八年級上數(shù)學整式的乘除與因式分解基本知識點

1、整式的乘除與因式分解基本知識點一、整式的乘除：1、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.例如：； 2、同底數(shù)冪的乘法法則：am·an=am+n(m，n是正整數(shù)).同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.例如：；3、冪的乘方法則：(am)n=amn(m，n是正整數(shù)).冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.例如：；4、積的乘方的法則：(ab)m=ambm(m是正整數(shù)).積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.例如：；5、同底數(shù)冪的除法法則：am÷an=am-n(a0，m，n都是正整數(shù)，并且mn). 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減. 規(guī)定：例如：；6、單

2、項式乘法法則 7、單項式除法法則單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式. 8、單項式與多項式相乘的乘法法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加. 9、多項式乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加. 10、多項式除以單項式的除法法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.； 11、整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.例如：（4a1）（

3、4a+1）=_； （3a2b）（2b+3a）=_；= ； ；12、整式乘法的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加(或減)它們的積的2倍.例如：； ； 二、因式分解：1、提公因式法： 4 x2+12x3+4x 2、公式法.：（1）、平方差公式： （2）、完全平方公式： 3、分組分解法： abcbac a22abb2c2 4、“十字相乘法”：即式子x2+(p+q)x+pq的因式分解. x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x27x6 （2）、x25x6 （3）、x25x6整式的乘法同底數(shù)冪的乘法am&

4、#183;an=am+n（m、n都是正整數(shù)） 冪的乘方(am)namn(m，n都是正整數(shù)) 積的乘方(ab)nanbn(n是正整數(shù)) 單項式乘以單項式單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同的字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式單項式乘以多項式 單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加多項式乘以多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加平方差公式平方差公式 (ab)(ab)a2b21. 公式的結構特征：左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中，有一項完全相同，另一項互為相反數(shù).右邊是這兩

5、個數(shù)的平方差，即完全相同的項與互為相反數(shù)的項的平方差（同號項2異號項2）.2. 公式的應用：公式中的字母，可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項式或多項式，只要符合公式的結構特征，就可以用此公式進行計算.公式中的是不可顛倒的，注意是同號項的平方減去異號項的平方，還要注意字母的系數(shù)和指數(shù).為了避免錯誤，初學時，可將結果用“括號”的平方差表示，再往括號內填上這兩個數(shù). 如：(a+b)( a - b)= a2 b2 計算：(1+2x)(1-2x)= ( 1 )2( 2x )2 =1-4x2完全平方公式完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 兩數(shù)和（或差）的平方，等于它

6、們的平方和加（或減）它們的積的2倍.公式特征：左邊是一個二項式的平方，右邊是一個三項式（首平方，尾平方，二倍乘積在中央）公式變形：(a+b)2=(a-b)2+4ab a2 + b2 = (a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab a2 + b2 = (a-b)2+2ab(a+b)2- (a-b)2=4ab公式的推廣 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac整式的除法同底數(shù)冪的除法 am÷an=am-n(a0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n) a0=1(a0)任何非零數(shù)的零次冪是1.單項式除以單項式 單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，

7、對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式多項式除以單項式 多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加因式分解因式分解把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解（或分解因式）.提公因式法acbc=（ab）c公式法 a2b2 (ab)(ab) a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2 十字相乘法 x2（pq）xpq=（xp）（xq）鞏固練習一、訓練平臺1.下列各式中，計算正確的是( )A.27×27=28B.25×22=210C.26+26=27D.26+26=2122.當x=

8、時，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于( )A.-B.-18C.18D.3.已知x-y=3，x-z=，則(y-z)2+5(y-z)+的值等于( )A.B.C.-D.04.設n為正整數(shù)，若a2n=5，則2a6n-4的值為( )A.26B.246C.242D.不能確定5.(a+b)(a-2b)= .6.(2a+0.5b)2= .7.(a+4b)(m+n)= .8.計算.(1)(2a-b2)(b2+2a)= ；(2)(5a-b)(-5a+b)= .9.分解因式.(1)1-4m+4m2；(2)7x3-7x.10.先化簡，再求值.(x-y)2+(x+y)(x-y)÷2x，其

9、中x=3，y=-1.5.二、探究平臺1.分解因式(a-b)(a2-ab+b2)-ab(b-a)為( )A.(a-b)(a2+b2)B.(a-b)2(a+b)C.(a-b)3D.-(a-b)32.下列計算正確的是( )A.a8÷a2=a4(a0)B.a3÷a4=a(a0)C.a9÷a6=a3(a0)D.(a2b)3=a6b3.下列各題是在有理數(shù)范圍內分解因式，結果正確的是( )A.x4-0.1=(x2+0.1)(x2-0.1)B.-x2-16=(-x+4)(-x-4)C.2xn+x3n=xn(2+x3)D.-x2=(1+2x)(1-2x)4.分解因式：-a2+4ab

10、-4b2= .5.如果x2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m的值是 .6.(3x3+3x)÷(x2+1)= .2×9-1.33332×4= .8.計算.(1)；(2).9.分解因式.(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)； (2)x4-81x2y2.10.+x(1+)，其中x=-1.三、交流平臺1.一條水渠其橫斷面為梯形，如圖1523所示，根據(jù)圖中的長度求出橫斷面面積的代數(shù)式，并計算當a=2，b=0.8時的面積.2.已知多項式x3+kx+6有一個因式x+3，當k為何值時，能分解成三個一次因式的積？并將它分解.3.如果x+y=0，試求x3

11、+x2y+xy2+y3的值.4.試說明無論m，n為任何有理數(shù)，多項式4m2+12m+25+9n2-24n的值為非負數(shù).第十六章分式知識點和典型例習題【知識網(wǎng)絡】【思想方法】1轉化思想轉化是一種重要的數(shù)學思想方法，應用非常廣泛，運用轉化思想能把復雜的問題轉化為簡單問題，把生疏的問題轉化為熟悉問題，本章很多地方都體現(xiàn)了轉化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加減運算的基本思想：異分母的分式加減法、同分母的分式加減法；解分式方程的基本思想：把分式方程轉化為整式方程，從而得到分式方程的解等2建模思想本章常用的數(shù)學方法有：分解因式、通分、約分、去分母等，在運用數(shù)學知識解決實際問題時，首先要構建一個簡單的數(shù)

12、學模型，通過數(shù)學模型去解決實際問題，經(jīng)歷“實際問題分式方程模型求解解釋解的合理性”的數(shù)學化過程，體會分式方程的模型思想，對培養(yǎng)通過數(shù)學建模思想解決實際問題具有重要意義3類比法 本章突出了類比的方法，從分數(shù)的基本性質、約分、通分及分數(shù)的運算法則類比引出了分式的基本性質、約分、通分及分式的運算法則，從分數(shù)的一些運算技巧類比引出了分式的一些運算技巧，無一不體現(xiàn)了類比思想的重要性，分式方程解法及應用也可以類比一元一次方程第一講 分式的運算【知識要點】1.分式的概念以及基本性質;2.與分式運算有關的運算法則3.分式的化簡求值(通分與約分)4.冪的運算法則【主要公式】1.同分母加減法則:2.異分母加減法則

13、:;3.分式的乘法與除法:,4.同底數(shù)冪的加減運算法則:實際是合并同類項5.同底數(shù)冪的乘法與除法;am an =am+n; am÷ an =amn6.積的乘方與冪的乘方:(ab)m= am bn , (am)n= amn7.負指數(shù)冪: a-p= a0=18.乘法公式與因式分解:平方差與完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2（一）、分式定義及有關題型題型一：考查分式的定義【例1】下列代數(shù)式中：，是分式的有：.題型二：考查分式有意義的條件【例2】當有何值時，下列分式有意義（1）（2）（3）（4）（5）題型三：考查分式的值為

14、0的條件【例3】當取何值時，下列分式的值為0. （1）（2）（3）題型四：考查分式的值為正、負的條件【例4】（1）當為何值時，分式為正；（2）當為何值時，分式為負；（3）當為何值時，分式為非負數(shù).練習：1當取何值時，下列分式有意義：（1）（2）（3）2當為何值時，下列分式的值為零：（1）（2）3解下列不等式（1）（2）（二）分式的基本性質及有關題型1分式的基本性質：2分式的變號法則：題型一：化分數(shù)系數(shù)、小數(shù)系數(shù)為整數(shù)系數(shù)【例1】不改變分式的值，把分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).（1）（2）題型二：分數(shù)的系數(shù)變號【例2】不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的首項的符號變?yōu)檎?（1）（2）（3）題型

15、三：化簡求值題【例3】已知：，求的值.提示：整體代入，轉化出.【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.練習：1不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).（1）（2）2已知：，求的值.3已知：，求的值.4若，求的值.5如果，試化簡.（三）分式的運算1確定最簡公分母的方法：最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪.2確定最大公因式的方法：最大公因式的系數(shù)取分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)；取分子、分母相同的字母因式的最低次冪.題型一：通分【例1】將下列各式分別通分.（1）； （2）；（3）； （4）題型二：約分【例2】約分：（1）；（3）

16、；（3）.題型三：分式的混合運算【例3】計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）題型四：化簡求值題【例4】先化簡后求值（1）已知：，求分子的值；（2）已知：，求的值；（3）已知：，試求的值.題型五：求待定字母的值【例5】若，試求的值.練習：1計算（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.2先化簡后求值（1），其中滿足.（2）已知，求的值.3已知：，試求、的值.4當為何整數(shù)時，代數(shù)式的值是整數(shù)，并求出這個整數(shù)值.（四）、整數(shù)指數(shù)冪與科學記數(shù)法題型一：運用整數(shù)指數(shù)冪計算【例1】計算：（1）（2）（3）（4）題型二：化簡求值題【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值

17、.題型三：科學記數(shù)法的計算【例3】計算：（1）；（2）.練習：1計算：（1）（2）（3）（4）2已知，求（1），（2）的值.第二講 分式方程【知識要點】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程產(chǎn)生增根的原因3.分式方程的應用題 【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知數(shù); 2.解分式方程的關健是化分式方程為整式方程;方程兩邊同乘以最簡公分母. 3.解分式方程的應用題關健是準確地找出等量關系,恰當?shù)卦O末知數(shù). （一）分式方程題型分析題型一：用常規(guī)方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）；（2）；（3）；（4）提示易出錯的幾個問題：分子不添括號；漏乘整數(shù)項；約去相同因式至使漏根；忘記驗根.題型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）； （2）提示：（1）換元法，設；（2）裂項法，.【例3】解下列方程組題型三：求待定字母的值【例4】若關于的分式方程有增根，求的值.【例5】若分式方程的解是正數(shù)，求的取值范圍.提示：且，且.題型四：解含有字母系數(shù)的方程【例6】解關于的方程提示：（1）是已知數(shù)；（2）.題型五：列分式方程解應用題練習：1解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）（5）（6）（7）2解關于的方程：（1）；（2）.3如果解關于的方程會產(chǎn)生增根，求的值.4當為何值時，關于的方程的