以A項不正確；振動位移是以平衡位置為初始點，到質(zhì)點所在位置的有向線段，振動位移隨時間而變，振子偏離平衡位置最遠時，振動物體振動位移最大，所以只有選項B正確【總結(jié)升華】位移和平衡位置是機械振動問題中非常

13、重要的概念位移的正負方向應該作出規(guī)定，平衡位置那么是物體所受回復力為零時所在的位置舉一反三:【高清課堂：簡諧振動及其圖像例1】【變式1】一質(zhì)點做簡諧運動，其振動圖象如下圖，那么 A振幅是 B振動頻率為 C時，質(zhì)點速度為正且最大D時，質(zhì)點速度為正且最大【答案】A C【變式2】一質(zhì)點作簡諧運動，圖象如下圖，在到這段時間內(nèi)，質(zhì)點的運動情況是 A沿負方向運動，且速度不斷增大B沿負方向運動的位移不斷增大C沿正方向運動，且速度不斷增大D沿正方向的加速度不斷減小【答案】C D類型二、振動圖像的理解 例2如圖是用頻閃照相的方法獲得的彈簧振子的位移一時間圖像，以下有關(guān)該圖像的說法正確的選項是 A該圖像的坐標原點

14、建立在彈簧振子小球的平衡位置 B從圖像可以看出小球在振動過程中是沿軸方向挪動的 C為了顯示小球在不同時刻偏離平衡位置的位移，讓底片沿垂直軸方向勻速運動 D圖像中小球的疏密顯示出一樣時間內(nèi)小球位置變化快慢不同【答案】A、C、D【解析】由圖可直觀地獲得以下信息：時刻振子的位置振子的振動方向底片的運動方向軸負方向振動速度的變化等由圖像可見，時刻振子位移為，故位于平衡位置，A項正確；小球只在軸上振動，橫軸雖是由底片勻速運動得到的位移，但，已轉(zhuǎn)化成了時間軸，B項錯誤，C項正確；圖像中兩相鄰小球之間的時間間隔一樣，疏處說明其位置變化快，密處說明其位置變化慢，故D項正確類型三、根據(jù)質(zhì)點振動判斷振動圖像 例3

15、一彈簧振子沿軸振動，振幅為，振子的平衡位置位于軸上的點如圖甲中的為四個不同的振動狀態(tài)：黑點表示振子的位置，黑點上的箭頭表示運動的方向如圖乙給出的四條振動曲線，可用于表示振子的振動圖像的是 A假設規(guī)定狀態(tài)時，那么圖像為 B假設規(guī)定狀態(tài)時，那么圖像為 C假設規(guī)定狀態(tài)時，那么圖像為 D假設規(guī)定狀態(tài)時，那么圖像為 【思路點撥】把振動圖像和振動的情景結(jié)合起來，由圖像獲取信息形成物理情景，或由實際運動情景轉(zhuǎn)化為振動圖像并注意規(guī)定正方向和零時刻不同?！敬鸢浮緼、D【解析】振子在狀態(tài)時，此時的位移為，且向規(guī)定的正方向運動，應選項A正確振子在狀態(tài)時，此時的位移為，且向規(guī)定的負方向運動。相應的圖中初始位移不對振子

16、在狀態(tài)時，此時的位移為，且向規(guī)定的負方向運動，相應的圖中運動方向及初始位移均不對振子在狀態(tài)時，此時的位移為，速度為零，應選項D正確【總結(jié)升華】解決振動問題技巧之一是把振動圖像和振動的情景結(jié)合起來，由圖像獲取信息形成物理情景，或由實際運動情景轉(zhuǎn)化為振動圖像并注意規(guī)定正方向和零時刻不同。振動圖像的形狀一般不同舉一反三:【變式1】一個彈簧振子在間做簡諧運動，為平衡位置，如圖甲所示，從某時刻起開場計時，經(jīng)過周期，振子具有正向最大速度，那么如圖乙所示的圖象中，哪一個能正確反映振子的振動情況？【答案】C【變式2】1做簡諧振動的物體，振動周期為，從振子經(jīng)過平衡位置時開場計時，那么當時，物體 A正在做加速運動

17、，且加速度逐漸增大B正在做加速運動，且加速度逐漸減小C正在做減速運動，且加速度逐漸增大 D正在做減速運動，且加速度逐漸減小2如上圖是豎直放置的彈簧振子不計空氣阻力時的振動情況。由圖可知：彈簧振子相對平衡位置的位移和時間的函數(shù)關(guān)系為_；假設從如圖位置開場計時，那么位移和時間的函數(shù)關(guān)系為_，請在原圖上畫出該圖象。 【答案】1C 2，【解析】1秒等于個周期，從振子經(jīng)過平衡位置時開場計時，向上還是向下振動，沒有說，可以分別設開場時向上、向下振動，都在遠離平衡位置，即做減速運動，加速度逐漸增大。2分析右圖，由振幅、周期，算出角速度，初相位為，從而寫出振動方程。由左圖可知，從振子經(jīng)過平衡位置向上時開場計時

18、，振幅、周期與右圖均一樣，初相位為零，從而寫出振動方程。類型四、簡諧運動的位移、振幅、路程的關(guān)系及簡諧振動周期性的多解問題 例4一個質(zhì)點做簡諧運動，振幅是，頻率為，該質(zhì)點從平衡位置起向正方向運動，經(jīng)，質(zhì)點的位移和路程分別是 A B C D【答案】D【解析】 由得每個周期質(zhì)點通過的路程為故質(zhì)點的總路程質(zhì)點時刻從平衡位置向正向位移運動，經(jīng)過周期運動到正向最大位移處，即位移故D項正確 【總結(jié)升華】求路程時，首先應明確振動過程經(jīng)過幾個整數(shù)周期，最后再分析最后不到一個周期的時間內(nèi)的路程，兩部分之和即為總的路程，振子在周期內(nèi)的路程可能等于一個振幅，也可能大于一個振幅，還可能小于一個振幅，只有從平衡位置或最

19、大位移處開場運動，周期內(nèi)的路程才等于一個振幅例5一質(zhì)點在平衡位置附近做簡諧運動，從它經(jīng)過平衡位置起開場計時，經(jīng)質(zhì)點第一次通過點，再經(jīng)第二次通過點，那么質(zhì)點振動周期是多少？ 【思路點撥】由于振動的往復性，質(zhì)點經(jīng)過某一位置時，因速度方向不一致會導致多解【答案】【解析】將物理過程模型化，畫出詳細化的圖景，如圖甲所示，設質(zhì)點從平衡位置向右運動到點，那么質(zhì)點從到運動時間為。再由經(jīng)最右端返回,經(jīng)歷時間，如圖乙所示另一種可能就是點在點左方。如圖丙所示，質(zhì)點由經(jīng)右端最大位移處向左經(jīng)過點到達歷時，再由向左經(jīng)左端最大位移處返回點歷時，根據(jù)以上分析，質(zhì)點振動周期共存在兩種可能性一種可能如圖乙所示，可以看出歷時0.1

20、8秒根據(jù)對稱性可得到周期性：另一種可能如圖丙所示，由歷時由歷時，那么所以質(zhì)點的振動周期的可能值為和 【總結(jié)升華】由于簡諧運動的周期性，結(jié)合初始條件的不確定性。往往引起此類問題的多解，解決此類問題時要對題目分析透徹、弄清各種可能性，切勿丟解類型五、由簡諧振動的表達式求物理量 例6物體做簡諧運動的振動位移，物體做簡諧運動的振動位移，比較的運動 A振幅是矢量，的振幅是，的振幅是 B周期是標量，的周期都是C振動的頻率等于振動的頻率 D的相位始終超前的相位【答案】C、D【解析】振幅是標量，的振動范圍分別是。但振幅分別為，A項錯誤；的振動周期，B項錯誤；因，故，C項正確；為定值，D項正確類型六、由圖像比較

21、速度、加速度大小和方向問題例7如圖為某一質(zhì)點的振動圖像，由圖可知，在和兩時刻，質(zhì)點速度與加速度的關(guān)系正確的選項是 A，方向一樣 B，方向相反 C，方向一樣 D，方向相反 【思路點撥】圖像不是振動物體的運動軌跡【答案】A、D【解析】在時刻，質(zhì)點向平衡位置運動，在時刻，質(zhì)點向遠離平衡位置運動，故速度與方向一樣，由于，所以，A對；在和時刻，質(zhì)點分開平衡位置的位移方向相反。因此回復力方向相反，加速度方向相反，但，時刻的回復力大于時刻的回復力，故，D對 【總結(jié)升華】處理振動圖像問題一定要把圖像復原成質(zhì)點的實際振動過程來分析。圖像不是振動物體的運動軌跡 例8有一個在光滑程度面內(nèi)的彈簧振子，第一次用力把彈簧

22、壓縮后釋放讓它振動，第二次把彈簧壓縮后釋放讓它振動，那么先后兩次振動的周期之比和振幅之比分別為 A B C D 【答案】B 【解析】彈簧的壓縮量即為振子振動過程中偏離平衡位置的最大間隔 ，即振幅，故振幅之比為而對同一振動系統(tǒng)。其周期與振幅無關(guān)，故周期之比為【總結(jié)升華】振動周期由振動系統(tǒng)自身的性質(zhì)決定，與振幅無關(guān)類型七、由圖像獲得物理量信息的問題例9如下圖，是一個質(zhì)點的振動圖像，根據(jù)圖像答復以下問題： 1振動的振幅； 2振動的頻率； 3在時質(zhì)點的振動方向； 4質(zhì)點速度首次具有負方向最大值的時刻和位置； 5質(zhì)點運動的加速度首次具有負方向最大值的時刻和位置； 6在至這段時間內(nèi)質(zhì)點的運動情況【答案】見解析【解析】1振幅為最大位移的絕對值，從圖像可知振幅 2從圖像可知周期，那么振動的頻率：3由各時刻的位移變化過程可判斷：時，質(zhì)點的振動方向向上；時，質(zhì)點的振動方向向下 4質(zhì)點在通過平衡位置時，首次具有負方向的速度最大值 5質(zhì)點在時處于正向最大位移處時，首次加速度具有負方向的最大值 6在至這段時間內(nèi)，從圖像上可以看出，質(zhì)點沿負方向的位移