數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)通用講義：專題五第三講大題考法——圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題

1、第三講大題考法12'題型(一)最值問題主要考查直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長問題以及最值的求解.圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題典例感悟典例(2017浙江高考)如圖，已知拋物線x2=y，點(diǎn)A2,4IB|3,9i,拋物線上的點(diǎn)P(x,y)1Vx<2/過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍；(2)求|PA|PQ|的最大值.審題定向(一)定知識主要考查直線斜率的范圍、直線與拋物線位置關(guān)系中的最值問題.(二)定能力1 .考查數(shù)學(xué)建模：通過建立目標(biāo)函數(shù)模型求其范圍或最值.2 .考查數(shù)學(xué)運(yùn)算：通過列方程、解不等式求范圍；用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值.(三)定思路第(1)問已知x

2、的范圍，利用斜率公式求解：將AP的斜率表示為關(guān)于x的函數(shù)，利用x的范圍即可求得AP斜率的范圍;第(2)問建立k的目標(biāo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)法求其最值：將|PA|PQ|表示為關(guān)于k的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求最值.解(1)設(shè)直線AP的斜率為k,x2_1k=1=x-x+2131因?yàn)?<x<2,所以1<x2<1,即直線AP斜率的取值范圍是(1,1).(2)設(shè)直線AP的斜率為k.則直線AP的方程為y4=kx+2:i11即kxy+2k+4=0，93因?yàn)橹本€BQ與直線AP垂直，所以可得直線BQ的方程為x+ky4k尹0,"kx-y+1k+1=0,聯(lián)立93c、x+ky4k2=0,-k2+4k+3

3、解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)xq=2式十).因?yàn)閨PA|=q1+k2x+2卜M+k2(k+1),22k-1k+1|PQ|=AJl+k(xQ-x)=-y，k2+1所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=(k1)(k+1)3,21因?yàn)閒(k)=-(4k-2)(k+1)2,令f(k)=0,得k=2或k=1(舍)，所以f(k)在區(qū)間1,2口:單調(diào)遞增，1/單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=2寸，|PA|PQ|取得最大值27.類題通法最值問題的基本解法有幾何法和代數(shù)法(1)幾何法是根據(jù)已知的幾何量之間的相互關(guān)系、平面幾何和解析幾何知識加以解決的(如拋物線上的點(diǎn)到某個(gè)定點(diǎn)和焦點(diǎn)的距離之和、光線反射問題等)；(2)

4、代數(shù)法是建立求解目標(biāo)關(guān)于某個(gè)(或兩個(gè))變量的函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值(普通方法、基本不等式方法、導(dǎo)數(shù)方法等)解決的.對點(diǎn)訓(xùn)練(2018武漢調(diào)研)已知橢圓C:22/£ + y2= 1(a> b>0)經(jīng)過點(diǎn) P11求橢圓C的方程;(2)若直線l： y=x+ m與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn) A, B,求 OAB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).工+需=1a 2b解：(i)由題意，知c c_返a2 = 2,b2=1,=0.a2= b2+ c22所以橢圓C的方程為x2+y2=i.(2)將直線l的方程y=x+ m代入橢圓2C 的方程 x2+y2= 1,整理得 3x2+4mx+ 2(m21)則

5、 A= (4m)224(m21)>0 ,得 m2<3.設(shè) A(x1，yi), B(x2, y2),則 xi+x2= 4mxix2 =2(m2- i所以|AB| =V2 d(xi + x2 2 4xix2= V2 :4m 22 m2- 1二 丁廠4-24 8m2 4又原點(diǎn)O(0,0)到直線AB: x-y+m=0的距離d =|m|所以 Szoab=；|AB| d= x4 22 3|m|223 m因?yàn)?m2(3- m2)<m2+3-m294當(dāng)且僅當(dāng)m2=3m2,即m2=3時(shí)取等號，所以SzoabW#x3=322即4AB面積的最大值為手.題型（二）范圍問題主要考查直線與圓錐曲線的位置

6、關(guān)系、圓錐曲線的幾何性質(zhì)，題中涉及的參數(shù)多與直線方程或圓錐曲線方程相關(guān).典例感悟典例（2018浙江高考）如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)（不含y軸）一點(diǎn)，拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上.（1）設(shè)AB中點(diǎn)為M,證明：PM垂直于y軸；2（2）若P是半橢圓x2+y4=1（x<0）上的動(dòng)點(diǎn)，求PAB面積的取值范圍審題定向（一）定知識主要考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形面積公式、直線與拋物線位置關(guān)系中證明及范圍問題.（二）定能力1 .考查邏輯推理：要證PM垂直y軸，只需證明點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等即可；要求AFAB面積取值范圍，需把面積表示為關(guān)于已知范圍的參數(shù)的函數(shù)2

7、 .考查數(shù)學(xué)運(yùn)算：中點(diǎn)坐標(biāo)的求解、PAB面積的表示及范圍的求解.（三）定思路第（1）問利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、根與系數(shù)關(guān)系求證：設(shè)出點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)，由FA,PB的中點(diǎn)在拋物線上得出兩關(guān)系式，可知點(diǎn)A,B縱坐標(biāo)y1，y2是方程的兩根，由根與系數(shù)關(guān)系可證；第(2)問利用二次函數(shù)的性質(zhì)求范圍：1面積可表本為Szpab=2|PM|lyiy2,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)的關(guān)系式，化為關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)的二次函數(shù)求解.解(1)證明：設(shè)p(xo, yo), A&； yi !,因?yàn)镻A, PB的中點(diǎn)均在拋物線上,所以yi,y2為方程I'y+yo2_4y+x°、2 廠. 2'即y22yoy

8、+8xo y0 = 0的兩個(gè)不同的實(shí)根.所以yi + y2=2yo,因此PM垂直于y軸.(2)由(1)可知yi+ y2= 2y0, |yiy2= 8X0 y2i o o所以 1PMi= 8(yi+y2)-Xo=|yi_y21=2/2(y04xo)因此PAB的面積Sapab=21PM|lyiy2|=342(y04Xo)2.2因?yàn)閄0+y=i(X0<0),所以y04X0=4X2-4X0+4e4,5,所以 PAB面積的取值范圍是類題通法圓錐曲線中的取值范圍問題的5種常用解法利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的

9、核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.對點(diǎn)訓(xùn)練(2018南昌模擬)已知橢圓C：x2+y2=1(a>b>0)的離心率為手，短軸長為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；5(2)設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若koMkoN=;,求原點(diǎn)O到直線l的距離的取值范圍.解：(1)由題知e=：=2b=2,又a2=b2+c2,.b=1,a=2,.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y

10、2=1.4(2)設(shè)M(X1,y1)，N(X2,y2),y=kx+m,聯(lián)立方程，得x2%y2=1，整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m24=0,依題意，A=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,化簡得m2<4k2+1,8km4m4xi+x2=一卜2+，x1x2=卜2十，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x+x2)+m2,若kOMkON=5,則”'=5,即4y1y2=5x1x2,4x1x2422-4kxix2+4km(xi+&)+4m=5x1x2,8km4k2+J+ 4m2=0,04(m2-1)'.(4k25)42-4k

11、mJ即(4k25)(m21)8k2m2+m2(4k2+1)=0,化簡得m2+k2=*原點(diǎn)O到直線l的距離22 m. d2= -21 + k二k24 k1 + k21+41 + k2j又20<屋4，0Md2<8,原點(diǎn)o到直線i的距離的取值范圍是0,27五;題型(三)證明問題主要考查點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的特殊位置關(guān)系以及直線或圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系的證明.典例感悟2典例(2018全國卷I)設(shè)橢圓C:X2+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：/OMA=ZOMB.審題定向(一)

12、定知識主要考查直線的方程、直線與橢圓位置關(guān)系中的證明問題.(二)定能力1 .考查邏輯推理：欲求直線的方程，知一點(diǎn)，需求另一點(diǎn)；欲證角相等，可證對應(yīng)直線斜率和為0.2 .考查數(shù)學(xué)運(yùn)算：直線方程的求解；斜率的表示及斜率之和的化簡.(三)定思路第(1)問利用兩點(diǎn)式求直線的方程：當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x=1,將l的方程與橢圓方程聯(lián)立可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線AM的方程；第(2)問轉(zhuǎn)化為證對應(yīng)直線斜率和為0:當(dāng)l與x軸垂直或l與x軸重合時(shí)，易證.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l：y=k(x1)(kw0),交點(diǎn)A(xi,yi),B(x2,均,則可以聯(lián)立l與C的方程并消去V,把xi+x2,xix2用

13、k表示，利用直線的斜率公式，將證明/OMA=/OMB轉(zhuǎn)化為證明kMA+kMB=0即可.解(1)由已知得F(1,0),l的方程為x=1.則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，呼快,，呼!又M(2,0),所以直線AM的方程為y=亞或y=*x/，即x+V2y2=0或x>/2y2=0.(2)證明：當(dāng)l與x軸重合時(shí)，/OMA=/OMB=0°.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以/OMA=/OMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k(x1)(kw0),A(x1,y1),B(x2,y2),則X1<72,X2<42,直線MA,MB的斜率之和為kMA+kMB=X+己由y1=kx1一k

14、,y2=kx2k,2kx1x23k（X1+X2廿4k得kMA+kMB=3一222）X22將y=k（X1）代入+y=1,得（2k2+1）x24k2X+2k22=0,4k22k2-2所以X1+X2=-2-,X1X2=_2-則2kxX23k（x+X2）+4k4k3-4k-12k3+8k3+4k=2=0.從而kMA+kMB=0,故MA,MB的傾斜角互補(bǔ).所以/OMA=/OMB.綜上，/OMA=/OMB成立.類題通法圓錐曲線證明問題的類型及求解策略（1）圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系，如：某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等；證明直線與圓錐

15、曲線中的一些數(shù)量關(guān)系（相等或不等）.（2）解決證明問題時(shí)，主要根據(jù)直線與圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明.對點(diǎn)訓(xùn)練22（2018成都模擬）已知橢圓X5"+y4=1的右焦點(diǎn)為F,設(shè)直線l：x=5與x軸的交點(diǎn)為E,過點(diǎn)F且斜率為k的直線11與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn).(1)若直線li的傾斜角為:求|AB|的值；(2)設(shè)直線AM交直線l于點(diǎn)N,證明：直線BNH.解：由題意知，F(xiàn)(1,0),E(5,0),M(3,0).(1):直線li的傾斜角為4,k=1.，直線li的方程為y=x1.代入橢圓方程，可彳9

16、9x2-10x15=0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2,y2),則x1+x2=10,x1x2=5.93|AB|=2(x1x254(x1+x2j4x1x2516,54X-=-zf39(2)證明：設(shè)直線l1的方程為y=k(x1).5k220xx2=2.4+5k代入橢圓方程，得(4+5k2)x2-10k2x+5k2-20=0.10k2設(shè)A(x1，y1)，B(x2,y2),則xI+x2=24+5k設(shè)N(5,yo),1.A,M,N三點(diǎn)共線,一y1, kAM = kMN ?即3 一 x1V02y12；1-3e2y1而 y。一 y2=- y2 =x1 32k(x1 一 1 )-k(x2-1)x1 33k(X1

17、+X2Jkx1X25kX1310k25k2-203k,2k,25k4+5k4+5k=0.x13直線BN/x軸,即BNJL.課時(shí)跟檢測A卷大題保分練1. (2018長春*II擬)已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi(1,0), F2(1,0),且經(jīng)過E&3,當(dāng))(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方)，若AF1一=入昭一>,且2W«3,求直線l的斜率k的取值范圍.2a=|EF1|+|EF*ja=2,解：(1)由a2=b2+c；解得<c=1,II廠lc=1,lb=V3,所以橢圓C的方程為、+5=1.43(2)由題意得直線l的方程為y

18、=k(x+1)(k>0),聯(lián)立方程y= k(x+ 1 )22x y / 7+3 =1,整理得根+4/2 6y9= 0,144= -T2-+ 144>0, k一6ktA(X1, y1)，B(x2, y2),則 y+y2=2,3+ 4k-9k2yy2=2,3+4k又AF1>=入1B>,所以y1=入2,所以V3 =-22,入)(1寸414則=37；?"丁2=黑6因?yàn)?<K3,所以卜計(jì)1-2<4,2人3即1w42<4,且k>0,解得0<kw*.23+4k32故直線l的斜率k的取值范圍是o,當(dāng)1222.(2018陜西模擬)已知橢圓上+卜=1

19、(2可>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2,由M(-a,abb),N(a,b),F2和F1這4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)高為小，面積為3m的等腰梯形.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)F1的直線和橢圓交于A,B兩點(diǎn)，求F2AB面積的最大值.2a+2c解：(1)由已知條件，得b二串,且一2X43=3/3,-a+c=3.22又a2-c2=3,.a=2,c=1,橢圓的方程為/y3=1.(2)顯然直線的斜率不能為0,設(shè)直線的方程為x=my1,A(xi,yi),B(x2,y2).x2y?聯(lián)立方程443消去x得，(3m2+4)y2-6my-9=0.x=my1, .直線過橢圓內(nèi)的點(diǎn)，無論m為何值，直線和橢圓總相交.yi

20、+y2=6m-,yiy2=3m2+493m2+4._.1 S在2AB=2|F1F2|y1y21=|y1y2|m2+13m2+421221，""3+9m2+1令t=m2+1>1,設(shè)f(t)=t+9t，易知te”,3M,函數(shù)f(t)單調(diào)遞減，teg,+8,；時(shí)，函數(shù)f(t)單調(diào)遞增， t=m2+1=1,即m=。時(shí)，f(t)取得最小值，f(t)min=10,此時(shí)SAF2AB取得最大值93.3.(2018鄭州模擬)已知圓C:x2+y2+2x2y+1=0和拋物線E:y2=2px(p>0),圓心C到拋物線焦點(diǎn)F的距離為折.(1)求拋物線E的方程；(2)不過原點(diǎn)。的動(dòng)直線l交

21、拋物線于A,B兩點(diǎn)，且滿足OALOB,設(shè)點(diǎn)M為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到直線l的距離最大時(shí)的直線l的方程.解：(1)x2+y2+2x2y+1=0可化為(x+1)2+(y1)2=1,則圓心C的坐標(biāo)為(一1,1).Fp,0).-1CF|=1)+(0-12=717,解得p=6.拋物線E的方程為y2=12x.(2)顯然直線l的斜率非零，設(shè)直線l的方程為x=my+t(tw。)，A(x1,y1),B(x2,y2).y2=12x,由5得y2-12my-12t=0,x=my+t,A=(12m)2+48t=48(3m2+t)>0,y1+y2=12m,y1y2=12t,由OAJOB,得OAOB=0,-x1x

22、2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+12=0,整理可得t212t=0,two,.=12,滿足A>0,符合題意.，直線l的方程為x=my+12,故直線l過定點(diǎn)P(12,0).當(dāng)CPJ,即線段MP經(jīng)過圓心C(1,1)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M到動(dòng)直線l的距離取得最大值，1一011此時(shí)kC吁二;=一而，得m=而，1一此時(shí)直線l的萬程為x=彳3丫+12,即13xy156=0.224. (2018全國卷出)已知斜率為k的直線l與橢圓C:x4+y3=1交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0).、r1(1)證明：k<2；(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且譚+&

23、quot;FA+畝=0.證明：PFA|,|尚|,|畝成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.證明:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),2222x1y1x2y2則7+t=1.兩式相減，并由="導(dǎo)唱k=0.x1-x243X1+X2yi+y23由題設(shè)知一2=i，-2=m,于是卜=一赤.一-3.1由題設(shè)得0<m<5,故k<一萬.(2)由題意得F(1,0),設(shè)P(X3,y3),則(X31,y3)+(xi1,yi)+(x21,y2)=(0,0).由(1)及題設(shè)得X3=3(X1+X2)=1,y3=一(y1+y2)=-2m<0.3又點(diǎn)P在C上，所以m=,從而p-1)百尸3,于是

24、|FA|=4巾_12+y2=N(X1Tj+3,_j=25.同理|"FB|=212.所以|*A|+|畝|=4-2(X1+X2)=3.故2|苗|=|-FA|+|畝|,一即|FA|,|FP|,|FB成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列的公差為d,則21d|=|同|言|=1|X1-X2|=2v(X1+X224X1X2.3一將m=3代入得k=-1,所以l的方程為y=-x+7，代入C的方程，并整理得7x214x+4=0.故Xi+X2=2,XiX2=1，代入解得|d|=3爐.2828所以該數(shù)列的公差為噌或一嗜.2828深化提能練1. (2018膠州模擬)已知橢圓:a?+y2= 1(a>b>0且a, b

25、2均為整數(shù))過點(diǎn)22,呼；,且右頂點(diǎn)到直線l:x=4的距離為2.(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線11,12,li與橢圓交于點(diǎn)A,B,12與橢圓交于點(diǎn)C,D.求四邊形ACBD面積的最小值.解：(1)由題意，得壬+9=1,且|4a|=2,若a=2,則b2=3;若a=6,則b2=27(舍a2b17去)，所以橢圓的方程為x2+4=1.43(2)由(1)知，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0).當(dāng)11, 12中有一條直線的斜率不存在時(shí)，可得AB|=4, |CD|=3 或者 |AB|=3, |CD| = 4,一一一_1一一此時(shí)四邊形ACBD的面積S=2X4X3=6.當(dāng)11,12的斜率均存在

26、時(shí)，設(shè)直線11的斜率為k,則kw。，且直線12的斜率為一1.k直線11：y=k(x1),12：y=k(x1).彳#(3 + 4k2)x2- 8k2x+ 4k2-12=0.y=k(x1)聯(lián)立彳x2+yf=1,43212(k2+1)3+4k2.112fk2+11以1代替k,得CD|=一k4+3k21所以四邊形ACBD的面積S=11|AB|CD|72(k2+1f、72(k2+1272(k2+12288(3+4kj4+3k)i(3+4ky-(4+3k)127k+1)249''Il2：Il2當(dāng)且僅當(dāng)k2=1,即k=±1時(shí)等號成立.由于皆<6，所以四邊形ACBD面積的最小值

27、為288.22222.設(shè)橢圓C:X2+y2=1(a>b>0),定義橢圓C的“相關(guān)圓”方程為xUy'-a.若拋abab物線y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形.(1)求橢圓C的方程和“相關(guān)圓”E的方程；(2)過“相關(guān)圓”E上任意一點(diǎn)P作“相關(guān)圓”E的切線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).證明：/AOB為定值.解：(1)因?yàn)閽佄锞€y2=4x的焦點(diǎn)(1,0)與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，所以c=1.又橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，所以b=c=1,2故橢圓C的方程為*+y2=1,“相關(guān)圓”E的方程為x2+y2=2

28、.3(2)證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線AB的方程為x=W，A噂,普J(rèn),B停,*)，則"=2當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y=kx+m,聯(lián)立Sx22得x2+2(kx+m)2=2,即(1+2k2)x2+4kmx+2m22=0,2+y=1A=16k2m24(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2m2+1)>0,即2k2m2+1>0,4kmX1+X2=2,1+2k2m2-2X1X2=2.1+2k因?yàn)橹本€l與1+ k2 m所以黑一 :4 + k2“相關(guān)圓” E相切,所以 X1X2+ y1y2= (1 + k2)X1X2+ km

29、(x1 + X2)+ m2 =C + jpm22)空_ 21 + 2k2m222+ m1 + 2k3m2-2k2-22= 0 ,1 + 2k所以 OA _LC)B ,所以/AOB=j.-TT .綜上，/AOB = 2,為定值.3.已知橢圓 C：?+ 2=1何2>1）的離心率為a b堂，其右焦點(diǎn)到直線2aX+by 42=0的距離為-2.3求橢圓Ci的方程;(2)過點(diǎn)P 0,3，的直線l交橢圓C1于A,B兩點(diǎn).證明：以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn).解：（1）由題意，e= c=" a 2a2 b2a2=2b2.所以a=啦b, c= b.|2acV2| 亞4a2+b23a>b> 1,所以b=1a2=2,故橢圓Ci的方程為222+y2=1.即3m2=2+2k2（2）證明：當(dāng)ABk軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為X2+y2=1.當(dāng)ABU軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為X2+y+3j2=16,卜2+y2=1,x=0,"鴻；甘，可得yj由此可知，若以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)必為Q(0,1).下證Q(0,1)符合題意.1當(dāng)AB不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)