隨機(jī)變量學(xué)習(xí)指要

1、隨機(jī)變量學(xué)習(xí)指要李偉隨機(jī)變量這一大節(jié)中，主要研究的是離散型隨機(jī)變量。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，首先應(yīng)明確它能取到哪些值，在此基礎(chǔ)上，我們來(lái)探討三方面的問(wèn)題：（1）取每個(gè)值的可能性的大?。ǜ怕剩?，（2）這些值的平均水平，（3）這些值的集中和離散程度。這就是本大節(jié)中我們要研究的三個(gè)基本問(wèn)題：離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差。它們從三個(gè)不同的側(cè)面描述了離散型隨機(jī)變量的數(shù)量特征。一. 概念解析1. 隨機(jī)試驗(yàn)教科書上不加定義地引入了“隨機(jī)試驗(yàn)”的概念。一般地，一個(gè)試驗(yàn)如果滿足以下條件：（1）試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)后可能出現(xiàn)的多種結(jié)果，是事先明確的，但在一次試驗(yàn)進(jìn)行之前，不能肯定這次試驗(yàn)究

2、竟發(fā)生哪一種結(jié)果；（3）每一次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一種。那么我們稱這個(gè)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn)。2. 隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果（或表現(xiàn)）叫作一個(gè)隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱為事件。例如預(yù)測(cè)明天天空中云量情況，可能出現(xiàn)的晴天、多云、陰天，這些表現(xiàn)就是一些隨機(jī)事件。隨機(jī)事件可用一個(gè)大寫字母來(lái)表示，如事件A（晴天），事件B（多云），事件C（陰天）。3. 隨機(jī)變量許多隨機(jī)事件表現(xiàn)為數(shù)量形式。如“從100件產(chǎn)品中抽出5件，其中不合格產(chǎn)品的個(gè)數(shù)”。但有些隨機(jī)事件并不具有數(shù)量形式。這時(shí)，我們也可把這樣的隨機(jī)事件與實(shí)數(shù)之間，人為地而又合理地建立起一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，使每個(gè)隨機(jī)事件都對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，那么，隨機(jī)事件就可以用這

3、些實(shí)數(shù)為變量來(lái)表示，這個(gè)變量叫隨機(jī)變量。例如，天空中云量的情況，我們可以把隨機(jī)事件：晴天，多云，陰天，分別用隨機(jī)變量，1，2來(lái)表示。隨機(jī)變量的引入，使得我們可以用數(shù)學(xué)的方法來(lái)研究隨機(jī)事件的規(guī)律。二、內(nèi)容指要本大節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容是離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差。解題的關(guān)鍵是運(yùn)用排列、組合、概率知識(shí)，求出隨機(jī)變量的分布列。因?yàn)橛辛朔植剂校谕c方差問(wèn)題就迎刃而解了。1. 離散型隨機(jī)變量的分布列教科書的第5頁(yè)給出了該定義?？梢钥吹?，分布列的第一行列出了隨機(jī)變量可能取到的所有值，第二行給出了第一行各個(gè)值相應(yīng)的概率值，從而完整地刻畫了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。由隨機(jī)變量的實(shí)際意義可知：第二行各值必須是非負(fù)值，

4、且這些非負(fù)值之和為1。例如下面的兩個(gè)數(shù)表：表1表2一個(gè)是第二行各數(shù)之和，另一個(gè)第二行盡管有，但其中的。因此，這兩個(gè)數(shù)表不能是某個(gè)隨機(jī)變量的分布列。2. 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的分布列，顯示了隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，但還不能反映出隨機(jī)變量取值的平均水平。而依據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義（見(jiàn)教科書第10頁(yè)），對(duì)分布列再進(jìn)行計(jì)算，就可得到隨機(jī)變量取值的平均值。為了理解數(shù)學(xué)期望的實(shí)際意義，我們來(lái)看一個(gè)例子：某人從事一項(xiàng)商業(yè)活動(dòng)，成功率為0.3。若成功，則獲利5000元；若不成功，則虧損1000元，求它獲利的期望值?？芍@利數(shù)的分布列如表3。表3可知此人有望獲得利潤(rùn)800元。這里加以說(shuō)明，如果該人只從事一次這項(xiàng)

5、商業(yè)活動(dòng)，那么不是賺5000元，就是虧1000元，不可能賺得800元。但是，他多次從事這項(xiàng)商業(yè)活動(dòng)，從平均意義上來(lái)講，那么一次可賺得800元。在實(shí)際問(wèn)題中，我們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)期望進(jìn)行決策。例如，教科書在本章引言中（見(jiàn)教科書第3頁(yè)）的一個(gè)問(wèn)題，可設(shè)該商場(chǎng)在商場(chǎng)外搞促銷活動(dòng)獲得的經(jīng)濟(jì)利益為萬(wàn)元，則有表4。表4可見(jiàn)在商場(chǎng)外搞促銷活動(dòng)的平均效益是4.4萬(wàn)元，超過(guò)了在商場(chǎng)內(nèi)搞促銷活動(dòng)的2萬(wàn)元的效益。因此，在該商場(chǎng)應(yīng)選擇在商場(chǎng)外搞促銷活動(dòng)。3. 隨機(jī)變量的方差數(shù)學(xué)期望刻畫的是一組數(shù)據(jù)或一個(gè)隨機(jī)變量取值的平均水平，但有時(shí)我們還要知道這組數(shù)據(jù)的集中程度。而方差就反映了隨機(jī)變量所取值與平均值（即數(shù)學(xué)期望）的離散程

6、度。我們來(lái)看一個(gè)例子。甲、乙兩名工人加工同一種零件，分別檢測(cè)5個(gè)工件，結(jié)果如表5、表6。表5表6不難求得，可見(jiàn)他們的平均值（期望）相同。誰(shuí)的質(zhì)量更好些呢？下面計(jì)算他們的方差。由，知甲比乙加工的零件要精密些，質(zhì)量更好些。4. 期望與方差的幾個(gè)性質(zhì)（1），（2）若，則（其中q1p）（3）性質(zhì)（1）、（2）的證明比較簡(jiǎn)單，性質(zhì)（3）的證明見(jiàn)文尾。利用上述性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。三、例題解說(shuō)例1. 在一批的10件產(chǎn)品中，有7件是合格品，3件是次品?，F(xiàn)從中一件一件地抽取產(chǎn)品，設(shè)每件產(chǎn)品被抽到的可能性相同。在下列三種情況下，分別求出直到取出合格品為止，所需要抽取次數(shù)的分布列：（1）每次取的產(chǎn)品都不放回該批產(chǎn)品

7、中；（2）每次取出一件產(chǎn)品后，若是次品，放到一旁，另以一件合格品放回該批產(chǎn)品中；（3）每次取出一件產(chǎn)品后，若是次品，則放回該批產(chǎn)品中，然后再抽取一件產(chǎn)品。解：（1）由于只有3件次品，故最多抽取4次，必抽到合格品，所以的取值為1，2，3，4。當(dāng)時(shí)，表示第一次就取到合格品，故當(dāng)時(shí)，表示第一次取到次品，第二次取到合格品，故當(dāng)時(shí)，類似地可求得可得的分布列如表7。表7（2）的取值是1，2，3，4。當(dāng)時(shí)，取第一次就取到合格品，故當(dāng)時(shí)，即第一次取出的是一件次品，放到一旁，另以一件合格品放回該批產(chǎn)品中，然后第二次取到合格品，故類似地，可有可得的分布列如表8。表8（3）的取值是1，2，3，k，。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即第

8、一次取出的是次品，放回后，第二次取出的是合格品，故當(dāng)時(shí)，即第一次、第二次取出的都是次品，放回后，第三次取出合格品，故依此類推，當(dāng)時(shí)，表示前k1次取出的都是次品，都放回，而第k次取出合格品，故因此的分布列如表9。表9說(shuō)明：本例三個(gè)小題，要注意區(qū)分所進(jìn)行的抽樣，是無(wú)放回抽取，還是有放回抽取，因?yàn)檫@將影響此后的每一次抽樣的概率。另外，在求解中用到了等可能事件的概率以及概率的乘法。本例第（3）小題，就是教科書P7介紹的幾何分布問(wèn)題。學(xué)習(xí)了無(wú)窮等比數(shù)列的和（見(jiàn)教科書P91閱讀材料），可以知道：這個(gè)結(jié)果恰好符合離散型分布列性質(zhì)（2）（見(jiàn)教科書P6）。例2. 現(xiàn)有一串外形相同的鑰匙，共有n把，其中只有一把可

9、以打開(kāi)門上的鎖?，F(xiàn)遂把鑰匙試開(kāi)門鎖，直到打開(kāi)鎖為止。試求開(kāi)鎖次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。解：“”表示前k1次均未打開(kāi)鎖，而第k次才首次打開(kāi)鎖。因此這樣，的分布列為說(shuō)明：本例中“”的意義，容易使人誤以為服從幾何分布。實(shí)際上，本例中的每次試驗(yàn)的條件都在改變，不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，這應(yīng)引起我們的注意。另外，在求時(shí)，利用了方差性質(zhì)：，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。最后在計(jì)算時(shí)，應(yīng)用了一個(gè)常用結(jié)果：這個(gè)等式的證明，可見(jiàn)教科書P64例2。期望與方差在生產(chǎn)生活中都有應(yīng)用，如產(chǎn)品質(zhì)量的檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)，行為方式的決策，生產(chǎn)條件的合理配置等。例3. 現(xiàn)有甲、乙兩種建筑鋼筋材料，從中各取等量的樣品，檢驗(yàn)它們的抗拉強(qiáng)度指數(shù)如表10、表11。表1

10、0表11表10、表11中和分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強(qiáng)度。在使用材料時(shí)，要求抗拉強(qiáng)度平均不低于120的條件下，試比較甲、乙兩種材料哪一種的質(zhì)量更好些。分析：先看期望是否合格，然后再比較它們的方差。解：可見(jiàn)甲、乙兩種材料的平均抗拉強(qiáng)度相同，并且都合格。再比較方差?？梢?jiàn)，因此乙材料的質(zhì)量更好些。說(shuō)明：方差是衡量穩(wěn)定性的一個(gè)重要標(biāo)志，本例中，建筑材料穩(wěn)定性的檢驗(yàn)，對(duì)保證建筑質(zhì)量是很重要的。再如，在乒乓球比賽中，本隊(duì)中甲、乙兩名乒乓球隊(duì)員與對(duì)方隊(duì)員的比賽勝率（期望）相當(dāng)，但甲隊(duì)員起伏很大，而乙隊(duì)員較穩(wěn)定?，F(xiàn)派甲、乙中一人上場(chǎng)與對(duì)手比賽，那么在勝率較大時(shí)，應(yīng)派乙上場(chǎng)，在勝率較小時(shí)，可派甲上場(chǎng)一試。例4. 某車間有5臺(tái)機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床所附電動(dòng)機(jī)功率均為10kW，每臺(tái)機(jī)床是否工作是獨(dú)立的，且工作的概率均為。若供電部門只能提供30kW的電力給該車間，試問(wèn)是否會(huì)對(duì)該車間的正常工作產(chǎn)生較大影響？解：用表示開(kāi)動(dòng)機(jī)床的臺(tái)數(shù)，如果開(kāi)動(dòng)4臺(tái)或4臺(tái)以上的機(jī)床，則用電超過(guò)30kW，不能正常工作。所以事件（）表示該車間不能正常工作。由于每臺(tái)機(jī)床工作的概率均為，各臺(tái)機(jī)床工作與否又彼此獨(dú)立，所以服從二項(xiàng)分布：。的分布列如表12。表12不能正常工作的概率為：若按一天8小時(shí)工作時(shí)間計(jì)算，不能正常