分式方程的解法及應(yīng)用提高導(dǎo)學(xué)案習(xí)題含答案

1、分式方程的解法及應(yīng)用（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解分式方程的概念和檢驗(yàn)根的意義，會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程2. 會(huì)列出分式方程解簡單的應(yīng)用問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點(diǎn)詮釋：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程. 要點(diǎn)二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最

2、簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無解. 要點(diǎn)三、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時(shí)，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根.產(chǎn)生增根的原因：去分母時(shí)

3、，方程兩邊同乘的最簡公分母是含有字母的式子，這個(gè)式子有可能為零，對(duì)于整式方程來說，求出的根成立，而對(duì)于原分式方程來說，分式無意義，所以這個(gè)根是原分式方程的增根.要點(diǎn)詮釋：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時(shí)產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時(shí)求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要檢驗(yàn)根，這種檢驗(yàn)與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯(cuò)誤，而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯(cuò)誤的前提下進(jìn)行的.要點(diǎn)四、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主

4、要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個(gè)分式方程；（5）驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根；（6）寫出答案.【典型例題】類型一、判別分式方程【高清課堂 分式方程的解法及應(yīng)用 例1】1、下列各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？為什么？（1） （2）（3） （4）【答案與解析】解：（1）雖然方程里含有分母，但是分母里沒有未知數(shù)，所以不是分式方程；（2）具備分式方程的三個(gè)特征，是分式方程；（3）沒有等號(hào)，所以不是方程，它是一個(gè)代數(shù)式；（4）方

5、程具備分式方程的三個(gè)特征，是分式方程特別提醒：（3）題是一個(gè)代數(shù)式，不是方程，容易判斷錯(cuò)誤；【總結(jié)升華】整式方程與分式方程的區(qū)別在于分母里有沒有未知數(shù)，有未知數(shù)的就是分式方程，沒有未知數(shù)的就是整式方程類型二、解復(fù)雜分式方程的技巧2、解方程：【答案與解析】解：方程的左右兩邊分別通分，得， ， ， ，或，由，解得，由，解得經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的根.【總結(jié)升華】若用常規(guī)方法，方程兩邊同乘，去分母后的整式方程的解很難求出來注意方程左右兩邊的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右兩邊分別通分的方法來解舉一反三：【變式】解方程【答案】解：移項(xiàng)得，兩邊同時(shí)通分得，即，因?yàn)閮蓚€(gè)分式分子相同，分式值相等，則分式

6、分母相等所以， 檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)， 是原方程的根類型三、分式方程的增根【高清課堂 分式方程的解法及應(yīng)用 例3】3、（1）若分式方程有增根，求值；（2）若分式方程有增根，求的值【思路點(diǎn)撥】（1）若分式方程產(chǎn)生增根，則，即或，然后把代入由分式方程轉(zhuǎn)化得的整式方程求出的值（2）將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程后，把代入解出的值.【答案與解析】解：（1）方程兩邊同乘，得 由題意知增根為或， 或 或（2）方程兩邊同乘，得 增根為， 【總結(jié)升華】(1)在方程變形中，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根做作原方程的增根在分式方程中，使最簡公分母為零的根是原方程的增根；(2)這類問題的解法都是首先把它們化成整式方程，然后由

7、條件中的增根，求得未知字母的值舉一反三：【變式】已知關(guān)于的方程無解，求的值【答案】解：方程兩邊同乘約去分母，得，即 ，即時(shí)原方程無解， ， 當(dāng)時(shí)，整式方程無解， 當(dāng)時(shí)，原方程無解綜上所述，當(dāng)或時(shí)，原方程無解類型四、分式方程的應(yīng)用【高清課堂 分式方程的解法及應(yīng)用 例3】4、某市在道路改造過程中，需要鋪設(shè)一條長為1000米的管道，決定由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成這一工程已知甲工程隊(duì)比乙工程隊(duì)每天能多鋪設(shè)20米，且甲工程隊(duì)鋪設(shè)350米所用的天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)250米所用的天數(shù)相同 (1)甲、乙工程隊(duì)每天各能鋪設(shè)多少米? (2)如果要求完成該項(xiàng)工程的工期不超過10天，那么為兩工程隊(duì)分配工程量(以百米為單位

8、)的方案有幾種?請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來【思路點(diǎn)撥】(1)題中的等量關(guān)系是甲工程隊(duì)鋪設(shè)350米所用的天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)250米所用的天數(shù)相同（2）由工期不超過10天列出不等式組求出范圍.【答案與解析】解：(1)設(shè)甲工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米，則乙工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米 根據(jù)題意，得解得 經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解且符合題意 故甲、乙兩工程隊(duì)每天分別能鋪設(shè)70米和50米(2)設(shè)分配給甲工程隊(duì)米，則分配給乙工程隊(duì)米由題意，得 解得500700方案一：分配給甲工程隊(duì)500米，分配給乙工程隊(duì)500米方案二：分配給甲工程隊(duì)600米，分配給乙工程隊(duì)400米方案三：分配給甲工程隊(duì)700米，分配給乙工程隊(duì)300米所以分配方案有3種

9、【總結(jié)升華】本題主要考查列分式方程解應(yīng)用題，考查學(xué)生分析和解決問題的能力.舉一反三：【變式】一慢車和一快車同時(shí)從A地到B地，A，B兩地相距276公里，慢車的速度是快車速度的三分之二，結(jié)果快車比慢車早到達(dá)2小時(shí)，求快車，慢車的速度.【答案】解：(2)設(shè)快車速度為 ，則慢車速度為 依題意，得，去分母，得276×2276×34，所以，經(jīng)檢驗(yàn)知是原方程的解，所以，答：慢車、快車的速度分別為46 、69【鞏固練習(xí)】一.選擇題1下列關(guān)于的方程中，是分式方程的是（ ）ABCD2若分式方程的解為則等于（ ）AB5CD53. 已知用表示的代數(shù)式為（ ）ABC D4若關(guān)于的方程有增根，則的值是

10、（ ）A3B2C1D15將公式（均不為零，且）變形成求的式子，正確的是（ ）ABCD6若關(guān)于的方程有正數(shù)解，則( )A.0且3B.6且3C.0D.6二.填空題7當(dāng)_時(shí)，方程的解為18已知分式方程 有增根，則的值為_9關(guān)于的方程的解為_10一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時(shí)，它在江水中航行時(shí)，江水的流速為千米/時(shí)，則它以最大航速順流航行千米所需的時(shí)間是_11某人上山，下山的路程都是，上山速度，下山速度，則這個(gè)人上山和下山的平均速度是_12若一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)加1，得；若分子、分母同時(shí)減2，則得，這個(gè)分?jǐn)?shù)是_三.解答題13.已知關(guān)于的方程有一個(gè)正數(shù)解，求的取值范圍14. 甲工人工作效率

11、是乙工人工作效率的倍，他們同時(shí)加工1500個(gè)零件，甲比乙提前18個(gè)小時(shí)完工，問他們每人每小時(shí)各加工多少個(gè)零件?15. 從甲地到乙地有兩條公路，一條是全長600千米的普通公路，另一條是全長480千米的高速公路，某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上行駛的平均速度每小時(shí)快45千米，由高速公路從甲地到乙地所需時(shí)間是由普通公路從甲地到乙地所需時(shí)間的一半求該客車由普通公路從甲地到乙地的平均速度【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】C； 【解析】分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知數(shù). 2. 【答案】B； 【解析】原式化簡為，將代入解得.3. 【答案】D； 【解析】，.4. 【答案】B 【解析】將代入，解得.5. 【答案】A； 【解析】，所以.6. 【答案】B 【解析】原方程化簡為，解得6且3.二.填空題7. 【答案】； 【解析】將代入，解得.8. 【答案】4； 【解析】原式化簡得，將代入，解得.9. 【答案】； 【解析】原方程化簡為，所以.10.【答案】；11.【答案】； 【解析】由題意上山和下山的平均速度為：.12.【答案】； 【解析】設(shè)這個(gè)分?jǐn)?shù)為，解之得：，所以這個(gè)分?jǐn)?shù)是.三.解答題13.【解析】 解：方程兩邊同乘約去分母，得整理，得 解得且， 當(dāng)且