概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(詳細(xì))

1、WORD格式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章概率論的根本概念.22樣本空間、隨機(jī)事件 .24 等可能概型古典概型 .35條件概率 .46獨(dú)立性 .4第二章隨機(jī)變量及其分布.51 隨機(jī)變量 .52離散性隨機(jī)變量及其分布律 .53隨機(jī)變量的分布函數(shù) .64連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度.65隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 .7第三章多維隨機(jī)變量. 71 二維隨機(jī)變量 .72 邊緣分布 .83條件分布 .84相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 .95兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 .9第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 .101數(shù)學(xué)期望 .102方差.11專業(yè)資料整理WORD格式1專業(yè)資料整理WORD格式3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)11第五章大數(shù)定律與中心極限定

2、理121大數(shù)定律122 中心極限定理13第一章概率論的根本概念 2樣本空間、隨機(jī)事件1事件間的關(guān)系A(chǔ)B那么稱事件 B 包含事件 A ，指事件 A 發(fā)生必然導(dǎo)致事件B 發(fā)生AB x xA或 xB 稱為事件A與事件B的和事件， 指當(dāng)且僅當(dāng)A ， B 中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件A B發(fā)生AB x xA且 xB 稱為事件A與事件B的積事件，指當(dāng)A，B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件AB 發(fā)生A B x xA且 xB 稱為事件A與事件B的差事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A 發(fā)生、 B 不發(fā)生時(shí)，事件A B發(fā)生AB，那么稱事件 A 與 B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 與事件 B 不能同時(shí)發(fā)生，根本領(lǐng)件是兩兩互不相容的ABS且 AB

3、，那么稱事件A 與事件 B 互為逆事件，又稱事件A 與事件 B 互為對(duì)立事件2運(yùn)算規(guī)那么交換律ABBAABBA結(jié)合律 (AB)CA(BC)(AB)CA(BC)專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式分配律 A BC(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC)徳摩根律ABABABAB 3頻率與概率定義在一樣的條件下，進(jìn)展了 n 次試驗(yàn)， 在這 n 次試驗(yàn)中，事件A 發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件 A 發(fā)生的 頻數(shù) ，比值nAn稱為事件A 發(fā)生的 頻率概率：設(shè) E 是隨機(jī)試驗(yàn)， S 是它的樣本空間， 對(duì)于 E的每一事件 A 賦予一個(gè)實(shí)數(shù)， 記為 P A，稱為事件的概率1概率P( A)滿足以下條件：

4、 1非負(fù)性 ：對(duì)于每一個(gè)事件A0P( A)1 2標(biāo)準(zhǔn)性 ：對(duì)于必然事件SP(S)1 3可列可加性 ：設(shè)A1, A2, An是兩兩互不相容的事件，nnP( Ak )n可有 P(Ak )k1k1以取2概率的一些重要性質(zhì)： i P( ) 0nnP( Ak ) n可以取 ii 假設(shè)A1, A2, , An是兩兩互不相容的事件，那么有P(Ak )k1k 1 iii 設(shè) A ， B 是兩個(gè)事件假設(shè)AB ，那么P(BA)P( B)P( A) ， P(B)P(A) iv 對(duì)于任意事件A，P( A)1 vP( A)1P(A)逆事件的概率 vi 對(duì)于任意事件A， B 有P( AB)P( A)P( B)P( AB)

5、 4 等可能概型古典概型等可能概型：試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素，試驗(yàn)中每個(gè)事件發(fā)生的可能性一樣假設(shè)事件 A包 含 k個(gè)根本領(lǐng)件，即 Aei ei ei ， 里12k專業(yè)資料整理WORD格式3專業(yè)資料整理WORD格式i 1，i 2,， i k是1,2， n中某 k個(gè)不同的數(shù)，那么有kkA包含的根本領(lǐng)件數(shù)P( A)P ei jS中根本領(lǐng)件的總數(shù)j 1n 5條件概率 1定義：設(shè) A,B 是兩個(gè)事件，且P( A)0，稱 P(B|A)P( AB)為事件 A 發(fā)生的條P(A)件下事件 B 發(fā)生的 條件概率 2條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件1。非負(fù)性：對(duì)于某一事件B，有P(B | A)02。標(biāo)準(zhǔn)性：對(duì)

6、于必然事件S，P(S | A)13 可列可加性：設(shè)B1,B2,是兩兩互不相容的事件，那么有P( Bi A )P( Bi A )i 1i 1 3乘法定理設(shè) P(A)0 ，那么有 P( AB)P( B)P( A | B) 稱為乘法公式n 4全概率公式：P( A)P( Bi ) P( A | Bi)i 1貝葉斯公式：P(Bk| A)P(Bk )P( A | Bk )nP(Bi ) P( A | Bi )i1 6獨(dú)立性定義設(shè) A ，B 是兩事件，如果滿足等式P( AB ) P( A)P(B) ，那么稱事件A,B 相互獨(dú)立定理一設(shè) A，B 是兩事件，且P( A)0 ，假設(shè)A，B相互獨(dú)立，那么P(B |

7、A)P B 定理二假設(shè)事件 A 和 B 相互獨(dú)立，那么以下各對(duì)事件也相互獨(dú)立：A 與B，A與B，A與B專業(yè)資料整理WORD格式4專業(yè)資料整理WORD格式第二章隨機(jī)變量及其分布 1 隨機(jī)變量定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S e. X X(e) 是定義在樣本空間S 上的實(shí)值單值函數(shù)，稱 XX(e) 為隨機(jī)變量 2 離散性隨機(jī)變量及其分布律1離散隨機(jī)變量：有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量P( Xxk )pk滿足如下兩個(gè)條件1pk0 ，2Pk=1k 12三種重要的離散型隨機(jī)變量1分布設(shè)隨機(jī)變量X只能取0與1兩個(gè)值，它的分布律是k1- k，k0,1 0p

8、 1) ，那么稱X服從以p為參數(shù)的分布或兩點(diǎn)P( X k) p1 - p分布。 2伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布設(shè)實(shí)驗(yàn) E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A與 A ，那么稱E為伯努利實(shí)驗(yàn).設(shè)P(A)p0p1) ，此時(shí) P(A ) 1- p .將E獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)展n 次，那么稱這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為n 重伯努利實(shí)驗(yàn)。P( Xk )npk q n-k，k0,1,2， n 滿足條件1pk0 ，2Pk=1注意到kk 1nkqn -knk的那一項(xiàng)，我們稱隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為p是二項(xiàng)式p q的展開(kāi)式中出現(xiàn) pk專業(yè)資料整理WORD格式5專業(yè)資料整理WORD格式n， p 的二項(xiàng)分布。 3泊松分布設(shè)隨機(jī)變量 X所有可能取的值為 0,

9、1,2，而取各個(gè)值的概率為P( Xk )k e-0,1,2 , 其中0 是常數(shù)，那么稱X服從參數(shù)為的泊松分布記為, kk!X 3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，x 是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F( x )P*,-x稱為 X 的分布函數(shù)分 布 函 數(shù) F ( x)P( Xx) ， 具 有 以 下 性 質(zhì)(1)F ( x) 是 一 個(gè) 不 減 函 數(shù)20F ( x)1，且 F ()0, F ()13F ( x0)F ( x),即 F ( x)是右連續(xù)的 4 連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)隨機(jī)變量：如果對(duì)于隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)F x，存在非負(fù)可積函數(shù)f ( x) ，使xf t dt,對(duì)于任意函

10、數(shù) x有 F(x)那么稱 x為連續(xù)性隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x) 稱為 X-的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度1 概率密度f(wàn) ( x)具有以下性質(zhì)，滿足1f ( x)0, (2)f ( x)dx 1；- 3P(x1X x2 )x2f ( x) dx；4假設(shè)f ( x)在點(diǎn)x處連續(xù)，那么有 F，( x) f (x)x12,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(1) 均勻分布f (x)1，a xb，那么成 X 在區(qū)間 (a,b)上服從假設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量X 具有概率密度b - a0，其他均勻分布 .記為X Ua，b(2) 指數(shù)分布假設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量1 e- x， x. 0其中0 為常數(shù)，那么稱XX 的概率密度為f (

11、x)0，其他專業(yè)資料整理WORD格式6專業(yè)資料整理WORD格式服從參數(shù)為的指數(shù)分布。 3正態(tài)分布假設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為( x21f ( x)e22 ，x，2-其中，0)為常數(shù)，那么稱 X服從參數(shù)為，的正 態(tài)分布或高斯分布，記為XN，2特別，當(dāng)0，1 時(shí)稱隨機(jī)變量X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定理設(shè)隨機(jī)變量 X 具有概率密度f(wàn) x(x ，x, 又設(shè)函數(shù)g (x) 處處可導(dǎo)且恒有) -g, ( x) 0 ， 那么Y=g( X )是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為fY ( y)f X h( y) h, ( y) ,y0 ， 其他第三章多維隨機(jī)變量 1 二維隨機(jī)變量定義設(shè) E 是

12、一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是Se. XX(e) 和 YY(e) 是定義在S上的隨機(jī)變量，稱XX(e) 為隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量X ，Y叫做二維隨機(jī)變量設(shè) X ， Y 是 二 維 隨 機(jī) 變 量 ， 對(duì) 于 任 意 實(shí) 數(shù)x ， y ， 二 元 函 數(shù)F x， yP(*)(Yy) 記成 P*， Yy 稱為二維隨機(jī)變量X ， Y的分布函數(shù)如果二維隨機(jī)變量X ，Y 全部可能取到的值是有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì)，那么稱X ，Y 是離散型的隨機(jī)變量。我們稱 P( Xxi，Yy j )pij，i， j1,2，為二維離散型隨機(jī)變量X ，Y的分布律。對(duì)于二維隨機(jī)變量 X ，Y的分布函數(shù)F x， y，如果存在

13、非負(fù)可積函數(shù)fx，y，專業(yè)資料整理WORD格式7專業(yè)資料整理WORD格式使對(duì)于任意 x，y 有，yx， ，fF xy-uvdudv 那么稱 X ，Y 是連續(xù)性的隨機(jī)變量，-函數(shù) f x， y稱為隨機(jī)變量X ， Y 的概率密度，或稱為隨機(jī)變量X 和 Y 的聯(lián)合概率密度。 2 邊緣分布二維隨機(jī)變量 X ，Y 作為一個(gè)整體， 具有分布函數(shù)F x， y.而X和Y都是隨機(jī)變量，各自也有分布函數(shù)，將他們分別記為F x ),y，依次稱為二維隨機(jī)變量X，YXFY關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的邊緣分布函數(shù)。pipij PX x i ， i1,2，p jpij PY y i ，j1,2，j 1i 1分別稱 pip j為

14、X，Y關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律。f X()f( , fY(y)f( , 分別稱 fX(x) ，xx y dyx y dxfY (y) 為X，Y關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度。 3 條件分布定義設(shè) X ， Y 是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j ，假設(shè)PYy j 0,那么稱PXxi Yy j P X xi ,Y y j pij,i1,2,為在 Yy j條件下隨P Yy j p j機(jī)變量 X 的條件分布律， 同樣PY yjXX i P Xxi,Yy j pij, j1,2, 為P Xxi pi在 Xxi條件下隨機(jī)變量X 的條件分布律。設(shè)二維離散型隨機(jī)變量X ，Y 的概率密度為f ( x, y) ，

15、X，Y關(guān)于Y的邊緣概率密度為 f Y ( y) ，假設(shè)對(duì)于固定的y，fY(y) 0，那么稱f ( x, y)為在 Y=y 的條件下 X 的條件fY ( y)f ( x, y)概率密度，記為f X Y (x y) =fY ( y)專業(yè)資料整理WORD格式8專業(yè)資料整理WORD格式 4 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量定義 設(shè)及( x)，F(xiàn)Y( y)分別是二維離散型隨機(jī)變量X ，Y 的分布函F x， y FX數(shù)及邊緣分布函數(shù).假設(shè)對(duì)于所有 x,y 有P Xx, Y y P X xPYy ，即F x, y FX (x)FY (y) ，那么稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量 X ，Y ，X 和 Y

16、相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)0 5 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1，Z=X+Y的分布設(shè) (X,Y) 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f(wàn) ( x, y) .那么Z=X+Y仍為連續(xù)性隨機(jī)變量，其概率密度為( )(, 或()( ,f X Yzf z y y dyf X Yzf x z x dx又假設(shè) X 和 Y 相互獨(dú)立，設(shè) X ，Y 關(guān)于 X ，Y 的邊緣密度分別為f X ( x), f Y ( y) 那么fX Y( z)fX( z yfy)dy和 fX Y( z)fX(xf( zx)dx 這兩個(gè)公式稱為YYf X , fY的卷積公式有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布2，ZY的分布

17、、 ZXY的分布X設(shè) (X,Y) 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f(wàn) ( x, y) ，那么 ZY，Z XYX仍為連續(xù)性隨機(jī)變量其概率密度分別為fY X ( z)1zx f ( x, xz)dx f XY ( z)f ( x, )dx 又假設(shè)X和Y相互獨(dú)立，設(shè)X，Yxx關(guān)于 X ， Y 的邊緣密度分別為f X (x), f Y ( y)那么可化為 fYX( )fX ()fY ()zxxz dxf XY ( z)1 f X (x) fY ( z )dxxx3 M maxX，Y及Nmin X ,Y的分布專業(yè)資料整理WORD格式9專業(yè)資料整理WORD格式設(shè) X ， Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，

18、它們的分布函數(shù)分別為FX ( x), FY ( y) 由于MmaxX ，Y 不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z故有 PMzPXz, Yz 又由于 X 和 Y 相互獨(dú)立，得到MmaxX ， Y 的分布函數(shù)為Fmax (z)FX ( z) FY ( z)Nmin X ,Y 的分布函數(shù)為Fmin (z)11F X ( z) 1FY ( z)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1數(shù)學(xué)期望定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的分布律為P Xxk pk，k=1,2，假設(shè)級(jí)數(shù)xk pk絕對(duì)k1收斂， 那么稱級(jí)數(shù)xk pk的和為隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望， 記為E( X )，即E(X )xk pkk 1i設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的概率密度為f

19、 ( x) ，假設(shè)積分xf ( x) dx 絕對(duì)收斂，那么稱積分xf ( x)dx 的值為隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望，記為E(X ) ，即E(X)xf ( x) dx定理設(shè) Y 是隨機(jī)變量 X的函數(shù) Y= g ( X ) (g 是連續(xù)函數(shù) ) i 如果 X 是離散型隨機(jī)變量 ，它的分布律為P X xkpk，k=1,2，假設(shè)g( xkpkk 1絕對(duì)收斂那么有 E( Y ) E(g( X )g( xkpkk 1 ii 如果 X 是連續(xù)型隨機(jī)變量 ，它的分概率密度為f (x) ，假設(shè)g( x) f (x)dx 絕對(duì)收斂那么有 E(Y ) E(g ( X )g( x) f ( x)dx數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性

20、質(zhì)1設(shè) C 是常數(shù)，那么有E(C)C2設(shè) X 是隨機(jī)變量， C 是常數(shù)，那么有E(CX )CE(X)3設(shè) X,Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，那么有E ( XY )E(X )E(Y) ；專業(yè)資料整理WORD格式10專業(yè)資料整理WORD格式4 設(shè) X， Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么有E( XY )E( X ) E(Y)2 方差定義設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，假設(shè)E XE( X ) 2 存在，那么稱 E XE(X) 2 為X的方差，記為D x即 D x = E XE( X ) 2 ，在應(yīng)用上還引入量D( x) ，記為(x) ，稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。D(X)E(X E(X )2E(X 2)(EX)2方差的幾個(gè)重要性

21、質(zhì)1設(shè) C 是常數(shù)，那么有D (C)0,2設(shè) X 是隨機(jī)變量， C 是常數(shù)，那么有D(CX )C2D(X)，D(X C)D(X)3 設(shè) X,Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，那么有D ( XY)D(X) D(Y)2E(X - E(X)(Y- E(Y) 特別，假設(shè) X,Y 相互獨(dú)立，那么有D( XY )D(X) D(Y)4D(X)0 的充要條件是X 以概率 1 取常數(shù)E(X)，即P XE(X )1切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量 X具有數(shù)學(xué)期望 E(X )2，那么對(duì)于任意正數(shù)，不等式2PX-2 成立 3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義量EXE( X ) Y E(Y) 稱為隨機(jī)變量X 與 Y 的協(xié)方差為Cov ( X ,Y )

22、，即Cov ( X , Y) E( XE ( X )(Y E(Y) E( XY)E( X )E(Y)專業(yè)資料整理WORD格式而 XYCov(X ， Y 稱為隨機(jī)變量X 和 Y 的相關(guān)系數(shù)D(X)D(Y)專業(yè)資料整理WORD格式對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X 和 Y ，D ( XY)D ( X )D (Y)2Cov( X ,Y)_協(xié)方差具有下述性質(zhì)專業(yè)資料整理WORD格式11專業(yè)資料整理WORD格式1 Cov ( X ,Y )Cov (Y, X ), Cov (aX , bY)abCov ( X ,Y )2 Cov( X1X 2 ,Y)Cov( X1 ,Y)Cov( X 2 ,Y)定理11XY2XY1的充要條件是，存在常數(shù)a,b 使P Yabx1當(dāng)XY0時(shí)，稱 X 和Y 不相關(guān)附：幾種常用的概率分布表專業(yè)資料整理WORD格式分布參數(shù)兩點(diǎn)0 p1分布二項(xiàng)式分n 1 0p 1布泊松0分布分布律或概率密度P Xk )p k(1 p)1 k, k 0,1，P( Xk)Cnkpk(1 p)n k,k 0,1, n，P( X k)k e, k 0,1,2,k!數(shù)學(xué)期望pnp方差p(1p)np(1p)專業(yè)資料整理WORD格式幾何0p 1分布均勻ab分布指數(shù)0分布正態(tài)分布0P( Xk )(1p)k 1 p, k1,2,1, a x b