數(shù)學(xué)建模作業(yè)8牙膏銷售量模型

1、佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院上機(jī)報(bào)告課程名稱數(shù)學(xué)建模上機(jī)項(xiàng)目牙膏銷售量模型專業(yè)班級(jí)姓名學(xué)號(hào)一、問(wèn)題提出根據(jù)牙膏銷售量與價(jià)格、廣告費(fèi)等表格1中的數(shù)據(jù)，建立三個(gè)模型，要求：1）畫出散點(diǎn)圖：y對(duì)x1的散點(diǎn)圖1;y對(duì)x2的散點(diǎn)圖2；2）確定回歸模型系數(shù)，求解出教程中模型（3）;3）對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，確定回歸模型系數(shù)，求解出教程中模型（5）;4）對(duì)模型進(jìn)一步改進(jìn)，求解出教程中模型（10）。二、問(wèn)題分析由于牙膏是生活必需品，對(duì)大多數(shù)顧客來(lái)說(shuō)，在購(gòu)買同類產(chǎn)品的牙膏時(shí)更多地會(huì)在意不同品牌之間的價(jià)格差異，而不是它們的價(jià)格本身。因此，在研究各個(gè)因素對(duì)銷售量的影響時(shí)，用價(jià)格差代替公司銷售價(jià)格和其他廠家平均價(jià)格更為合適。三、模型假

2、設(shè)記牙膏銷售量為y,其他廠家平均價(jià)格和公司銷售價(jià)格之差（價(jià)格差）為x1,公司投入的廣告費(fèi)用為X2,其他廠家平均價(jià)格和公司銷售價(jià)格分別為X3和X4,X1X3X4?；谏厦娴姆治?，我們僅利用*1和*2來(lái)建立y的預(yù)測(cè)模型。四、模型建立（顯示模型函數(shù)的構(gòu)造過(guò)程）1）、為了大致地分析y與X1和X2的關(guān)系，首先利用表1的數(shù)據(jù)分別作出y對(duì)X1和X2的散點(diǎn)圖。建立程序如下：y=;x1=00;x2=;a=polyfit（x1,y,1）;y1=polyval（a,x1）;b=polyfit（x2,y,2）;x3二:;y2=polyval（b,x3）;subplot（2,1,1）;plot（x1,y,'*&

3、#39;,x1,y1,'b'）;title（'i?1y?x1心？60心？;i?subplot(2,1,2);plot(x2,y,'o',x3,y2,'b');title('i?2y?x2心？60心？i?Ldilji-'.d.L-/.IL.'.Zli1除E*Tfcfl&CMTeals僅MugWkMaiMdp:1H卡。廣43用刎.國(guó)門*111的士l-lUA弓53-心_+iut虎/QT-產(chǎn)【；.WI.5Ls.sf7.5(1*.3ra.：EIVsTr7,IClOaTsriT«.N一-也褥S.tTv'

4、;ii.M大齡一靠l,EM50一一訴B.JF-.6793.10一：-i-0.U50.259,600(1.H0.2«0J，Q巧-0.15150品0.10«,舊Q加0,»0.50QM-MSIOST.M!QkL01網(wǎng)L/的嶼M55：3-iMS.6fl6.75;上前7,i»L和(：5區(qū)西6.訪t.0C&網(wǎng)8.渭'Or也即4.»7,Jd7.»R詞隊(duì)再禮收&&Q:.t»*R*&M削85.：5氏加機(jī)國(guó)】t-rrijlit位1«h1);$-ylselyvalIil工LI-樂(lè)*1口就1HzpR

5、多；7-$5.時(shí)岸際西，I-y3=p&lyviifatx05-7!1如二61/?口I0皿國(guó)1.1了/1«pULih甘：ErLE5rl壯百用二圈1:LE-snlplrtC,1,21plut'i2Pt,'：產(chǎn)工fLb"：tL.-Tle-fc：F；:成匚取三封從圖1可以發(fā)現(xiàn)，隨著Xi的增加，y的值有比較明顯的線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，圖中的直線是用線性模型y01X1擬合的（其中是隨機(jī)變量）。而在圖2中，當(dāng)x2增大時(shí)，y有向上彎曲增加的趨勢(shì)，圖中的曲線是用二次函數(shù)模型2y01X22X2（2）擬合的。綜合上面的分析，結(jié)合模型（1）和（2）建立如下的回歸模型y01X12X2

6、3X22（3）式右漏Xi和X2稱為回歸變量（自變量），0iXi2X23X2是給定價(jià)差Xi,廣告費(fèi)用X2時(shí)，牙膏銷售量y的平均值，其中的參數(shù)0,1,2,3稱為回歸系數(shù)，由表1的數(shù)據(jù)估計(jì)，影響y的其他因素作用都包含在隨機(jī)誤差中。如果模型選擇合適，應(yīng)該大致服從均值為0的正態(tài)分布。五、模型求解（顯示模型的求解方法、步驟及運(yùn)算程序、結(jié)果）2）、確定回歸模型系數(shù)，求解出教程中模型（3）:建立程序如下：x1=00'x2='；X=ones（30,1）x1x2x2.a2;丫二'；b,bint,r,rint,stats=regress（Y,X）;b,bint,stats-1.-t£

7、;r-.Zoinent:.'DL守-：=ReEdi'esiGoCdlTocLDet.。皿加力nckw信盾=產(chǎn)“千丁*/更Q.TT二0,加。/5工嶼山30rL5QT04Q糜4看一m加011Qa痛口看T好口I咻口囿"：J-心樂(lè)EliTSL辦工51£75區(qū)25工特V£國(guó)玩第；3k班工丁1門：$FtQJfi.50M：E亂工".同T.Ki,1D6,即丁珅1可£加員用.卜-klwH期口打亡也44 -尼弘LSI9.52：.5O9.BL3L'57.K7.1DS.017,H1LSHlAl.SI.SOI.379,遞興心t.痔7.KLA57,

8、E71M111肥力1577.ff?.83St然T；5 -也bzirt,.ijE,st-3tJ=regreEE£Ti-Egt；1M玳5結(jié)果如下:b=bint=«MATLAB710.0>E31,Adt-fIpD|£,l|必4caffEr-rfi-i-cc41bo-A.idlELUIEi'G1-IM1*O*K_rj|-uiirirg&MnvlF口Id#tnk01r1rv'km-Hn-cJ-VVhriiJlcjiHWiI4MATiLABk*>3-8iSJ*w1口lATTLAfiPWat'GhthiaVidatQ.口TkQBi.a

9、rrt-tinaI1Z立面cL1ufl,L日IXtl.FBI也17-3244La3a?aSBQQo.s-asetl.3JTT."E：O.72S2B2O0C.6S29i_SJlL-?a或0.li07?C.O3TBO.G5S<a*btn-OLnCIHdB4OAOuQDQDDOIRO表2模型（3）的計(jì)算結(jié)果參數(shù)參數(shù)倩計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間0,1,2口3口R2=F=p<s2=結(jié)果分析：表2顯示，R2=指因變量y（銷售量）的%!由模型確定，F(xiàn)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)F檢驗(yàn)的臨界值，p遠(yuǎn)小于，因而模型（3）從整體來(lái)看是可用的。表2的回歸系數(shù)給出了模型（3）中0,1,2,3的估計(jì)值，即017.3244,1

10、1.3070,23.6956,30.3486。檢查他們的置信區(qū)間發(fā)現(xiàn)，只有2的置信區(qū)間包含零點(diǎn)（但區(qū)間右端點(diǎn)距零點(diǎn)很近），表明回歸變量X2（對(duì)因變量y的影響）不是太顯著，但由于X22是顯著的，我們?nèi)詫⒆兞縓2保留在模型中。六、模型改進(jìn)3）對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，確定回歸模型系數(shù)，求解出教程中模型（5）:模型（3）中回歸變量”和*2對(duì)因變量y的影響是相互獨(dú)立的，即牙膏銷售量y的均值與廣告費(fèi)用X2的二次關(guān)系由回歸系數(shù)2和3確定，而不依賴于價(jià)格差Xi,同樣，y的均值與Xi的線性關(guān)系由回歸系數(shù)1確定，而不依賴于x2。根據(jù)直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)可以猜想，X1和x2之間的交互作用會(huì)對(duì)y有影響，不妨簡(jiǎn)單地用Xi,X2的乘積代表

11、它們的相互作用，于是將模型（3）增加一項(xiàng)，得到2,、y01X12X23X24X1X2（5）在這個(gè)模型中，y的均值與X2的二次關(guān)系為（24Xi）X23X2,由系數(shù)2,3,4確定，并依賴于價(jià)格X1o建立程序如下：x1=00'X2='；X=ones（30,1）Xix2x2.a2x1.*x2;丫二'；b,bint,r,rint,stats=regress（Y,X）;b,bint,statshieFertG口SIloc吐Leb.Desklup:*自。3修篇*Jtb后修中割皿e，二|我田m-日田-ug.+口1t嗯黨戈：-I=-OSKa.253.EDDHL2541.ZB0行kU50.

12、150,比ELQLMC.J5D.3DJ33<.900.50O.iD-fl.05-QLD5F,2Q,2D1.ID（LSDO.GDTL噴0.D5H.55rZ-造胤加良怎L255l5I7aM反狗民語(yǔ):5.®L25上的6.25T.Qfl出找LIO曲網(wǎng)7.1iMDt.11.50L25&LMLIQ乳魏民用顯忑*J-I-IctieflS）,t!rJB-2ail.*i2J:4-業(yè)【工兆LflLLI2:馴9.J3B.第工小：.&：LL«LJfl工制民網(wǎng)工鼾亂第1049.Tb:.郎工狷7.27MM氏國(guó)比飛12L12：?：.好凱瞿了：1.bjKuilaJi:inwtnXI）

13、I-tMEJ結(jié)果如下：b=bint=一.H_J|JC4/ehM|"niT<tit«,1wBipAilI.11-wI-仁ujDCtkolLp.a-15RUE*Jqtmrr-hbrwdr白nwi,<*ALAi3o-EZ.iv*IjdATLA.Q>S/，工片1Hid71a_-_一0*E.d憶.更J*i-_j，3iT.cl|n-muiHutrri11.'|uk-E¥后：rvF.Lin,nBiffLJ!S3.mN%ii”11.1n4N-T.f耳力O.ST1N口I.477733.TC134.»=!&77S20.i土占e聲三n且彳，0

14、<S.1.osa7s.noina_1asi?噸,井4.U14073.7771CP.QUQU2表3模型（5）的計(jì)算結(jié)果表3與表2的結(jié)果相比,一2R2有所提高，說(shuō)明模型（5）比模型（3）有所進(jìn)步。并且，所有參數(shù)的置信區(qū)間，特別是 X1,x2的交互作用項(xiàng)x1x2的系數(shù)4的置信區(qū)間不包含零點(diǎn)，所以有理由相信模型（5）比模型（3）更符合實(shí)際。參爹參數(shù)倩計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間0,1,2,3,4,-22R=0.9209F=p<s=4）對(duì)模型進(jìn)一步改進(jìn)，求解出教程中模型（10）模型的進(jìn)一步改進(jìn)如下：完全二次多項(xiàng)式模型：與X1和x2的完全二次多項(xiàng)式模型2y 01X13X1X24x125x2(10)2相比，模型（5）只少X2項(xiàng)，我們不妨增加這一項(xiàng),建立模型（10）。這樣做的好處之一是MATELAB統(tǒng)計(jì)工具箱中有直接的命令rstool求解，并且以交互式畫面給出y的估計(jì)值y和預(yù)測(cè)區(qū)間。建立程序如下：x1=00'x2='；y='x=x1,x2;rstool(x,y,'quadratic')結(jié)果如下:E，.Stack:Ba與eT1?Ncvlidplotsforb