直線與橢圓位置關系的非常規(guī)判定法及參數(shù)方程

1、直線與橢圓位置關系的非常規(guī)判定法及參數(shù)方程一：判定直線與橢圓位置關系的常規(guī)方法：是把直線方程代入橢圓方程，得到關于的一元二次方程，然后用判別式法求解之；其運算往往比較復雜.本文介紹兩種判定直線和橢圓位置關系的非常規(guī)方法,并簡要介紹這兩種方法的應用。定理1: 設、分別是橢圓的左、右焦點，點P是直角坐標平面中的任意一點，則（1）點P在橢圓上.（2）點P在橢圓外.（3）點P在橢圓內.證明:(1)由橢圓的定義直接可得這個結論. (2)1)當點P在橢圓外時:如圖,連結 交橢圓于點M,則>即成立.即:點P在橢圓外(3)1)當點P在橢圓內時:如圖,連結并延長交橢圓于點M,則<即成立.即:點P在橢

2、圓內(2)2)當時:若點P在橢圓上,則有得矛盾若點P在橢圓內,則有得矛盾點P在橢圓外. 即點P在橢圓外.(3)2)同理可得點P在橢圓內.定理2：設直線上的動點P到橢圓兩焦點、的距離和的最小值為,則（1）直線和橢圓C相切；（2）直線和橢圓C相離；（3）直線和橢圓C相交；證明: (1)直線和橢圓C相切直線和橢圓C有且僅有一個公共點直線上有且僅有一個點在橢圓上,而其它點全在橢圓外的最小值為 (2) 直線和橢圓C相離直線上的所有點都在橢圓C的外部恒成立(3) 直線和橢圓C相交 直線上至少存在一點P在橢圓C的內部直線上至少存在一點P使成立 注:容易驗證對于焦點在軸上的橢圓,上述結論也成立.定理3：已知：

3、直線 橢圓 ，則（1）；（2）；（3）。證明：作坐標變換： 則在新坐標系中橢圓C變成曲線的方程為：（已化為單位圓），直線l變成直線的方程為，易見坐標變換前后直線和曲線的位置關系（公共點的個數(shù)）保持不變；在中，由于圓心到直線的距離 和橢圓C相交和單位圓相交同理：和橢圓C相切和橢圓C相離 下面介紹上述定理的初步應用例1：若直線和焦點在X軸上的橢圓恒有公共點，則實數(shù) 的取值范圍為 例2已知:橢圓C以兩坐標軸為對稱軸，焦點在x軸上，且與兩直線均相切，求：橢圓C的方程。解：設橢圓的方程為： 橢圓和直線相切 由定理3可知：又橢圓和直線相切 由 解得 橢圓的方程為：評注:用定理3判定直線 和橢圓的位置關系，

4、通?？梢员苊庖恍┓彪s的運算.二：橢圓參數(shù)方程    問題：如圖以原點為圓心，分別以a、b（a>b>0）為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作ANOx，垂足為N，過點B作BNAN，垂足為M，求當半徑OA繞O旋轉時點M的軌跡的參數(shù)方程。    解：參數(shù)。            說明：<1> 對上述方程（1）消參即        <2>由以

5、上消參過程可知將橢圓的普通方程進行三角變形即得參數(shù)方程。初步應用：例3：橢圓 上求一點P，使它到兩焦點F1，F(xiàn)2的連線互相垂直。例4. 的距離最小并求出距離的最小值（或最大值）？    解：                 例5. 如圖，已知曲線，點A在曲線上移動，點C（6，4），以AC為對角線作矩形ABCD，使ABx軸，ADy軸，求矩形ABCD的面積最小時點A坐標。解：設，    則，