緩沖算子、函數(shù)變換

1、 西華師范大學(xué)西華師范大學(xué) 灰色系統(tǒng)研究所灰色系統(tǒng)研究所 在建模過(guò)程中往往先通過(guò)看級(jí)比、級(jí)必偏差、光滑比來(lái)判斷能否建模，若不能再選擇恰當(dāng)算子或變換處理后再看能否建模定義3.1.1 設(shè)序列X=(x(1), x(2), ,x(n),我們分別稱()()(),()| 1|(1)(1)xkxkkkxkxk為序列的級(jí)比(stepwise ratio).級(jí)比偏差(stepwise ratio dispersion). 序列的級(jí)比偏差 更合理，因?yàn)樵瓉?lái)只適應(yīng)單調(diào)性相同時(shí)的比較，單調(diào)性相反時(shí)，不行。3.1 級(jí)比與光滑比(Stepwise and Smooth Ratios)()|(1)(1)()|()x kkx

2、 kx kx k 定義3.1.1 設(shè)序列X=(x(1), x(2), ,x(n),我們稱1( 0 )()11()()()( )()(1)kixkx ikkxxk即為序列的光滑比(smooth ratio).3.1 級(jí)比與光滑比(Stepwise and Smooth Ratios)定義定義3.1.2 (傳統(tǒng)定義)若序列X滿足(1)(1()()kkk即123 0.5 則稱X為準(zhǔn)光滑序列(quasi-smooth sequence)., 0)(k1(1)(0)1(1)( )kixkxi稱 為一 次 累 加 (同 理 二 次 累 加 ,.)新定義新定義: 相對(duì)低增長(zhǎng)序列的光滑性相對(duì)低增長(zhǎng)序列的光滑性

3、(系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐09年年8期期)(魏勇魏勇) 相對(duì)于齊次指數(shù)序列的光滑性相對(duì)于齊次指數(shù)序列的光滑性(Kybernite09年年8期期) 相對(duì)于非齊次指數(shù)序列的光滑性相對(duì)于非齊次指數(shù)序列的光滑性(美國(guó)會(huì)議美國(guó)會(huì)議09年年10月月) 比較原則: 光滑序列小好，級(jí)比接近1好， 級(jí)比偏差接近0好就相對(duì)于低增長(zhǎng)序列的光滑性而言比較原則就相對(duì)于低增長(zhǎng)序列的光滑性而言比較原則:X比比Y好分三種情況好分三種情況單增之間單增之間 單減之間單減之間 一增一減一增一減 也是統(tǒng)一形式也是統(tǒng)一形式The Jornal of Grey System07年年1、3期，期，08年年1、4期。期。1111

4、11111()1()11/11()(),/( )( )1( )( )kkikiikixxkykkykkxkkxiiiyyi即1111()()( )11(kkiiykxkyx ikiy1111111111111( )( )( )( )|/| |/|( )( )( )111( )kkkkiiiikkkx kx ky ky kx ix iy iy ik1111( )( )/( )( )11111kkiiy kxkkyikix即 定理3.1.1 X為齊次指數(shù)序列的充分必要條件是,對(duì)于k=1,2, ,n,恒有(k)=const成立. 定義3.1.2 設(shè)序列X=(x(1), x(2), ,x(n),若 則

5、稱序列X具有負(fù)(降）的灰指數(shù)規(guī)律 則稱序列X具有正(升）的灰指數(shù)規(guī)律 則稱序列X具有絕對(duì)灰度為的灰指數(shù)規(guī)律(級(jí)比的絕對(duì)寬度) 0則稱X 為單調(diào)增長(zhǎng)序列;1中反向不等號(hào)成立,則稱X 為單調(diào)衰減序列;存在k,k1 ,有 x(k)-x(k-1)0 x(k1)-x(k1-1)0則稱X為振蕩序列.設(shè) M=maxx(k)|k=1,2, ,n,m=minx(k)|k=1,2, ,n1 稱M-m 為序列X 的振幅.單調(diào)序列也有振幅（與物理振幅的區(qū)別。自由擺動(dòng)時(shí)振幅的大小決定了振動(dòng)的劇烈程度，用總變差或?qū)?yīng)時(shí)刻的瞬時(shí)變差來(lái)刻劃但外力強(qiáng)制振動(dòng)則不然，往返的頻率則是一個(gè)重要指標(biāo)。定義3.2.2 設(shè)為系統(tǒng)真實(shí)行為序列

6、,而觀測(cè)到的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為其中為沖擊擾動(dòng)項(xiàng),則稱X為沖擊擾動(dòng)序列.要從沖擊擾動(dòng)序列X出發(fā)實(shí)現(xiàn)對(duì)真實(shí)行為序列X(0)的系統(tǒng)之變化規(guī)律的正確把握和認(rèn)識(shí),必須首先跨越障礙 .如果不事先排除干擾,而用失真的數(shù)據(jù)X 直接建模、預(yù)測(cè)，則會(huì)因模型所描述的并非由X(0) 所反映的系統(tǒng)真實(shí)變化規(guī)律而導(dǎo)致預(yù)測(cè)的失敗。)(,),2 (),1 () 0() 0() 0() 0(nxxxX (0)(0)(0)12(0)12( (1), (2), , ( )(1),(2), ,( ) ( ,.,)nnXxxx nxxxnX 這里排除方法:用緩沖算子處理數(shù)據(jù)后建模公理公理3.2.1(不動(dòng)點(diǎn)公理不動(dòng)點(diǎn)公理, Axiom

7、of Fixed Points) 設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列,D為序列算子, 則D滿足 x(n)d=x(n)(因新信息優(yōu)先原理)公理公理3.2.2(信息充分利用公理信息充分利用公理, Axiom on Suffi- cient Usage of Information)系統(tǒng)行為數(shù) 據(jù)序列X中的每一個(gè)數(shù)據(jù) x(k),k=1,2, ,n,都應(yīng)充分參與算子作用.公理公理3.2.3(解析化、規(guī)范化公理解析化、規(guī)范化公理, Axiom of Ana- lytic Representations) 任意的x(k)d，皆 可由一個(gè)統(tǒng)一的x(1), x(2), ,x(n)的初等 解析式表達(dá)。3.2.2 緩沖算子公

8、理緩沖算子公理(the axioms of buffer operator) 定義3.2.3 設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列,D為作用于X的算子,X經(jīng)過(guò)算子D作用后所得序列記為 XD=(x(1)d,x(2)d, ,x(n)d)稱D為序列算子,稱XD為一階算子作用序列. 序列算子的作用可以進(jìn)行多次,若D1,D2,D3皆為序列算子,我們稱D1D2為二階算子,并稱 XD1D2=(x(1)d1d2, x(2)d1d2 , ,x(n)d1d2)為二階算子作用序列.定義3.2.4 稱上述三個(gè)公理為緩沖算子三公理(three axioms of buffer operators),滿足緩沖算子三公理的序列算子,稱為

9、緩沖算子,一階、二階、 緩沖算子作用后的序列稱為一階、二階、 緩沖序列(buffer sequences)。定義3.2.5 設(shè)X為原始數(shù)據(jù)序列,D為緩沖算子,當(dāng)X分別為增長(zhǎng)序列,衰減序列或振蕩序列時(shí): 若緩沖序列XD比原始序列X的增長(zhǎng)速度(或衰減速度)減緩或振幅減小,我們稱緩沖算子D為弱化算子;(是各瞬時(shí)速度還是僅平均速度?有歧義!)1 若緩沖序列XD比原始序列X的增長(zhǎng)速度(或衰減速度)加快或振幅增大,則稱緩沖算子D為強(qiáng)化算子. 定理3.2.1 設(shè)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列,XD為其緩沖序列,則有 D為弱化算子x(k)x(k)d k=1,2，n(縮小差別) D為強(qiáng)化算子x(k) x(k)d k=1,2，

10、n(擴(kuò)大差別) 直觀意義:最左、最高點(diǎn)沒(méi)有變,其他點(diǎn)被抬高 問(wèn)題: 抬得太高，改變了增減趨勢(shì)，預(yù)測(cè)無(wú)效 彌補(bǔ)辦法：王正新論文系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐 定理3.2.2 設(shè)X為單調(diào)衰減序列,XD為其緩沖序列,則有 D為弱化算子x(k) x(k)d (縮小差別)1 D為強(qiáng)化算子x(k) x(k)d (擴(kuò)大差別)3.2.3 緩沖算子的性質(zhì)緩沖算子的性質(zhì)定理3.2.3 設(shè)X為振蕩序列,XD為其緩沖序列,則有 D為弱化算子(大變小, 小變大) maxx(k)maxx(k)d min x(k)minx(k)d (縮小差別) 2 D為強(qiáng)化算子(大變大,小變小) maxx(k) maxx(k)d1 min x(k)

11、minx(k)d (擴(kuò)大差別)3.2.3 緩沖算子的性質(zhì)緩沖算子的性質(zhì) 問(wèn)題:以整體振幅變小為標(biāo)志，可能出現(xiàn)局部變化幅度增大的情形，注意實(shí)變函數(shù)論全變差思想，并應(yīng)用此思維方法改造緩沖算子定義3.2.3 緩沖算子的性質(zhì)（續(xù)）緩沖算子的性質(zhì)（續(xù)）12( ( )(2)( ( )(3)( ( )( )( )( (1)(2)( (1)(3)( (1)( )( ( )(1)( ( )(3)( ( )( ) ( (2)(1)( (2)(3)( (2)( )( ( )(1)( ( )(2)( ( ) +x kxx kxx kx nx k dyxxxxxx nx kxx kxx kx nyxxxxxx nx k

12、xx kxx k1(1)( ( )(1)( ( )(2)( ( )(1) ( )( )= ( )( )nnnikjnjijx nyx nxx nxx nx nx kx iyx jx i存在緩沖算子：存在緩沖算子：( )kyx k d滿足ky對(duì)任意即緩沖算子除即緩沖算子除x(n)d=x(n)以外其余可以隨可以隨心所欲規(guī)定！仍然滿足公理心所欲規(guī)定！仍然滿足公理2)、3）3.3.2 實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造舉例實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造舉例定理3.3.2 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列X=(x(1),x(2), ,x(n),令XD=(x(1)d,x(2)d, ,x(n)d) 其中則當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，D

13、皆為弱化算子(weakening operator).推論3.2.1 對(duì)于定理3.3.2中定義的弱化算子D,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2, ,x(n)d2)() 1()(11)(nxkxkxkndkx )() 1()(11)(2dnxdkxdkxkndkx 則D2對(duì)于單調(diào)增長(zhǎng)、單調(diào)衰減或振蕩序列，皆為二階弱化算子。定理3.2.3 設(shè)原始序列和其緩沖序列分別為X=(x(1),x(2), ,x(n)XD=(x(1)d,x(2)d, ,x(n)d)其中x(n)d=x(n) 則當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列或單調(diào)衰減序列時(shí),D皆為強(qiáng)化算子(strengthening operator).（缺點(diǎn)： x(n

14、)d=x(n)不自然）推論3.2.2 設(shè)D為定理3.2.3中定義的強(qiáng)化算子,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2, ,x(n)d2)其中x(n)d2=x(n)d=x(n)則 D2 對(duì)于單調(diào)增長(zhǎng)序列和單調(diào)衰減序列皆為二階強(qiáng)化算子.(在強(qiáng)化基礎(chǔ)上再?gòu)?qiáng)化!)(1)(2)(1)( )( ) (21xxxkkxkxk dk 分 母 剛 好 是 分 子 系 數(shù) 和 )12)() 1() 2 () 1 ()(2 kdkkxdkxdxdxdkx定理定理3.2.4 設(shè)X=(x(1),x(2), ,x(n),令XDi=(x(1)di,x(2)di, ,x(n)di)其中 x(1)d1=x(1), x(1)d2=

15、(+1)x(1) x(n)di=x(n) i=1,2則D1對(duì)單調(diào)增長(zhǎng)序列為強(qiáng)化算子,D2對(duì)單調(diào)衰減序列為強(qiáng)化算子. （缺點(diǎn)： x(n)d=x(n)仍然是不自然）推論3.2.3 對(duì)于定理3.2.4中定義的D1,D2,則 , 分別為單調(diào)增長(zhǎng),單調(diào)衰減序列的二階強(qiáng)化算子.2)() 1()(kxkxdkxi12D22D 現(xiàn)有緩沖算子的類型大部分是各種“平均”類型，在劉思峰教材,黨耀國(guó)、關(guān) 葉青、王正新、謝乃明等人在系統(tǒng)工程、系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐、控制與決策、統(tǒng)計(jì)與決策、中國(guó)管理科學(xué)的文章。 萬(wàn)琴構(gòu)造了近指數(shù)類型緩沖算子在英國(guó)、臺(tái)灣雜志、國(guó)際會(huì)議上發(fā)表 李俊杰、蘇海軍構(gòu)造了某種函數(shù)類型的緩沖算子在國(guó)際會(huì)議

16、上發(fā)表 魏勇構(gòu)造了幾類含參量的緩沖算子,討論強(qiáng)、弱緩沖的數(shù)字特征在控制與決策2010年2期上發(fā)表，如 弱化緩沖算子作用建模預(yù)測(cè)效果好，強(qiáng)化緩沖算子作用建模預(yù)測(cè)效果是否好,說(shuō)不清楚!因?yàn)閿?shù)據(jù)變化更劇烈了!甚至需要用優(yōu)化模型才行!11( )( ) ( )/( )nini kii kx k dx k x kx i21( )( ) ( )/( )nini kii kx k dx k x nx i6( )( ) ( )/()nii kini kx k dx k x nx i5( )( ) ( )/()nii kini kx k dx k x kx i231( )() )()() 1 /()/( )ini

17、ntnntikiikikikxixkxkdxkixkixi 幾個(gè)其它算子 1.級(jí)比生成算子: 概念:級(jí)比 ,光滑比關(guān)系: 級(jí)比生成序列就是用前后級(jí)比來(lái)推測(cè)空缺值的一種方法.(首項(xiàng)用后,末走后門用前,中間項(xiàng)前后折中)( )( )(1)x kkx k11( )( )( )kix kkx i(1)(1)(1()()kkkk2.累加生成算子:3.累減生成算子:(1)(0)( )(1)11( )( ), ( )( )kkrriixkxixkxi( 1)(0)(0)( )( ( 1)( ( 1)( )( )( 1 ), ( )( )( 1 ) 1rrrxk x k x kxk xk xk 3.4.1 傳統(tǒng)

18、數(shù)據(jù)變換傳統(tǒng)數(shù)據(jù)變換 1.對(duì)數(shù)變換對(duì)數(shù)變換 2.開(kāi)方變換開(kāi)方變換 3.平移變換平移變換3.4 數(shù)據(jù)變換數(shù)據(jù)變換3.4.2 論文中出現(xiàn)的新數(shù)據(jù)變換論文中出現(xiàn)的新數(shù)據(jù)變換 1.余弦函數(shù)變換余弦函數(shù)變換 2.正切函數(shù)變換正切函數(shù)變換 3.負(fù)指數(shù)函數(shù)變換負(fù)指數(shù)函數(shù)變換 4.冪函數(shù)變換冪函數(shù)變換 5.中心位似函數(shù)中心位似函數(shù)(序列序列)變換變換(王淑華王淑華) 1(),11,1,nnnniiF abaaa aaaan 其中為壓縮系數(shù)為位似中心3.4 數(shù)據(jù)變換數(shù)據(jù)變換 6.公比單位化序列變換公比單位化序列變換 （黃福勇（黃福勇)( )( ),1sF a sa s dd其中(0)(0)(0)1(0)(0)(

19、0)1(2)(3)( )(1(1)(2)(1)yyyndnyyyn算術(shù)平均）1( 0 )12( 0 )()()(1)nyndy幾 何 平 均1,dd 不合理如果單調(diào)遞減絕對(duì)錯(cuò)誤單調(diào)遞增, 取哪個(gè)值為好 等比時(shí)取公比非等比時(shí)取級(jí)比倒數(shù)的某種平均為好(王淑華)3.4 數(shù)據(jù)變換數(shù)據(jù)變換(提高光滑性、縮小級(jí)比偏差證明方法提高光滑性、縮小級(jí)比偏差證明方法)3.4.3 單增函數(shù)變換單增函數(shù)變換F(x)能縮小數(shù)據(jù)級(jí)比偏差能縮小數(shù)據(jù)級(jí)比偏差 F(x)/x 單減函數(shù)變換單減函數(shù)變換F(x)能縮小數(shù)據(jù)級(jí)比偏差能縮小數(shù)據(jù)級(jí)比偏差 F(x)x 縮小數(shù)據(jù)級(jí)比偏差縮小數(shù)據(jù)級(jí)比偏差提高數(shù)據(jù)光滑度提高數(shù)據(jù)光滑度 (08年全球

20、第七屆控制論大會(huì)年全球第七屆控制論大會(huì),論文集論文集,EI收錄收錄)1( )(1)ln ( )( )1( ) 1( )( )1( ) ln ( ) ( )( )(1),( ) 1,1( )( ) ( )( )1,( )(1), ( )(1)( )()mx kx kx kyxx kx kmmx kyxx kxmx kkkkx kky kx kkx kx ky kxkykky kkk鄧聚龍對(duì)對(duì)數(shù)變換:在大前提下縮小級(jí)比偏差的充分條件是對(duì)方根變換在且大前提下縮小級(jí)比偏差的充分條件是)認(rèn)識(shí)的逐漸深化過(guò)程認(rèn)識(shí)的逐漸深化過(guò)程:對(duì)一些具體結(jié)論不滿意對(duì)一些具體結(jié)論不滿意,如如:3.4 數(shù)據(jù)變換數(shù)據(jù)變換先對(duì)這些

21、具體結(jié)論作適當(dāng)修改先對(duì)這些具體結(jié)論作適當(dāng)修改:( (1), (2),.,( ),( (1), (2),., ( ), ( )=ln ( ) ( ) 1,1,2,.,( )( ),(!(!)1( )0,1,2,.,( )( )( ),1,2,.,( )ln(1l,n( )yxyxyxxxxX nyyyy ny kx kx kknxxxkkx kknkkx ke knkkaaa 對(duì) 理由?)對(duì) 理1)當(dāng)時(shí) 有當(dāng)時(shí) 有2)當(dāng)當(dāng)時(shí) 有由?時(shí),要2lnln1ln1 ln()00(,( )0,1,2,.).,( )( )xyxaxaxxxx aexxx kknkk當(dāng)當(dāng)有當(dāng)時(shí)且僅)e3.4 數(shù)據(jù)變換數(shù)據(jù)變換

22、11( (1), (2),.,( ),( (1), (2),., ( ), ( )=( ) 1( ),1,2,.,( )( ),1( )0,1,2,.,( )( )( )0,1,2,.,( )( ),mmmyxmmyxyxxxxX nyyyy ny kx kx kknkkmx kknkkmx kknkk 1)當(dāng)時(shí) 有 當(dāng)時(shí) 有2)當(dāng)時(shí) 恒有 最后對(duì)這些具體修改結(jié)論作適當(dāng)抽象化、一般化，最后對(duì)這些具體修改結(jié)論作適當(dāng)抽象化、一般化，如當(dāng)如當(dāng)f單調(diào)增時(shí)，縮小序列級(jí)比偏差的充分必要條件探單調(diào)增時(shí)，縮小序列級(jí)比偏差的充分必要條件探詢方法如下詢方法如下:( )()( )( )11()(0 xxFxF aFxFxxaaF aaxx當(dāng)時(shí) ,要()()()()1()0()xxFxFxFaFxxaaFax