數(shù)列系統(tǒng)復(fù)習(xí)

1、僅供個人參考Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse數(shù)列模塊小結(jié)1. an = f (n),數(shù)列是特殊的函數(shù),.§,“Sn-Sn,n = 1n _2不得用于商業(yè)用途2 .等差數(shù)列的定義及性質(zhì)(1) an書-an=d,an=am+(nm)d=a1+(n1)d=dn+(a)d)；(2)g.也山d=dn2d)n；2222(3)若m+n=p+q,則am+an=ap+aq；若m+n=2p,則am+an=2ap；(4)若§n是等差數(shù)列，則Sk,S2kSk,S3kS2k,仍成等差數(shù)列，公差為k2d；SI(5)若an是

2、等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列，公差為d；,n2(6)若Q是等差數(shù)列，則S2n=(2n1)an,裝=曳.T2nbn3 .等比數(shù)列的定義及性質(zhì)an1n4n-ma1n(1) =q,an=a1q=amq=一q;q =1q ； 1anqS='a1(1-q)a1-anqa1a1n=-q,1-q1-q1-q1-q(3)若m+n=p+q,則am%=apaq；若m+n=2p,則am%=ap2；僅供個人參考(4)G2=ab=G=±s/ab,an2=an'an書；(5)若L是等比數(shù)列，則Sk,82k-Sk,S3ks2k，仍成等比數(shù)列(q#1或k為奇數(shù))，(當(dāng)q=-1時，若k為偶數(shù)，則不為等比數(shù)

3、列)4.數(shù)列求和的方法(1)公式法：12+22+32+川+n2=n(n+1)(2n+1),613+23+33+ni+n3=n2(n+1)2；4(2)錯位相減法：適用于通項由等差和等比相應(yīng)項的乘積構(gòu)成的數(shù)列求和；1 11(!(3)裂項相消法：=(Qn為公差為d的等差數(shù)列)，anan+d<anan+J1_1=，"將，2n-12n122n-12n1,a.ba-b11I,1111.；-、=-|，,=_(Jn+1_Jn)；n(n+1)(n+2)2_n(n+1)(n+1)(n+2)_n+k+Vnk(4)分組求和法；(5)倒序相加法；5.由遞推公式求通項公式(1)anan=f (n),由an

4、=a-anJ+an,+an3 +rll(a 2 a 1)a 1得(疊加)；一an1,、anan一,a2(2)=g(n),由an=川一a可得(迭乘法)anan4an4a1(3)Sn = f(an),S，n=1口由an=4可得(同化)S-Sn，n-2an=pan,+q'由an*含=p(an4+襦)構(gòu)造等比數(shù)列求得;(5) an=pan1+rqn,兩邊同除qn可以轉(zhuǎn)化為(4)處理;(6) an=pan+qn+r,由an+xn+y=pan+x(n1)+y可以求得;(7)an4=pan,兩邊取倒數(shù)可以轉(zhuǎn)化；qanr(8)an=panr,若p=1,則可取1g求得；若p#1,則可取logp求得；(9

5、) an由+pan=qanan4i,兩邊同除以anan中可以求得；(10) an由=pan+qan，由an書+xan=y(an+xan)可以求得；(11) 奇偶項，如an書an=pqn；(周期數(shù)列.數(shù)列習(xí)題(一)1 .如果等差數(shù)列an中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+|+a7=()A.14B.21C.28D.35解析：選C.2 .設(shè)Sn為等比數(shù)列應(yīng)的前n項和，已知30=a42,35=a32,則公比q=()A.3B.4C.5D.6解析：選B.兩式相減得，3a3=a4a3=a4=4a3=q=4.3 .設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項和，8a2+a5=0,則空=()S2A.11B.5C.-8D

6、.-11解析：選D.由8a2+a5=0=8a2+a2q3=0=q=-2.4.已知an是首項為1的等比數(shù)列,Sn是an 的前n項和，且9S3 = S6,則數(shù)列1-.an的前5項和為().31或 5163116158僅供個人參考不得用于商業(yè)用途解析：選C.顯然q于1,99(1二q_)=上土二1+q3=9=q=2,所以是首項1-q1-qan為1,公比為1的等比數(shù)列，前5項和T5=31.2165 .設(shè)Sn為等差數(shù)列4的前n項和，若S3=3S=24.則a°=.解析：填15.依題設(shè)求出a1,d.6 .已知數(shù)列an滿足a1=33,an書-an=2n,則包的最小值為.n解析：填21.由疊加法得an=

7、33+n2-n=an=33+n-1,2nn33構(gòu)造函數(shù)f(n)=+n1,由單調(diào)性知，f(n)在(癡,依)上增，在(0,J33)上減,n,當(dāng)n =5或6時f (n)有最小值，又a5 = 53 a6 = 21一 , 一55 627 .已知數(shù)列(an)?兩足：a4n_3=1,a4n4=0,a2n=an,n匚N,a2009二,a2014二.解析：填1,0.考查周期數(shù)列，a2009-a4>503J2=1,a2014=a2M007=a1007=a4>252/=0.8 .已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn=n5an-85,n=N*.(1)證明：an1是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列(Sn)的通項公式，

8、并求出使得Sn書>Sn成立的最小正整數(shù)n.解析：(1)當(dāng)n=1時，a=14；當(dāng)na2時，-，5，、an=Sn-Sn4=-5an5anJ1=Hn-1=一4一1),6又a11=15#0,二an4是等比數(shù)列.5n15nl*（2）由（1）知：an1=15.（一）=Sn=75,（一）+n90（nWN）66一522由Sn書aS得（一）nJL<=n>log5+1*14.9,最小正整數(shù)n=15.656259 .已知4是公差不為零的等差數(shù)列，a=1,且31,徭e9成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列Qn的通項公式；（2）求數(shù)列2an的前n項和Sn.解析：（1）由題設(shè)知公差d/0,依題意，（1+2d）2=1

9、+8d=d=1,an=n.由（1）知2an=2n,Sn=2n*-2.10 .已知an是首項為19,公差為-2的等差數(shù)列，Sn為an的前n項和.（1）求通項an及Sn；（2）設(shè)bnan是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列bn的通項公式及其前n項和Tn.解析：（1）依題意，an=2n+21,Sn=n2+20n.3n-1bn=3n2n+21,Tn=Sn+（1+3+111+3）=-n2+20n+.2數(shù)列習(xí)題（一）1 .如果等差數(shù)列an）中，%+a4+a5=12,那么a1+a2+III+a7=（）A.14B.21C.28D.352 .設(shè)Sn為等比數(shù)列的前n項和，已知3s3=a42,3$=a32,則公比

10、q=（）A.3B.4C.5D.63 .設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項和，8a2+%=0,則叢=（）S2A.11B.5C.-8D.-11的前5項和為()A.15或5B.31或5C.31D15.一8161685.設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若S3=3£=24,則a9=.4.已知an是首項為1的等比數(shù)列，s是a 的前n項和，且9S = S6,則數(shù)列1一an6 .已知數(shù)列an滿足a1=33,an書-an=2n,則an的最小值為n7 .已知數(shù)列Qn滿足：a4nJ3=1,a4n=0,a2n=an,nWN*,人a2009=，a2014=.8 .已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn=n5an-85

11、,n=N*.(1)證明：Qn1)是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列&的通項公式，并求出使得&書aSn成立的最小正整數(shù)n.9 .已知4是公差不為零的等差數(shù)列，&=1,且&,%e9成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列瓜的通項公式；(2)求數(shù)列2an的前n項和Sn.10 .已知an是首項為19,公差為-2的等差數(shù)列，Sn為an的前n項和.(1)求通項an及Sn；(2)設(shè)bn-an是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列0的通項公式及其前和Tn.數(shù)列習(xí)題(二)1 .已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列(anLaa2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6=(A.5應(yīng)B.7C,6D,4V2解析：選Aa

12、a2a3a7a8a9=a5=50=%=5,2.1a102 .已知等比數(shù)列an中，各項都是正數(shù)，且ai,一a3,2a2成等差數(shù)列，則=()2a7a8A.1.2B.1-,2C.322D.3-22解析：a3=a12a2=q2=12q=q=12=a-a10=q2=32%2.a?a83 .設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1=11,a4+a6=6,則當(dāng)Sn取最小值時，n等于()A.6B.7C.8D.9解析：d-2,Sn-n2-12n=n-6.4 .已知等比數(shù)列an滿足an>0,n=1,2,|,且a5a=22n(n至3),則當(dāng)n至1時，log2a+log2a3+111+log2a2n=()A.n(

13、2n-1)B.(n1)2C.n2D.(n-1)2解析：an2=22n,an0=an=2n=log2a1HIlog2a2n4=n2.5 .設(shè)等差數(shù)列以的前n項和為Sn,若S9=72,則a2+&+a§=.解析：S9=98=a5=8=a2a4a9=a1a5a9=3a5=24.6 .等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且6s5-5S3=5,則a4=.1解析：6S5-5S3=15(a13d)=15a4=a4.37 .設(shè)a1=2,an+=一,bn=免-,neN,則數(shù)列bn的通項公式bn=an1Ian-1|解析：bn1=2bn=bn=42n1=2n1.8 .設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d

14、的等差數(shù)列為的前n項和為Sn,滿足15=0.(1)若S5=5,求&及&；(2)求d的取值范圍.-155410d=5斛析：(1)&=3,%=$6S5=8=a1=7.S5a15d-8(2)&&+15=0=2al2+9da1+10d2+1=0=(4a十9d)2=d2-8>0,d<-22或d.22.另解：看作關(guān)于a1的方程，解之0.9 .已知等差數(shù)列an滿足：a3=7,a5+%=26,an的前n項和為G.(1)求an及Sn；(2)令bn=-2-(nwN*),求數(shù)列0的前n項和Tn.an-1解析：(1)a1=3,d=2=an=2n+1,Sn=n(n+2

15、).1 1bn =4(二1 )，Tn=4(14( n 1)10 .設(shè)數(shù)歹Uan滿足a1+3a2+32a3+3n,an（1）求數(shù)列an的通項;設(shè)bn =-n,求數(shù)列bn的前n項和Sn. an解析：(1) a1 +3a2 +32a3 +IM+3n'an 3'an =（n圭2）.驗證n =1時也滿足上式, 3另解：題設(shè)條件可以看作數(shù)列bn =3nann的刖n項和Sn =,則Sn3n -1(2)bn=n3n,Sn=1 3+232+333+.n3n,-2Sn - 3 32 33 3n - n 3n1-2Sn =n 13-3-n 3n,1 -3僅供個人參考數(shù)列習(xí)題(二)1 .已知各項均為正

16、數(shù)的等比數(shù)列an,aa2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6=()A.5&B.7C.6D,4722 .已知等比數(shù)列Qn中，各項都是正數(shù)，且a1，1a3,2a2成等差數(shù)列，則曳二a0=()2a7a8A.1.2B.1-,2C.322D.3-223 .設(shè)等差數(shù)列6的前n項和為Sn,若a1=11,a4+a6=6,則當(dāng)Sn取最小值時，n等于()A.6B.7C.8D.94 .已知等比數(shù)列an滿足an>0,n=1,2,|,且a5a=22n(n至3),則當(dāng)n至1時，log2a+log2a3+111+log2a2n=()A.n(2n-1)B.(n1)2C.n2D.(n-1)25 .設(shè)等差數(shù)

17、列4的前n項和為Sn,若S9=72,則a2+a4+a§=.6 .等差數(shù)列%的前n項和為Sn,且6S5-5&=5,則a4=.2a+27 .設(shè)a1=2,an+=,bn=,neN,則數(shù)列bn的通項公式bn=.an+1an-18 .設(shè)a1,d為實數(shù)，首項為a1,公差為d的等差數(shù)列為的前n項和為Sn,滿足&&15=0.(1)若S5=5,求0及a1；(2)求d的取值范圍.9 .已知等差數(shù)列an滿足：a3=7,a5+由=26,an的前n項和為Sn.(1)求an及S;(2)令bn=-y(n亡N*),求數(shù)列bj的前n項和Tn.an-1不得用于商業(yè)用途10 .設(shè)數(shù)列an滿足4+3

18、a2+32a3+3n,an=°,anN.3（1）求數(shù)列匕0）的通項；（2）設(shè)3=口，求數(shù)列>的前n項和Sn.an數(shù)列習(xí)題（三）1 .已知數(shù)列an對任意的p,qnN*滿足ap4q=ap,且22=-6,則a10等于（）A.-165B.與3C.40D.-21解析：選C.2 .已知等比數(shù)列an中a2=1,則其前3項的和S3的取值范圍是（）A. -二，-11B(-00,0)U(1*)C.3,8)D.(-°°,-1】口3,也)解析：選D.13 .在數(shù)列4中，a1=2,an+=an十m(1十一)，則an=()nA.2+lnnB.2+(n1)lnnC.2+nlnnD.1+n

19、+lnn解析：選A.4 .已知an是等比數(shù)列，a2=2,a5=1,則a|a2+a2a3+HI+anan41=()4.16(1-2")A2")A.16(1-4”)BC.32(1-4”)D3解析：選C.5.設(shè)an 為公比q >1的等比數(shù)列，若2a2004和a2005是萬程4X -8X+3 = O的兩根,則 a2006 a2007僅供個人參考6 .設(shè)等差數(shù)列劣的前n項和為Sn,若S4之10£E15,則出的最大值為.解析：填4.-s4_1。=a5<57 .已知函數(shù)f(x)=2x,等差數(shù)列an的公差為2,若f(a2+a4+%+a8+a10)=4，則10g2f(a

20、i)葉)f)用f®。)=.解析：填6.8 .等差數(shù)列%的前n項和為ai=1+72,&=9+3衣.(1)求數(shù)列4的通項為與前n項和Sn；一、一S(2)設(shè)bn=(nwN*),求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.nia1=21斛析：(1)$d=2,故an=2n-1+夜，Sn=n(n+v2).3al3d=93.2由(1)得bn=n2.n假設(shè)數(shù)列bn中存在三項bp,bq,br(p,c|,r互不相等)成等比數(shù)列，則b：=bpb,.即(q+V2)2=(p+V2)(r+V2).:P, q, r w N(q2-pr)(2q-p-r)2-0q2 - pr =0,2q - p -

21、r =0,Fp+r：22一e:pr,(p-r)=0,.p=r.與p=r矛盾.所以數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列.9 .設(shè)數(shù)列an)的前n項和為Sn,已知&=a,an+=Sn+3n,n£N.(1)設(shè)bn=Sn3n,求數(shù)列bn的通項公式;(2)若an+an,n=N,求a的取值范圍.解析：(1)依題意，Sn書Sn=國書=6+3n，即Sn+=2Sn+3,僅供個人參考由此得Sn卡3n*=2(Sn3n).bn=s3n=(a3)2n,，nwN*.由知Sn=3n+(a3)2n,，nwN*,當(dāng)n22時，an=Sn-SnA=3n+(a3)M2n3n，(a3)父2T=2w"+

22、(a3)2n；一f3V1an4-an=4M3n'+(a-3)2n/=2212L-+a-3,J當(dāng)n22時，an書Aanu12_(31+a-3>0a>-9.又a2=a+3>&.綜上，所求的a的取值范圍是9,+如).10.設(shè)數(shù)列%的前n項和為Sn,已知b42n=(b1)Sn(1)證明：當(dāng)b=2時，凡nSn是等比數(shù)列；(2)求an的通項公式解析：由題意知a=2,且ban2n=(b1)Sn,ban42n*=(b1)Sn書兩式相減得b(an+an2n=(bT)an+即an1=ban+2n(1)當(dāng)b=2時，由知an+=2an+2n于是an1-n12n=2an2n-n12n=

23、2烝-n2n又a112n,=1#0,所以Qnn，2n是首項為1,公比為2的等比數(shù)歹U。當(dāng)b=2時，由(1)知ann2n4=2n,即an=(n+1)2n'當(dāng)b#2時，由由得an書L2n+=ban+2nL.2n由2-b2-b1因此%-£2=ban2n2 - b=2 bn2 -b2-2b bnn .2得an=1-212-b-數(shù)列習(xí)題(三)1 .已知數(shù)列匕門對任意的p,qnN*滿足ap=ap+4，且a?=-6,則ao等于(A.165B.與3C.40D.-212 .已知等比數(shù)列an中a2=1,則其前3項的和S3的取值范圍是()A 一二，-1 1b(-°0,o)U(1,y)C. 3,二D . ( -°0, -1 U3,收)不得用于商業(yè)用途3 .在數(shù)列®中，a=2,an+=an+ln(1+1),則an=()nA.2+lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnD.1+n+lnn14 .已知an是等比數(shù)列，a2=2,a5=一，則aa2+a2a3+|+anan=()4 3>2)A.16(1-4”)B.16(1-2”)C.32(1.4”)35