使用留數(shù)定理計算實積分

1、用留數(shù)定理計算實積分一：教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）： 基本內(nèi)容：用留數(shù)定理計算實積分的幾種方法重點：用留數(shù)定理計算實積分的方法難點：定理的應(yīng)用二：教學(xué)目標(biāo)或要求：真正掌握用留數(shù)定理計算實積分的幾種方法三、教學(xué)手段與方法：講授、練習(xí)四、思考題、討論題、作業(yè)與練習(xí)：57 用留數(shù)定理計算實積分留數(shù)定理的一個重要應(yīng)用是計算某此實變函數(shù)的積分. 如，在研究阻尼振動時計算積分，在研究光的衍射時，需要計算菲涅耳積分. 在熱學(xué)中將遇到積分(，b為任意實數(shù))如用實函數(shù)分析中的方法計算這些積分幾乎是不可能的，既使能計算，也相當(dāng)復(fù)雜.如果能把它們化為復(fù)積分，用哥西定理和留數(shù)定理，那就簡單了.當(dāng)然最關(guān)鍵的是

2、設(shè)法把實變函數(shù)是積分跟復(fù)變函數(shù)回路積分聯(lián)系起來.把實變積分聯(lián)系于復(fù)變回路積分的要點如下：定積分的積分區(qū)間可以看作是復(fù)數(shù)平面上的實軸上的一段，于是，或者利用自變數(shù)的變換把變成某個新的復(fù)數(shù)平面上的回路，這樣就可以應(yīng)用留數(shù)定理了；或者另外補(bǔ)上一段曲線，使和合成回路l,l包圍著區(qū)域B，這樣左端可應(yīng)用留數(shù)定理，如果容易求出，則問題就解決了，下面具體介紹幾個類型的實變定積分.一 計算型積分令，則與均可用復(fù)變量表示出來，從而實現(xiàn)將變形為復(fù)變量的函數(shù)的愿望，此時有 同時，由于，所以，且當(dāng)由變到時，恰好在圓周上變動一周。故使積分路徑也變成了所期望的圍線。至此，有 于是，計算積分的方法找到了，只需令即可。例 求。

3、解 當(dāng) 時， ；當(dāng) 時，令 ， 當(dāng) 時，在 內(nèi)， 僅以 為一級極點，在 上無奇點，故由留數(shù)定理當(dāng)時,在內(nèi)僅以為一級極點,在上無奇點， 例 計算積分 .解：令得： 先求的奇點及其留數(shù).令其分母為零得： 這就是的兩個單極點.單極點的模為：所以極點在單位圓內(nèi).而單極點的模為:所以在單位圓外，在極點處.此積分在力學(xué)和量子力學(xué)中甚為重要，由它可以求出開普勒積分：之值.為此，在前例中，用代得：兩也對a求導(dǎo)得：令a=1得，即：例 求。解 為偶函數(shù)，故 ，令 ，則 在 內(nèi)部 僅有 為一級極點， ，故 ，比較實部得 ，故 。例 計算積分.解：若直接作變換，則積分復(fù)雜，若先考慮積分:作變換：，則:因為的階極點.所

4、以：故：比較兩邊的實部和虛部得：。一 計算型積分 由于，考慮添加輔助曲線與實軸上是區(qū)間 構(gòu)成圍線 ，則 ，其中為落在內(nèi)部的有限個奇點處的留數(shù)和，若能估計出的值，再取極限即得。引理6.1 設(shè)在圓弧充分大)上連續(xù),且在上一致成立(即與中的 無關(guān))，則 。證 ，由于 在 上一致成立，故 ， 定理6.7 設(shè)為有理分式，其中 ，為互質(zhì)多項式,且（1） ；（2）在實軸上 ，則 。證 由,存在,且 。作,與線段一起構(gòu)成圍線,取足夠大，使的內(nèi)部包含在上半平面內(nèi)的一切孤立奇 點,由在實軸上知,在上沒有奇點,由留數(shù)定理得 ，又 。由于當(dāng)時,，由引理6.1， ，于是 。例設(shè)，計算解： 為偶函數(shù)，所以函數(shù)的奇點為故在

5、上半平面的奇點為：，而：例 計算積分。解 經(jīng)驗證，此積分可用（7.11）式計算首先，求出在上半平面的全部奇點令 即 于是，在上半平面的全部奇點只有兩個： 與 且知道，與均為的一級極點其次，算留數(shù)，有最后，將所得留數(shù)代入（7.11）式得.二 積分 的計算 引理6.2(Jordan) 設(shè)在半圓周充分大)上連續(xù),且 在 上一致成立，則。證 ，由于 在 上一致成立，故 , Jordan不等式 。由于 ， 故 ，于是 。定理6.8 設(shè),其中及為互質(zhì)多項式,且（1） 的次數(shù)比 的次數(shù)高；（2）在實軸上 ；（3） ，則 ，特別地分開實、虛部就可以得到 與 的積分。證   略。例

6、 計算積分。解：為偶函數(shù)，有兩個單極點 ，其中在上半平面，其留數(shù)為：例 計算積分解 經(jīng)驗證，該積分可用（6.14）式計算首先，求出輔助函數(shù)在上半平面的全部奇點由解得與為的奇點，而，所以，在上半平面只有一個奇點 ， 且為的一級極點其次，計算留數(shù)有最后，由（6.14）式得。例 計算積分 解 若令 則，即的實部為。因此，為了計算，只需求出積分 即可，而該積分可用（6.11）式計算。為用（6.11）式，先求出輔助函數(shù) 在上半平面的奇點只有點（另一個奇點為），于是，由（6.14）式得 而 故 從而有 于是 即 這里要指出的是，由所求積分的特征，計算所給積分也可直接利用（6.14）式進(jìn)

7、行。復(fù)變函數(shù)論 課程教案授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第二節(jié) 續(xù)授課類型 理論課授課時間第 15 周第12 節(jié)教學(xué)目標(biāo)或要求：掌握 積分路徑上有奇點的積分的計算 典型例題教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）： 基本內(nèi)容：積分路徑上有奇點的積分的計算 典型例題重點：積分路徑上有奇點的積分的計算難點： 典型例題教學(xué)手段與方法：講授、練習(xí)思考題、討論題、作業(yè)與練習(xí)： 265 頁15參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等）：單復(fù)變函數(shù) J.B. 康威 著 呂以輦 張南岳 譯上?？茖W(xué)技術(shù)出版社 1985注：1、每項頁面大小可自行添減；2一次課為一個教案；3、“重點”、“難點”、“教學(xué)手段與方法”部分要盡量具體；4、授課類型指：理論課、討論課、實驗或?qū)嵙?xí)課、練習(xí)或習(xí)題課等。4.計算積分路徑上有奇點的積分前面所講的三種類型都是 在實軸上沒有奇點的情況，如果 在實軸上有奇點。那么前述計算方法不完全適用。例如在實軸上有一個奇點(為實數(shù))，要計算 ，在作輔助線時，應(yīng)繞過奇點，具體辦法是在上半平面，作一個以為心，半徑為的半圓周，積分沿進(jìn)行，然后令取極限(如圖所示)令，上式左端用留數(shù)定理計算，再令 若滿足引理條件，主要的就是求積分.如果實軸上有n個奇點，那么分別以各奇點為心，為半徑作上半平面的半圓，經(jīng)過奇點即可，例 計算狄利克雷積分解：先將積分變換為對于第二個