第五章非線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)的數(shù)值分析

1、第五章 非線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)的數(shù)值分析原理§5-1 線性加速度法這個(gè)方法的思路是，把整個(gè)振動(dòng)過(guò)程分成很多個(gè)時(shí)間間隔，一般叫做步長(zhǎng)，即一步一步地按照相同的程序算出，從而得到的整個(gè)時(shí)程值。現(xiàn)在，假定已選定了時(shí)間步長(zhǎng)，并假設(shè)在某一步開(kāi)始時(shí)的位移，速度和加速度都已算出。那么，為了計(jì)算以后的響應(yīng)，我們假定在范圍內(nèi)加速度按直線規(guī)律變化如圖5-1所示，這就是本方法命名的由來(lái)。這時(shí)，位移對(duì)時(shí)間的三階導(dǎo)數(shù)應(yīng)為常數(shù)，即圖5-1 線性加速度 （5-1）現(xiàn)在把位移響應(yīng)在時(shí)間開(kāi)始時(shí)展成Taylor級(jí)數(shù) （5-2a）由式（5-1），上式也可寫(xiě)成 （5-2b）這是由于假設(shè)加速度按線性變化，故三階以上的導(dǎo)數(shù)為零?，F(xiàn)在把式

2、（8-2b）對(duì)求導(dǎo)，則有 （5-3）當(dāng)時(shí)，即時(shí)程從到了，按式（5-2b）及式（5-3），有或 （5-4a）或 （5-5a）由式（5-4a）可得 （5-5b）將上式代入式（5-5a）可得 （5-5b）從（5-5b）及式（5-4b）可以看出，速度增量及加速度增量都可以從位移增量算出。為了求，我們需要導(dǎo)出時(shí)間時(shí)的增量動(dòng)平衡方程如下 （a） （b）式（a）中， （5-6）同時(shí)假定及在時(shí)段（）中不變，則由式（a）及（b）可得增量動(dòng)平衡方程為 （5-7）將式（5-4b）及（5-5b）代入上式，可得把上式整理后，可得 （5-8）式中 （5-9a） （5-9b）式（5-8）相當(dāng)于在時(shí)刻時(shí)的靜力增量平衡關(guān)系。在

3、等效荷載和剛度項(xiàng)中包含慣性和阻尼項(xiàng)反映了動(dòng)力特性。解方程式（5-8），得出位移增量后，再將此值代入式（5-5b）即可獲得速度增量。于是下一時(shí)段開(kāi)始時(shí)的位移及速度即可從這些增量值求得，即。重復(fù)以上的計(jì)算過(guò)程，就可算得各時(shí)刻的位移響應(yīng)。由于計(jì)算需要知道開(kāi)始時(shí)刻的加速度，這個(gè)加速度可從動(dòng)平衡方程計(jì)算，即 （5-10）設(shè)時(shí)初始條件為，則由式（5-10），有 （5-11）于是可從式（5-8）求得開(kāi)始時(shí)的第一個(gè)位移增量，從而可得，再?gòu)氖剑?-5b）可得，從而可得：。至于第一個(gè)加速度增量雖然可從式（5-4b）求得，但為了避免以后誤差的積累，一般是從增量動(dòng)平衡方程式（5-7）來(lái)計(jì)算的，即 （5-12）將式（5

4、-11）及（5-12）的計(jì)算結(jié)果相加，即得。在以上的數(shù)值分析過(guò)程中，包含了兩個(gè)重要假定：（1）加速度為線性變化，（2）阻尼和剛度特性在時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)保持常量。一般來(lái)說(shuō)，時(shí)間步長(zhǎng)很短時(shí)誤差甚小，但這兩個(gè)假定畢竟都不是完全正確的。誤差一般是在增量平衡關(guān)系中出現(xiàn)，而這些誤差將會(huì)愈積愈多。為了避免這種誤差的過(guò)多積累，所以在分析的每一步中，要利用總的動(dòng)平衡條件，來(lái)計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)起點(diǎn)處的加速度。此外，從上述的計(jì)算過(guò)程中可以看出，計(jì)算要利用時(shí)的動(dòng)平衡方程，所以這種積分格式叫做穩(wěn)式積分格式。正象任何數(shù)值積分方法一樣，上述線性加速度法的精度取決于步長(zhǎng)的大小。在選取步長(zhǎng)的大小時(shí)，應(yīng)該考慮下面的幾個(gè)因素：(1)作用荷載的

5、變化速率；(2)非線性阻尼和剛度特性的復(fù)雜性；(3)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)周期。為了可靠地反映這些因素，步長(zhǎng)必須足夠的短。一般說(shuō)來(lái)，材料特性的變化不是關(guān)鍵的因素，但如果發(fā)現(xiàn)一個(gè)重大的突然變化，則可以在這種局部地方再細(xì)分時(shí)間步長(zhǎng)來(lái)加以處理。因此，如果加荷過(guò)程比較簡(jiǎn)單，則步長(zhǎng)的選取主要是取決于結(jié)構(gòu)振動(dòng)周期。線性加速度法是有條件穩(wěn)定的，如果大于振動(dòng)周期的一半左右，將會(huì)出現(xiàn)發(fā)散的解。為了使解有適當(dāng)?shù)木龋仨氁痰枚?。根?jù)經(jīng)驗(yàn)，如果，則可獲得可靠的結(jié)果。如果對(duì)解出的結(jié)果有所懷疑，則可進(jìn)行第二次計(jì)算，這時(shí)可選取第一次計(jì)算時(shí)步長(zhǎng)的一半。如果第二次計(jì)算沒(méi)有明顯的變化，就可以認(rèn)為計(jì)算結(jié)果的誤差是可忽略不計(jì)的。§

6、5-2 Wilson-法Wilson-法是一種目前認(rèn)為精度較好、常用的無(wú)條件穩(wěn)定數(shù)值積分法。這個(gè)方法實(shí)際上是上述線性加速度法的一種修正形式。它的基本假定仍然是加速度按線性變化且其范圍延伸到時(shí)間步長(zhǎng)之外： （5-13）顯然，當(dāng)=1時(shí)，這個(gè)方法就化為標(biāo)準(zhǔn)的線性加速度法，但這只是有條件穩(wěn)定的。圖5-2表示了Wilson-法的基本假設(shè)。圖5-2 Wilson-法的基本假設(shè)和式（5-4a）和式（5-5a）相似，在這里也可以得到相應(yīng)的關(guān)系：（5-14）式中表示對(duì)應(yīng)于時(shí)間步長(zhǎng)的增量。和式（5-8）及（5-9）相對(duì)應(yīng)，在這里也有 （5-15）式中 （5-16a） （5-16b）從增量平衡關(guān)系式（5-15）即可

7、算出。再將代入下式（與式（5-4b）相似）， （5-17）即可算得。于是，對(duì)于正常步長(zhǎng)的加速度增量為或 （5-18）將式（5-14）中的換成，換成由式（5-18）算出的，即可得到對(duì)于正常時(shí)間步長(zhǎng)的位移增量和速度增量，根據(jù)這些結(jié)果，對(duì)于下一步長(zhǎng)的起始條件為 （5-19）將上述過(guò)程反復(fù)逐步進(jìn)行計(jì)算，即可得到結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的時(shí)程曲線。不言而喻，Wilson-法也是穩(wěn)式的積分格式。§5-3 關(guān)于數(shù)值積分的精度問(wèn)題逐步積分法的穩(wěn)定性是一個(gè)很重要的問(wèn)題，因?yàn)楫?dāng)分析一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)體系時(shí)，必須要用無(wú)條件穩(wěn)定的積分格式，否則的話，為了保持動(dòng)態(tài)響應(yīng)高頻分量的穩(wěn)定性，時(shí)間步長(zhǎng)取得太大，這時(shí)即使高頻動(dòng)態(tài)輸入是

8、可以忽略的，但由于積分格式是有條件穩(wěn)定的原因，結(jié)果將會(huì)造成高頻分量的響應(yīng)會(huì)無(wú)限制地增長(zhǎng)（/ ，從而使隨增大而不收斂），使得整個(gè)分析沒(méi)有意義。當(dāng)然，積分的精度是與步長(zhǎng)大小有關(guān)的，但當(dāng)用無(wú)條件積分格式計(jì)算時(shí)，只要考慮起較大影響的激振輸入頻率來(lái)選定時(shí)間步長(zhǎng)而不考慮影響不大的高頻分量，這就是無(wú)條件穩(wěn)定格式的優(yōu)越性所在之處。一般說(shuō)來(lái)，數(shù)值積分的精度總是取決于荷載情況、結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)態(tài)特性以及所選取時(shí)間步長(zhǎng)的大小。下面用Wilson-法來(lái)計(jì)算單自由度體系的無(wú)阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)，就可看出它的精度如何。假定初值問(wèn)題是由下式定義的： （5-20）這個(gè)初值問(wèn)題的精確解為。如果用Wilson-法（或其他數(shù)值積分）來(lái)求解

9、上述問(wèn)題，則會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算結(jié)果的不準(zhǔn)確性可用兩種效應(yīng)來(lái)表示，即（1）振動(dòng)周期的增大（用百分比來(lái)表示）和（2）振幅的衰減（用振幅衰減的百分比來(lái)表示）。這第二個(gè)效應(yīng)相當(dāng)于人為地加了阻尼進(jìn)去。圖5-3和圖5-4分別給出用Wilson-法計(jì)算由式（5-20）所定義的問(wèn)題時(shí)所出現(xiàn)的上述兩種效應(yīng)，并以和作為參數(shù)，給以步長(zhǎng)比作為自變數(shù)的函數(shù)關(guān)系曲線。從圖8-8和圖8-9可以看出，對(duì)于一個(gè)給定的步長(zhǎng)比，按算出的結(jié)果要比按算出的結(jié)果來(lái)得精確。當(dāng)時(shí)，誤差可以忽略，但當(dāng)時(shí)，誤差就很大，單自由度體系當(dāng)其阻尼比為1.2%時(shí)引起的振幅衰減為7%。因此，從圖8-9也可以表圖8-8 周期增長(zhǎng)，Wilson-法圖8-9 振幅衰減，Wilson-法明，當(dāng)時(shí)，所引入的人為虛假阻尼比小于1.2%（）。在分析大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時(shí)，必須根據(jù)上述逐步積分中的固有誤差來(lái)選定時(shí)間步長(zhǎng)。實(shí)際上，由積分引起的振幅衰減等于人為地過(guò)濾掉高階振型的影響，而高階振型本來(lái)就沒(méi)有太大的意義，所以振