變化率問(wèn)題導(dǎo)學(xué)案

1、1.1.1變化率問(wèn)題導(dǎo)學(xué)案一問(wèn)題提出問(wèn)題1 氣球膨脹率 我們都吹過(guò)氣球回憶一下吹氣球的過(guò)程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?n 氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是 。n 如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么 。分析:，1 當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為 。2 當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為 ?？梢钥闯觯S著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少? 問(wèn)題2 高臺(tái)跳水hto 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水

2、面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?思考計(jì)算：和的平均速度在這段時(shí)間里，= ；在這段時(shí)間里， = ；探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問(wèn)題：運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？探究過(guò)程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，所以，= ；雖然運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度為，但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說(shuō)明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)二平均變化率概念:1上述

3、問(wèn)題中的變化率可用式子 表示, 稱(chēng)為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率。2若設(shè), (這里看作是對(duì)于x1的一個(gè)“增量”可用x1+代替x2,同樣)3 則平均變化率為x1x2Oyy=f(x)f(x2)x= x2-x1y =f(x2)-f(x1)x思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?三典例分析例1已知函數(shù)f(x)=的圖象上的一點(diǎn)及臨近一點(diǎn),則 例2 求在附近的平均變化率。四課堂練習(xí)1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，則在時(shí)間中相應(yīng)的平均速度為 2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),求在4s附近的平均變化率.3.過(guò)曲線(xiàn)y=f(x)=x3上兩點(diǎn)P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲線(xiàn)的割線(xiàn)，

4、求出當(dāng)x=0.1時(shí)割線(xiàn)的斜率.五回顧總結(jié)1平均變化率的概念2函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)：1了解瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念；2理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；3會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念； 教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)過(guò)程：一瞬時(shí)速度我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度。運(yùn)動(dòng)員的平均速度不能反映他在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，那么，如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度呢？比如，時(shí)的瞬時(shí)速度是多少？考察附近的情況：思考：當(dāng)趨近于0時(shí)，平均速度有什么樣的變化趨勢(shì)？結(jié)論：當(dāng)趨近于0時(shí)，即無(wú)論從小于2的一邊，還是從大于2的一

5、邊趨近于2時(shí)，平均速度都趨近于一個(gè)確定的值 。從物理的角度看，時(shí)間間隔無(wú)限變小時(shí)，平均速度就無(wú)限趨近于史的瞬時(shí)速度，因此，運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度是 。為了表述方便，我們用表示“當(dāng)，趨近于0時(shí)，平均速度趨近于定值”小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過(guò)取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值。二、 導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是:我們稱(chēng)它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即 說(shuō)明：（1）導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的 。 （2），當(dāng)時(shí)，所以= 。三典例分析例1（1）求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).例2（課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種

6、不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第時(shí)，原油的溫度（單位：）為，計(jì)算第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義四課堂練習(xí)1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，求質(zhì)點(diǎn)在的瞬時(shí)速度為2求曲線(xiàn)y=f(x)=x3在時(shí)的導(dǎo)數(shù)3例2中，計(jì)算第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義五回顧總結(jié)1瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念2導(dǎo)數(shù)的概念六布置作業(yè)1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)目標(biāo)：1了解平均變化率與割線(xiàn)斜率之間的關(guān)系；2理解曲線(xiàn)的切線(xiàn)的概念；3通過(guò)函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題；教學(xué)重點(diǎn)：曲線(xiàn)的切線(xiàn)的概念、切線(xiàn)的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義； 教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)過(guò)程：一、曲線(xiàn)的切

7、線(xiàn)及切線(xiàn)的斜率：如圖3.1-2，當(dāng)沿著曲線(xiàn)趨近于點(diǎn)時(shí)，割線(xiàn)的變化趨勢(shì)是什么？圖3.1-2我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)沿著曲線(xiàn)無(wú)限接近點(diǎn)P即x0時(shí)，割線(xiàn)趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線(xiàn)PT稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的 .問(wèn)題：割線(xiàn)的斜率與切線(xiàn)PT的斜率有什么關(guān)系？ 切線(xiàn)PT的斜率為多少？.二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，即 說(shuō)明：求曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程的基本步驟:求出P點(diǎn)的坐標(biāo);求出函數(shù)在點(diǎn)處的變化率 ，得到曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率；利用點(diǎn)斜式求切線(xiàn)方程.（二）導(dǎo)函數(shù)：由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到,當(dāng)時(shí), 是一個(gè)確定的數(shù)，那么,當(dāng)x變化時(shí),便是x的一個(gè)

8、函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作：或，即: 注：在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)（三）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù) 之間的區(qū)別與聯(lián)系。1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的， 就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 3）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是 求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。三典例分析例1:（1）求曲線(xiàn)y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線(xiàn)方程.（2）求函數(shù)y=3x2在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解：（1）,所以，所求切線(xiàn)的斜率為2，因此，所求的切線(xiàn)方程為即（2）因?yàn)樗?，所求?/p>

9、線(xiàn)的斜率為6，因此，所求的切線(xiàn)方程為即（2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 解： 。例2（課本例2）如圖3.1-3，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)，根據(jù)圖像，請(qǐng)描述、比較曲線(xiàn)在、附近的變化情況解：我們用曲線(xiàn)在、處的切線(xiàn)，刻畫(huà)曲線(xiàn)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況（1） 當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)平行于 ，所以，在附近曲線(xiàn)比較 ，幾乎沒(méi)有升降（2） 當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率，所以，在附近曲線(xiàn) ，即函數(shù)在附近單調(diào) （3） 當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率，所以，（4） 在附近曲線(xiàn) ，即函數(shù)（5） 在附近單調(diào) 從圖3.1-3可以看出，直線(xiàn)的傾斜程度 直線(xiàn)的傾斜程度，這說(shuō)明曲線(xiàn)在附近比

10、在附近下降的 例3（課本例3）如圖3.1-4，它表示人體血管中藥物濃度(單位：)隨時(shí)間（單位：）變化的圖象根據(jù)圖像，估計(jì)時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率（精確到）解：血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率，就是藥物濃度在此時(shí)刻的 ，從圖像上看，它表示曲線(xiàn)在此點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率如圖3.1-4，畫(huà)出曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)，利用網(wǎng)格估計(jì)這條切線(xiàn)的斜率，可以得到此時(shí)刻藥物濃度瞬時(shí)變化率的近似值作處的切線(xiàn)，并在切線(xiàn)上取兩點(diǎn)，如，則它的斜率為： 所以 下表給出了藥物濃度瞬時(shí)變化率的估計(jì)值：0.20.40.60.8藥物濃度瞬時(shí)變化率0.40-0.7-1.4四課堂練習(xí)1、已知函數(shù),若,問(wèn)(x)=-4表示的幾何意義是 。2

11、、1）函數(shù)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)值為，則函數(shù)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率為 ，切線(xiàn)的傾斜方式是 。2）函數(shù)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)值為3，則函數(shù)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率為 ，切線(xiàn)的傾斜方式是 。3）函數(shù)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)值為3，則函數(shù)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率為 ，切線(xiàn)的傾斜方式是 。3、教材P80A組T6、B組T3。五回顧總結(jié)1曲線(xiàn)的切線(xiàn)及切線(xiàn)的斜率；2導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：1使學(xué)生應(yīng)用由定義求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟推導(dǎo)四種常見(jiàn)函數(shù)、的導(dǎo)數(shù)公式； 2掌握并能運(yùn)用這四個(gè)公式正確求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：四種常見(jiàn)函數(shù)、的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)： 四種常見(jiàn)函數(shù)、的導(dǎo)數(shù)公式教學(xué)過(guò)程：1函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，因?yàn)? 。

12、所以= 。 = 表示函數(shù)圖像（圖3.2-1）上每一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率都為 若表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則可以解釋為某物體的瞬時(shí)速度始終為 ，即物體一直處于 狀態(tài)2函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因?yàn)?所以= 表示函數(shù)y=x圖像（圖3.2-1）上每一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率都為 若y=x表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則可以解釋為某物體的瞬時(shí)速度始終為 ，即物體一直處于 狀態(tài)探究：教材P82。3函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因?yàn)?所以= 表示函數(shù)圖像（圖3.2-3）上點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率都為，說(shuō)明隨著的變化，切線(xiàn)的斜率也在變化另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率來(lái)看，表明：當(dāng)時(shí)，隨著的增加，函數(shù)減少得越來(lái)越慢；當(dāng)時(shí)，隨著的增加，函數(shù)增加得越來(lái)越快若表示路

13、程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做變速運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為4函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因?yàn)?所以= 探究：P82。課堂練習(xí)1求函數(shù)y=x3的導(dǎo)數(shù)。2求函數(shù)y=xn的導(dǎo)數(shù)。3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?；仡櫩偨Y(jié)函數(shù)導(dǎo)數(shù)布置作業(yè)3.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則教學(xué)目標(biāo)：1熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； 2掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；3能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則教學(xué)難點(diǎn)： 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用教學(xué)過(guò)程：（一）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表函數(shù)導(dǎo)數(shù) （二）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則123（2）推論：（常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）三典例分析例1假設(shè)某國(guó)家在20年期間的年均通貨膨脹率為，物價(jià)（單位：元）與時(shí)間（單位：年）有如下函數(shù)關(guān)系，其中為時(shí)的物價(jià)假定某種商品的，那么在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？例2根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（2）y ；（3）y x sin x ln x；（4）y ；