數(shù)學(xué)物理方程復(fù)習(xí)提綱

1、數(shù)學(xué)物理方程復(fù)習(xí)提綱(qin,090600)(建議：復(fù)習(xí)鞏固以下知識點(diǎn)+重溫例題和作業(yè)+自主補(bǔ)充復(fù)習(xí)和練習(xí))1 .振動方程的導(dǎo)出，非齊次項(xiàng)的含義。振動方程定解條件的提法(初始條件？，第一、二三類邊值條件？)；2 .熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出，非齊次項(xiàng)的含義。熱傳導(dǎo)方程定解條件的提法(初始條件？，第一、二、三類邊值條件？)；3 .拉普拉斯方程的導(dǎo)出，泊松方程非齊次項(xiàng)的含義。拉普拉斯方程和泊松方程定解條件的提法(第一、二、三類邊值條件？三種邊值問題？)；4 .概念：線性(非線性)偏微分方程概念。定解問題，混合問題，初值問題，邊值問題。Laplace第一邊值問題(狄利克雷問題？)，第二邊值問題(諾伊曼問題？)

2、，適定性，適定的。5 .線性偏微分方程的疊加原理。二元二階線性偏微分方程的一般形式、分類、特征方程、三種類型的標(biāo)準(zhǔn)形式及化為標(biāo)準(zhǔn)形式的方法。6 .a,b上帶權(quán)q(x)>0的正交函數(shù)系，模，傅里葉級數(shù)及其系數(shù)的算法。f(x)在-l,l上的傅里葉級數(shù)f(x)ao八.Gkk 1cosk； x + bk sink-x 削系數(shù)的算一,1 '.法。(ak = ' Jf (x)cosk二x , c、dx?) lf(x)在-l,l的傅里葉級數(shù)a0f(x)7oO一二(ak cosk工(k 1/2)二 xlbk sin(k 1/2”：x的系數(shù)的算法。(ak1 一、=jf (x)cos3至dx

3、?)f(x)在0, l上的傅里葉級數(shù)f (x )ckos的系數(shù)的算 l2 l(為=0 f(x)k二 xcosdx?)(視為偶延拓至Ul0,l上？)f(x)在0, loO的傅里葉級數(shù)f (x) Z bk sink=1)的系數(shù)的算(bk = lf(x)sink二x c、dx?) l2 l(ak 7。f(x)在0,l上的傅里葉級數(shù)f(x)曳+£akcos(k+1/2)7Tx的系數(shù)的算法。2kdi一、(k1/2)二x,c、f(x)cosdx?)l7 .分離變量法可解的問題(u(x,t)在0<x<l上的振動，熱傳導(dǎo)，laplace矩形域邊值?).(齊方非齊方II8 .能熟練求解：基

4、本型(I)(齊邊(分離變量法？)，基本型(II乂齊邊(固有函數(shù)法？)c非齊初齊初K非)齊方非齊方I、文月9 .會解基本形(III),方法是(？)：(I)非齊邊一學(xué)之Et齊邊=(I)+(II)。非)齊初、非齊初10 .記得邊界條件與固有函數(shù)系的對應(yīng)規(guī)律。即(？)：u(0,t)=0,u(l,t)-0,sinnj-x;(n1)二ux(0,t)=0,u(l,t)=0,cosp2x;,1、(n/二u(0,t)=0,ux(l,t)=0,sinx;n二.Ux(0,t)=0,Ux(l,t)=0,cos-px;或?qū)(xX(x)=0,n二2n二X(0)=X(l)=0時，=(-p)2,sin-px;(n-)X(0

5、)=X(l)=0,cos2一x;(n,。)二X(0)-X(l)-0,sinx;X(0)-X(l)=0,cosn-x;11 .會解矩形域上Laplace邊值問題(把一個變量類比為時間t,視為基本形(I)、(II)或廣，u(r,e)=0,0<r<R,(III)?)。會解圓域上Laplace問題(記得U(,),的半通解為.u(R,)=fQ),QOu(r,e)=m+£(ancosne+bnsinne)rn,并用邊值條件計(jì)算系數(shù)即可？)2nd2312 .行波法能解哪類問題？(R,R,R上波動方程？)。14會解utt=a&fW*二，t0)u(x,0)=(x),ut(x,0)(

6、x)(齊次的達(dá)朗貝爾公式法，或非齊次的更一般公式法？)2/dc八到Utt=a(Uxx+Uyy+Uzz),(g<x,y,z<,tA0)15 .缶解5°u(x,y,z,0)=(x,y,z),Ut(x,y,z,0)=(x,y,z)(基爾霍夫公式法，即平均值法？)。Utt-a2(UxxUyy)，(-二x,y：二:,t.0)16 .會解«。u(x,y,0)=(x,y),ut(x,y,0)='-(x,y)(降維法，或泊松公式法？都要會)。17 .傅氏變換定義式及其逆變換的定義式，微分性質(zhì)，卷積，卷積定理。拉氏變換定義式，求拉氏逆變換的留數(shù)法，微分性質(zhì)，延遲性質(zhì)，卷積

7、，卷積定理，記得常用的一些結(jié)果例如Leat等。s-a18 .積分變換法可解哪類問題？如何選擇變換類型。(三種類型變量取值于(0,+")或(-/,+=)的無界區(qū)域？某變量取值于(0,+9)且該變量有足夠的初值則可關(guān)于該變量作拉氏變換，關(guān)于取值于S)的變量可作傅氏變換？)19 .會用積分變換法求解類似課本例題和習(xí)題的定解問題。20 .格林函數(shù)法能解哪種類型的問題？(Laplace方程和泊松方程第一邊值問題？)21 .三(二)維Laplace方程的基本解和球(圓)對稱解。格林第一、二公式。三維調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式。22 .調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)(無流出？平均值公式？極值原理？)。諾伊曼問題有解的必

8、要條件及其證明，狄利克雷問題解的唯一性及其證明。(用無流出？極值原理？)323 .區(qū)域R上的格林函數(shù)。1(G(M,M0)=-v,?,由狄利克雷問題解的唯一性可知其唯一？)。4二rMM0u=0in1狄利克雷問題uu的解是唯一的(？)，可表示為？u|：=f(x,y,z)：G(U(M0)=-JJuTds?)nuu=0,in23.如何求解狄利克雷問題？u產(chǎn)f(x,y,z)L'u=0,in(1)找特殊狄利克雷問題1,1的解;uL=：4二MM°(2)U(Mo)=-nf(x,y,z)Gds,G(M,M0)=-v,?：:n4二mm024 .若求得了某區(qū)域上的格林函數(shù)(唯一？)，則上的一切La

9、place方程和泊松方程的第一邊值問題都有解(唯一？)且可表示出來？如何表示？<"u=F(X,y,Z),inC的解為U(M0)=-Hf(x,y,z)等ds-HFGdC,?u|=f(x,y,z);n二;25 .點(diǎn)置一單位正電荷所產(chǎn)生的電位函數(shù)是什么？1(?)。4二MM026 .半空間zA0的格林函數(shù)是什么？如何求得？,1,11、(G(M,M0)=()?,鏡像對稱靜電法？)4；TrMM0rMM127 .球域的格林函數(shù)是什么？，如何求得？11R1R(G(M,M0)=(-)?球面對稱靜電法？待te系數(shù)求得q=一?).4rMM0r0rMM1r0ooou=0,inJ28 .球域C=M(x,

10、y,z)|x2+y2+z2<R2上狄利克雷問題«的通解是什u|=f(x,y,z)么？(u(M。)=0 f(R，)22R 0(R2 r02 -2Rr0cos )3/2sind8d§ ?,泊松公式？其中F(R) =0,|F(0)卜：二cos'-(sin%cos0,sin/sin0,cos%)(sincos,sinsin,cosD?)29 .會用試探法求解一些簡單的Laplace方程第一、二邊值問題(例如課本例題習(xí)題)。30 .會用試探法求解一些簡單的泊松方程第一邊值問題(例如課本例題習(xí)題)。方法是？(用試探法找泊松方程的一個特解，轉(zhuǎn)化為Laplace方程第一邊值問

11、題(即狄利克雷問題)注：泊松方程第一邊值問題的解是唯一的(如何證？)，故只要求得一個解便是全部解)30邊界條件是常數(shù)的Laplace方程第一邊值問題(即狄利克雷問題)的解是什么？為什么?(極值原理？)31 .求解柱形(或圓形)域上的物理問題常歸結(jié)為求解什么樣的固有值問題？r2F (r) rF ( 1 r2 -n2)F =0(0 一 r :二 R) (1)n為(實(shí))常數(shù)，入為待定固有值)32 .n階Bessel方程？(1)?)33 .(1)如何化為x2y(X)xy(2x2n)=y0(?3)= r,F(r) = F(=y(x)?)34 .(3)的通解？(n#整數(shù)，y(x)=AJnX力BJx()n=

12、整數(shù)，y(x)=AJnx)BYx("？)n為實(shí)數(shù)，y(x)=AJnx)BY_nx().)35 .有哪幾類Bessel函數(shù)？其定義？性質(zhì)(對稱性，基本遞推式，圖象，漸近性，零點(diǎn))？X、v-2m()(定義：為實(shí)數(shù)，階第一類Jv(x)=£(-1)m2,階第二類mz0m!-(vm1)Yv=Jv(x)cos-J(x)(v為整數(shù)時取連續(xù)化值，即取而YJ.sinvv性質(zhì)：1)對稱性：n偶偶n奇奇，Jn(x)=(1)nJn(x),Yn(x)=(1)nYn(x).2)基本遞推式：.(x)n=n-1:Jn4-nxx(n實(shí)數(shù))n=n1:Jn-gxn= n 7: Yn(xnYn)n= n 1: Y

13、n 1 二一nx(x%)(n實(shí)數(shù))-nx3)圖像(x之0)：同一坐標(biāo)系下J0(x),J1(x),J2(x),J3(x)的圖像及比較.同一坐標(biāo)系下Y0(x),Y(x),Y2(x)，的圖像及比較.4)漸近性質(zhì):x>0B,J0(x),Jn>0(x),Yn(x)>?(1,0,二？).xT8時,Jn(x),Yn(x)T?(0?).5)(正)零點(diǎn)：(無窮多正零點(diǎn)，第一正零點(diǎn)大小隨階數(shù)增大而增大，相鄰階正零點(diǎn)交替出現(xiàn)，XT°o時零點(diǎn)間距Tn?)r2F(r)rF(r2-n2)F=0(0一r:二R)(1)36 .固有值問題«的固有值和固有函數(shù)?答：(1)的通解F(r)=FJ

14、")=y(x)=AJn(廠r)-BYn(、；r),(x=、,一r)Vz=B=0,Jn(R)=0.j于是固有值和固有函數(shù)為：7=()2,Fm(r)=jn(*r),m=1,2,|RR其中噌為Jn(x)的正零點(diǎn).J37 .Bessel函數(shù)系Jn(-r)(m=1,2,III)在(0,R)上帶權(quán)正交？其模平Rl|Jn(R22J21(叱)?38 . 傅里葉二L(n)f(r)=ZcmJn(r)的系數(shù)是mR(n)(cm0rf(r)Jn(寸r)drR0rf(r)Jn(-R-r)dr2|Jn喟r)|2RJ21(明39.Bessel函數(shù)的應(yīng)用：會用Bessel函數(shù)解柱形(或圓形)域上的物理問題，例如課本例1,例3,習(xí)題五第10題。40.連帶勒讓德方程(指特例)？勒讓德方程(指特例)？d2。dQ2cotfn(n1)0-0(0_1_-，n為頭參數(shù))42"?)x=cos,-y2x曳+n(n+1)y=0(1<1E1,n為實(shí)參數(shù))dxdx41.n次勒讓德多項(xiàng)式(第一類勒讓德函數(shù))Pn(x)?羅德