非線性發(fā)展方程的豐富的Jacobi橢圓函數(shù)解

1、非線性發(fā)展方程的豐富的Jacobi 橢圓函數(shù)解3呂大昭(北京建筑工程學(xué)院基礎(chǔ)部, 北京100044 (2004年8月26日收到;2005年2月21日收到修改稿通過把十二個(gè)Jacobi 橢圓函數(shù)分類成四組, 提出了新的廣泛的Jacobi 橢圓函數(shù)展開法, 線性發(fā)展方程的豐富的Jacobi 橢圓函數(shù)雙周期解. 當(dāng)模數(shù)m 0或1時(shí), 解和沖擊波解.關(guān)鍵詞:非線性發(fā)展方程, Jacobi 橢圓函數(shù)PACC :0340K, 02903北京建筑工程學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:1004048 資助的課題.通信作者. E 2mail :lvdazhao86163. com11引直接尋找非線性發(fā)展方程的精確解在非

2、線性科學(xué)中占有非常重要的地位. 因此, 近幾年來人們提出了許多方法13. 最近, 劉式適等人提出了Jacobi 橢圓函數(shù)展開法4,5, 求得了一大類非線性發(fā)展方程的周期解, 包括對應(yīng)的沖擊波解和孤立波解; 隨后, 張善卿等人利用秩的概念擴(kuò)充了Jacobi 橢圓函數(shù)展開法的應(yīng)用范圍6, 得到了更多的非線性發(fā)展方程的周期解; 而閆、沈和李等人分別推廣了Jacobi 橢圓函數(shù)展開法的展開形式714, 獲得了非線性發(fā)展方程更多的周期解; 劉等人將在行波變換下的Jacobi 橢圓函數(shù)展開法推廣到一般函數(shù)變換下進(jìn)行15, 得到了非線性發(fā)展方程的新的周期解. 然而, 我們?nèi)匀徽J(rèn)為這些方法215是部分展開法,

3、 本文通過對十二個(gè)Jacobi 橢圓函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行深入研究, 將它們分類成四組, 從而提出了更一般的廣泛的Jacobi 橢圓函數(shù)展開法, 利用這一方法得到了非線性發(fā)展方程的豐富的周期解, 在極限情形, 這些解也可以退化為對應(yīng)的沖擊波解和孤立波解或三角函數(shù)解.21廣泛的Jacobi 橢圓函數(shù)展開法首先在對十二個(gè)Jacobi 橢圓函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行深入的研究之后, 發(fā)現(xiàn)可以將它們分類成四組, 即(i sn ,cn 和dn (ii ns =sn ,cs =sn 和ds =sn (iii sc =cn ,nc =cn 和dc =cn (iv sd =dn ,cd =dn 和nd =dn 其次, 在上面分析

4、的基礎(chǔ)之上, 我們提出了如下的廣泛的Jacobi 橢圓函數(shù)展開法.步驟1約化偏微分方程到常微分方程對于給定的非線性發(fā)展方程P (u , u x , u t , u xx , u xt , u tt , =0. (1 在行波變換u =u ( , =k (x -t (2下, (1 式約化為如下的常微分方程u , d , 2d 2, =0.(3步驟2假設(shè)有限級數(shù)形式解設(shè)常微分方程(3 有如下形式的Jacobi 橢圓函數(shù)有限級數(shù)解u (=a 0+a 1sn +b 1cn +c 1dn +ni =2sn i -2(a i sn 2+b i sn cn +c i sn dn +d i cn dn (4.

5、1u (=a 0+a 1ns +b 1cs +c 1ds +ni =2ns i -2(a i ns 2+b i ns cs +c i ns ds +d i cs ds (4. 2第54卷第10期2005年10月100023290200554(10 4501205物理學(xué)報(bào)ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol. 54,N o. 10,October ,20052005Chin. Phys. S oc.u (=a 0+a 1sc +b 1nc +c 1dc +ni =2sc i -2(a i sc 2+b i sc nc +c i sc dc +d i nc dc (4. 3u

6、(=a 0+a 1sd +b 1cd +c 1nd +ni =2sd i -2(a i sd 2+b i sd cd +c i sd nd +d i cd nd (4. 4其中n 是待定參數(shù).步驟3確定參數(shù)n 的值定義u (的次數(shù)為Du ( =n , 則D md m=n +m ,D m d m =q (n +D upm d m =q 通過平衡, 可以確定n 的值.步驟4獲得超定代數(shù)方程組把(4 式代入到(3 式中可以得到一個(gè)關(guān)于Jacobi 橢圓函數(shù)的方程, 然后進(jìn)行約化, 合并同冪次項(xiàng), 最后令它們的系數(shù)為零, 則獲得了一個(gè)關(guān)于未知數(shù)k , , a 0, a i , b i , c i ,

7、d i +1(i =1,2, 的超定代數(shù)方程組. 利用吳2特征列方法解此超定代數(shù)方程組16,得到k , , a 0, a i , b i , c i , d i +1(i =1,2, 的值. 步驟5求得豐富的Jacobi 橢圓函數(shù)解把從步驟4得到的k , , a 0, a i , b i , c i , d i +1(i =1,2, 的值代入到(4 式, 我們就能獲得豐富的Jacobi 橢圓函數(shù)雙周期解.評論我們的方法比Jacobi 橢圓函數(shù)展開法及其推廣方法215更加廣泛. 即, 用方法215求得到的非線性發(fā)展方程的精確解僅僅是用我們的方法所求得到的解的特例. 另外, 廣泛的Jacobi 橢

8、圓函數(shù)展開法易于在計(jì)算機(jī)上執(zhí)行.31例子和應(yīng)用3111K dV 方程u t +uu x +u xxt =0(5把(2 式代入到(5 式, 得-d +u d +k 23d 3=0. (6平衡(6 式中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)得n =2.因此, 利用步驟45, 我們能獲得下面豐富的Jacobi 橢圓函數(shù)解, 其中0m 1是Jacobi 橢圓函數(shù)的模數(shù). 另外, 定義a b =a +b 或a -b ; a b c =a+b +c 或a -b -c ; a +-+b -+c =a +b -c 或a -b+c 或a +b +c ; a -+-b -+-+c +-d =a -b -c +d 或a +b +

9、c +d 或a +b -c -d 或a -b +c -d , 等等.311111sn ,cn和dn 展開法利用(4 式, (的解:u 124k m 22(k (x -t ; 2+26mk 2(m sn 2(k (x -t (x -t dn (k (x -t . 311121ns ,cs和ds 展開法利用(412 式, 得到K dV 方程(5 的解.u 3=4m 2k 2+4k 2+-12k 2ns 2(k (x -t ;u 4=4m 2k 2+k 2+-6k 2(ns 2(k (x -t ns (k (x -t cs (k (x -t ;u 5=m 2k 2+4k 2+-6k 2(ns 2(k

10、 (x -t ns (k (x -t ds (k (x -t ;u 6=m 2k 2+k 2+-6k 2(ns 2(k (x -t cs (k (x -t ds (k (x -t ;u 7=m 2k 2+k 2+-3k2ns 2(k (x -t -+-+ns (k (x -t cs (k (x -t +-ns (k (x -t ds (k (x -t -+-cs (k (x -t ds (k (x -t . 311131sc ,nc 和dc 展開法利用(413 式, 得到K dV 方程(5 的解.u 8=4m 2k 2-8k 2+-12k 2(1-m 2 sc 2(k (x -t ;u 9=4

11、m 2k 2-5k 2+-6k 2-m 2(-m 2sc 2(k (x -t sc (k (x -t dc (k (x -t ;u 10=m 2k 2-5k 2+-6k2-m 2(-m 2sc 2 (k (x -t -m 2sc (k (x -t nc (k (x -t ;u 11=m 2k 2-2k 2+2054物理學(xué)報(bào)54卷-6k 2-m 2(-m 2sc 2(k (x -t nc (k (x -t dc (k (x -t ;u 12=m 2k 2-2k 2+-3k2-m2-m 2sc 2(k (x -t -+-sc (k (x -t dc (k (x -t -+-+-m 2sc (k (

12、x -t nc (k (x -t +-nc (k (x -t dc (k (x -t . 311141sd ,cd 和nd 展開法利用(414 式, 得到K dV 方程(5 的解.u 13=-8m 2k 2+4k 2+122k 2(-x -t ;u 14=-5m 22+6mk2-m2m-m 2sd 2(k (x -t -m 2sd (k (x -t nd (k (x -t . 由于在文獻(xiàn)14中李等人采用的是(411 一種展開形式, 所以在適當(dāng)?shù)倪x取參數(shù)和變換下, 文獻(xiàn)14中求出的K dV 方程的解是我們求出的解的特例.3121修正的BBM 方程u t +u x +u 2u x +u xxt =

13、0.(7把(2 式代入到(7 式, 得(1- d +u 2d -k 23d 3=0. (8 平衡(8 式中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)得n =1. 因此, 利用步驟45, 我們能獲得下面豐富的Jacobi 橢圓函數(shù)解, 其中0m 1是Jacobi 橢圓函數(shù)的模數(shù). 另外, 定義a b 等于a +b , 或a -b ; a b c等于a +b +c , 或a -b -c ; a -+-b -+c 等于a -b-c 或a +b +c 或a -b +c ; a -+b +-+-c -+-d 等于a -b +c -d 或a -b -c +d 或a +b +c +d 或a +b -c -d , 等等.312

14、111sn ,cn 和dn 展開法利用(411 式, 得到修正的BBM 方程(7 的解.u 1=mkk 2m 2+k 2-1sn kx +k 2m 2+k 2-;u 2=mkk 2m 2-k 2+1cn kx -2k 2m 2-k 2+;u 3=kk 2m 2-2k 2-1dn kx +k 2m 2-;u 4=kk 2+2-+m cn kx -k 2m 2+k 2+-+dn kx -k 2m 2+k 2+. 312121ns ,cs和ds 展開法利用(412 式, 得到修正的BBM 方程(7 的解.u 5=kk 2m 2+k 2-1ns kx +k 2m 2+k 2-; u 6=kk 2m 2

15、-2k 2-1cs kx +k 2m 2-2k 2-; u 7=kk 2m 2-k 2+1ds kx -2k 2m 2-k 2+;u 8=kk 2m 2-k 2-2+-+-ns kx +2k 2m 2-k 2-+-cs kx +2k 2m 2- k 2-; u 9=kk 2m 2-2k 2+2-+-+ns kx -k 2m 2-2k 2+-+ds kx -k 2m 2-2k 2+; u 10=kk 2m 2+k 2+2305410期呂大昭:非線性發(fā)展方程的豐富的Jacobi 橢圓函數(shù)解-+-+cs kx -k 2m 2+k 2+-+ds kx -k 2m 2+k 2+. 312131sc ,n

16、c 和dc 展開法利用(413 式, 得到修正的BBM 方程(7 的解.u 11=k2k 2m 2-2k 2-1sc kx +k 2m 2-2k 2-; u 12=k2k 2m 2-k 2+1nc kx -2k 2m 2-2;u 13=+-dc +k 2m 2+k 2-; u 14=k2k 2m 2+k 2+2-+-sc kx -k 2m 2+k 2+-+nc kx -k 2m 2+k 2+; u 15=kk 2m 2-k 2-2-+-+-m 2sc kx +2k 2m 2-k 2-+-dc kx +2k 2m 2-k 2-; u 16=kk 2m 2-2k 2+2+-+-m 2nc kx -

17、k 2m 2-2k 2+-dc kx -k 2m 2-2k 2+. 312141sd ,cd和nd 展開法利用(414 式, 得到修正的BBM 方程(7 的解.u 17=mk2k 2m 2-k 2+1sd kx -2k 2m 2-k 2+;u 18=mkk 2m 2+k kx k 222-; k2k 2m 2-2k 2-1nd kx +k 2m 2-2k 2-; u 20=k2k 2m 2+k 2+2+-m sd kx -k 2m 2+k 2+-+-nd kx -k 2m 2+k 2+.41結(jié)論本文通過把十二個(gè)Jacobj 橢圓函數(shù)分類成四組, 進(jìn)而提出并利用廣義的Jacobi 橢圓函數(shù)展開法

18、求出了非線性發(fā)展方程的豐富的Jacobi 橢圓函數(shù)解, 當(dāng)模數(shù)m 0或1時(shí), 這些解退化為相應(yīng)的三角函數(shù)解或孤立波解和沖擊波解, 限于篇幅, 這里從略. 另外, 我們省略了已經(jīng)求出的非線性發(fā)展方程的在物理學(xué)中無意義的復(fù)數(shù)解.1W ang M L 1995Phys . Lett . A 1991692M alfliet W 1992Amer . J . Phys . 60653Y an C T 1996Phys . Lett . A 224774Liu S K et al 2001Phys . Lett . A 289695Liu S K et al 2001Acta Phys . Sin .

19、502068(in Chinese 劉式適等2001物理學(xué)報(bào)5020686Zhang S Q et al 2003Acta Phys . Sin . 52 1066(in Chinese 張善卿等2003物理學(xué)報(bào)5210667Y an Z Y 2002Comput . Phys . Commun . 148308Y an Z Y 2003Comput . Phys . Commun . 1531459Y an Z Y 2003Comput . Phys . Commun . 153110Y an Z Y 2003Inter . J . Modern Physics C 142774054物理學(xué)

20、報(bào)54卷11Y an Z Y 2003Chaos , Solitons and Fractals 1557512Y an Z Y 2003Chaos , Solitons and Fractals 1829913Shen S F et al 2004Acta Phys . Sin . 532056(in Chinese 沈守楓等2004物理學(xué)報(bào)53205614Li P et al 2004Phys . Lett . A 3323915Liu G T et al 2004Acta Phys . Sin . 53676(in Chinese 劉官廳等2004物理學(xué)報(bào)5367616W ang D M

21、 2001Elimination Methods (New Y ork :S pringer-Verlag W ien Abundant J acobi elliptic function solutions ofnonlinear evolution equations 3L Da-Zhao(Department o f Basic Sciences , Beijing Institute o f Civil , , (Received 26August 2004; In this are divided into four groups ,and a new general Jacobi elliptic function expansion abundant doubly periodic