第八章 隨機(jī)變量及其概率分布

1、第八章 隨機(jī)變量及其概率分布§8.1 離散型隨機(jī)變量及其分布律一隨機(jī)變量我們注意到這樣的現(xiàn)象：（1）隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果往往表現(xiàn)為數(shù)量，如：擊中次數(shù)、潮位數(shù)值、投擲骰子等。（2）若不表現(xiàn)為數(shù)量，可使其數(shù)量化，如：抽牌時(shí)，將牌張編號(hào)等。以X表示試驗(yàn)的數(shù)值結(jié)果，則X是隨機(jī)變量。（解釋“隨機(jī)”）即取值是隨機(jī)的變量叫隨機(jī)變量。舉例：（1）擲幣： X為“出現(xiàn)正面的次數(shù)”， X的可能取值為1、0。即X = 1=“正面朝上”， X = 0= “反面朝上”，并且PX = 1= PX = 1= 0.5（2）抽牌： X為“抽得牌張編號(hào)“， X的可能取值為1，2，3，52。14X26 =“抽到紅心”隨機(jī)變量用大

2、寫(xiě)字母X、Y、Z等表示。特別注意：隨機(jī)變量的取值或取值范圍表示隨機(jī)事件，而我們研究隨機(jī)變量最主要的就是隨機(jī)變量的取值或在某個(gè)范圍內(nèi)取值的概率（隨機(jī)變量X本身不是事件）。即或二離散型隨機(jī)變量如果X的取值（可以有限也可以無(wú)限）可以一一列出，即可以排隊(duì)的，則稱(chēng)X是離散型的隨機(jī)變量。設(shè)X的可能取值為xk( k = 1, 2, , n)，并且相應(yīng)的概率PX = xk = pk都知道，則該隨機(jī)變量的規(guī)律就完全搞清楚了。X的規(guī)律是指 弄清可能取值 知道概率。寫(xiě)成矩陣形式：這個(gè)表格稱(chēng)為分布律（分布列）。分布律應(yīng)滿足以下條件（性質(zhì)）：（1）；（2） 分別叫做概率的非負(fù)性和概率的完備性。例1 求a的值，使X的分布

3、律為 。 解： 【注】分布律可以列表，也可用公式表示，本質(zhì)都是以概率為函數(shù)值的一種特殊的函數(shù)，僅僅是表示的形式不同而已。例2 現(xiàn)有10件產(chǎn)品中，其中有3件次品，現(xiàn)任取兩件產(chǎn)品，記X是“抽得的次品數(shù)”，求X的分布律。解 X可能取值為0，1，2，（這是關(guān)鍵步驟，常被忽視而致思維受阻）。概率為，則分布律為【注】求分布律，首先弄清X(qián)的確切含義及其所有可能取值。例3 一種有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，20萬(wàn)戶為一開(kāi)獎(jiǎng)組。設(shè)特等獎(jiǎng)20名，獎(jiǎng)金4000元；一等獎(jiǎng)120名，獎(jiǎng)金400元；二等獎(jiǎng)1200名，獎(jiǎng)金40元；末等獎(jiǎng)4萬(wàn)名，獎(jiǎng)金4元。求一戶得獎(jiǎng)?lì)~X的分布律。解 X 的可能取值為4000，400，40，4，0（最后一值易漏，

4、要特別注意，絕大多數(shù)是不中獎(jiǎng)的），易求分布律以下討論三種常見(jiàn)的分布：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布三兩點(diǎn)分布X的可能取值僅兩點(diǎn)0和1，且PX =1= p，則分布律為其中，則稱(chēng)X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布（0-1分布）。 例4 袋中裝6只白球和4只紅球，任取一只，為“取得白球數(shù)”，求的分布律。解 PX = 1 = 0.6 ，則的分布律為【注】 任何隨機(jī)試驗(yàn)都可與兩點(diǎn)分布相聯(lián)系：設(shè)A是試驗(yàn)中某一事件， X是“一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)”，若P(A)= p，則X的分布律為（X = 0表示A未出現(xiàn)）四二項(xiàng)分布1貝努里（Bernoulli）試驗(yàn)將隨機(jī)試驗(yàn)在相同條件下獨(dú)立地重復(fù)n次，觀察事件A出現(xiàn)的次數(shù)，稱(chēng)為貝努里

5、試驗(yàn)，或n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)。如：射擊n次，中幾次？有放回的抽樣（抽牌、模球、檢驗(yàn)產(chǎn)品）。事件A出現(xiàn)k次的概率記為Pn(k)。例5 產(chǎn)品次品率為0.2，有放回地抽5次，求出現(xiàn)2次次品的概率(可見(jiàn)貝努里試驗(yàn)Flash動(dòng)畫(huà)演示)。解 即求P5(2)，出現(xiàn)次品為A，5次抽樣情況可以是， 這樣的情況共有 種，互不相容，其概率都是，所以由加法定理得。一般地，在貝努里試驗(yàn)中，出現(xiàn)的概率是p，q=1- p ，則 這種概率模型稱(chēng)為貝努里概型。2二項(xiàng)分布X是n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中A事件出現(xiàn)的次數(shù)，P(A) = p，則 （）稱(chēng)X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布（或貝努里分布），記X B ( n, p ) 。例6，產(chǎn)品次品率為1

6、0%，任意抽取5件樣品，求最多有2件次品的概率。解：產(chǎn)品量很大時(shí)，不放回近似于放回，所以這是貝努里概型且p= 10% = 0.1，現(xiàn)在求PX2：【注】要重視應(yīng)用二項(xiàng)分布的現(xiàn)成結(jié)論。常見(jiàn)的二項(xiàng)分布實(shí)際問(wèn)題：有放回或總量大的無(wú)放回抽樣；打槍、投籃問(wèn)題（試驗(yàn)n次發(fā)生k次）；設(shè)備使用、設(shè)備故障問(wèn)題。例7 螺絲次品率為0.05，十個(gè)一包出售，多于一個(gè)次品可退貨，求退貨率。解 螺絲量大，近似于有放回抽樣，次品數(shù)，求PX >1。但直接求很繁，可先求不多于一個(gè)次品的概率 （可以查表計(jì)算）。所以退貨率為 1- 0.9139 = 0.0861 = 8.6 %。五泊松(Poisson)分布若X的可能取值為（無(wú)

7、窮）且 則稱(chēng)服從參數(shù)為的泊松分布，記為X 。利用冪級(jí)數(shù)知識(shí)可以證明 泊松分布來(lái)自于“排隊(duì)現(xiàn)象”，刻畫(huà)稀有事件出現(xiàn)的概率。如某時(shí)間段內(nèi)的電話呼叫、紗線斷頭、顧客到來(lái)、車(chē)輛通過(guò)等。當(dāng)n很大時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，即 §8.2 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度一連續(xù)型隨機(jī)變量1概率密度 的取值連成一片（成為一些區(qū)間），就是連續(xù)型隨機(jī)變量。如零件尺寸、電池壽命、降雨量等。P aXb 是連續(xù)和，應(yīng)是定積分（a，可不同，但被積函數(shù)相同）= （注意大、小寫(xiě)勿相混）這里函數(shù)f ( x )稱(chēng)為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)密度。密度f(wàn) ( x )決定了X的變化規(guī)律，不同的隨機(jī)變量有不同的密度。定積分的幾

8、何意義是面積，所以概率的幾何意義是密度函數(shù)曲線下方的面積(見(jiàn)圖3)。2密度的性質(zhì)連續(xù)型的概率非負(fù)性和概率完備性表現(xiàn)為（1） （2） 例1 設(shè)下列函數(shù)是概率密度，求k及P1X3，P X1 解：由完備性（注意分段函數(shù)的積分處理） 3單點(diǎn)概率 這說(shuō)明單點(diǎn)概率為零。概率為零的事件不一定是不可能事件。于是進(jìn)一步的考慮是當(dāng)x很小時(shí) 即單點(diǎn)概率是和密度函數(shù)值成正比的無(wú)窮小量。4概率的幾何意義 表明（1）概率的幾何意義是曲線下方的面積。（2）并且整個(gè)曲線下方的面積等于1。又說(shuō)明密度f(wàn) ( x)本身并不是概率，但它表示各點(diǎn)概率（無(wú)窮?。┲g的比例。以下討論三種常見(jiàn)的分布：均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布。二均勻分布

9、各點(diǎn)的概率（比例）相同，即f (x)恒等于常數(shù)。若X的概率密度為則稱(chēng)X服從區(qū)間 a, b上的均勻分布，記為XU( a, b )。(見(jiàn)圖4)均勻分布是最簡(jiǎn)單的連續(xù)型分布。問(wèn)：（1）常數(shù)為何是區(qū)間長(zhǎng)度的倒數(shù)？（2）均勻（概率）分布的概率如何簡(jiǎn)單求得？三指數(shù)分布若的密度為 則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。顯然有 并且指數(shù)分布也來(lái)自于“排隊(duì)現(xiàn)象”，與泊松分布緊密聯(lián)系。四正態(tài)分布最重要的分布，在后面著重討論。§8.3 分布函數(shù)與函數(shù)的分布一分布函數(shù)1概念設(shè)X是隨機(jī)變量， x是一個(gè)數(shù)，則P Xx與x有關(guān)，隨x的變化而變化，從而是x的函數(shù)。稱(chēng)f (x) = PXx為X的分布函數(shù)。F(x)是在區(qū)間 (-

10、, x)內(nèi)的“累積概率”，不要與單點(diǎn)概率混淆。2性質(zhì)（1）（2） 單調(diào)不減（3） （4）， 這是累積概率之差額。可見(jiàn)利用分布函數(shù)計(jì)算概率也很方便。3求法注意對(duì)于離散型，F(xiàn)(x)是概率之和；對(duì)于連續(xù)型，F(xiàn)(x)是積分。計(jì)算公式分別是 分布函數(shù)對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量比較有用：F(x)連續(xù)，且在連續(xù)點(diǎn)成立。例1，設(shè)XU( a, b )（均勻分布）求分布函數(shù)F(x)。解：當(dāng)x( a, b )時(shí)，利用概率的幾何意義（面積）得(見(jiàn)圖5)F(x)的圖形連續(xù)，尖點(diǎn)處無(wú)導(dǎo)數(shù)，恰為f ( x)的間斷點(diǎn)。二函數(shù)的分布已知X的分布，求Y = g( X )的分布。如動(dòng)能對(duì)速度 ，面積對(duì)半徑。1X為離散型隨機(jī)變量。例2，已知

11、的分布律如下，求 Y = X 2的分布律。X解：事件，概率也相等，但，所以即Y = g( X )的可能取值為 ，概率不變。2X為連續(xù)型隨機(jī)變量已知X的分布密度 設(shè)，求Y = g( X )的密度。先要求出Y的分布函數(shù)，（與y有關(guān)），再通過(guò)求導(dǎo)得到，由于計(jì)算比較復(fù)雜，此處從略。§8.4 正態(tài)分布一正態(tài)分布的定義與性質(zhì)1定義若X的概率密度為Gauss函數(shù) 則稱(chēng)X服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為。正態(tài)分布是最重要的分布。一方面在自然界中，取值受眾多微小獨(dú)立因素綜合影響的隨機(jī)變量一般都服從正態(tài)分布，如測(cè)量的誤差、質(zhì)量指數(shù)、農(nóng)作物的收獲量、身高體重、用電量、考試成績(jī)、炮彈落點(diǎn)的分布等。因此大量的隨機(jī)變

12、量都服從正態(tài)分布；另一方面，許多分布又可以用正態(tài)分布來(lái)近似或?qū)С觯瑹o(wú)論在理論上還是在生產(chǎn)實(shí)踐中，正態(tài)分布有著極其廣泛的應(yīng)用。 正態(tài)曲線：正態(tài)密度函數(shù)的圖象，是鐘形曲線(見(jiàn)圖6)。2正態(tài)曲線的性質(zhì)（1）關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)（偶函數(shù)平移）；（2）時(shí)，達(dá)最大值 （最高點(diǎn)），兩側(cè)逐漸降低，有漸近線(軸)， 對(duì)應(yīng)拐點(diǎn)；（3）曲線之下的面積為1，即 （計(jì)算過(guò)程略）。這個(gè)積分稱(chēng)為概率積分，又稱(chēng)高斯積分（高斯曲線）。（4）注意到對(duì)應(yīng)拐點(diǎn)，所以固定而變動(dòng)時(shí)，曲線左、右平移，形狀不變；不變而變動(dòng)時(shí)，因面積恒定為1，故越大（?。?，曲線越平坦（陡峭）。3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X N( 0, 1 )，概率密度為 （是專(zhuān)用記號(hào)）對(duì)稱(chēng)性、最高點(diǎn)、拐點(diǎn) 、漸近線、面積（積分）情況見(jiàn)上。二正態(tài)分布的概率計(jì)算1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X N( 0, 1 )，其分布函數(shù)的圖形見(jiàn)圖7，表示曲線下方、x左側(cè)的面積，其函數(shù)表達(dá)式為已編制了數(shù)值表（附表1），但表中只有的數(shù)值。利用圖形的對(duì)稱(chēng)性和完備性，即,可以查表求出各種概率。例1，設(shè)，求以下概率（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）已知，求a。由 倒查表得。2一般正態(tài)分布的概率計(jì)算對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可通過(guò)線性變換