圓錐曲線的第三定義

1、圓錐曲線的第三定義及運用一、 橢圓和雙曲線的第三定義1. 橢圓在橢圓中，A、B是關于原點對稱的兩點，P是橢圓上異于A、B的一點，若存在，則有：證明：構造PAB的PA邊所對的中位線MO，由點差法結論：知此結論成立。2. 雙曲線在雙曲線中，A、B是關于原點對稱的兩點，P是橢圓上異于A、B的一點，若存在，則有：證明：只需將橢圓中的全部換成就能將橢圓結論轉換成雙曲線的結論。二、 與角度有關的問題例題一：已知橢圓的離心率，A、B是橢圓的左右頂點，為橢圓與雙曲線的一個交點，令 ，則 .解答：令，由橢圓第三定義可知： 點評：其實所謂的雙曲線方程只是一個障眼法，并不影響題目的解答。兩頂點一動點的模型要很快的聯(lián)

2、想到第三定義，那么剩下的任務就是把題目中的角轉化為兩直線的傾斜角，把正余弦轉化為正切。題目中的正余弦化正切是三角函數(shù)的常見考點。變式1-1：（石室中學2015級高二下4月18日周末作業(yè)）已知雙曲線的左右頂點分別為A、B，P為雙曲線右支一點，且，求 .解答：令，則，由雙曲線的第三定義知：則：點評：與例題1采取同樣的思路轉化角，但對于正切轉換的要求較高。兩銳角正切乘積為1即表示sin=cos，cos=sin兩角互余，則可解出的值。當然雙曲線的題目較于橢圓和拋物線題目考試概率較小，但既然提到了雙曲線的第三定義，不妨做一做。三、 與均值定理有關的問題例題2：已知A、B是橢圓 長軸的兩個端點，M、N是橢

3、圓上關于x軸對稱的兩點，直線AM、BN的斜率分別為，且。若的最小值為1，則橢圓的離心率為 .解答一（第三定義+均值）：由題意可作圖如下：連接MB，由橢圓的第三定義可知：，而解答二（特殊值法）：這道題由于表達式非常對稱，則可直接猜特殊點求解。時可取最值，則M、N分別為短軸的兩端點。此時：。點評：對于常規(guī)解法，合理利用M、N的對稱關系是解題的關鍵，這樣可以利用橢圓的第三定義將兩者斜率的關系聯(lián)系起來，既構造了“一正”，又構造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。當然將前的系數(shù)改為不相等的兩個數(shù)，就不能利用特殊值法猜答案了，但常規(guī)解法相同，即變式2-1。變式2-1：已知A、B是橢

4、圓 長軸的兩個端點，M、N是橢圓上關于x軸對稱的兩點，直線AM、BN的斜率分別為，且。若的最小值為1，則橢圓的離心率為 .解答：連接MB，由橢圓的第三定義可知：，而變式2-2：已知A、B是橢圓長軸的兩個端點，若橢圓上存在Q，使 ，則橢圓的離心率的取值范圍為 .解答一（正切+均值）：令Q在x軸上方，則直線QA的傾斜角為，直線QB的傾斜角為 。， 由橢圓的第三定義：，則帶入可得： （取等條件：，即Q為上頂點）而tanx在單增，則Q為上頂點時，所以此時，故解答二（極限法）：當Q趨近于A、B兩點時，（此時Q點所在的橢圓弧趨近于以AB為直徑的圓的圓弧，相當于直徑所對的圓周角）；當Q在A、B間運動時（Q在

5、以AB為直徑的圓內(nèi)部，直徑所對的圓周角=90°），由橢圓的對稱性可猜測當Q為短軸端點時。由于：橢圓上存在Q，使，那么 Q為短軸端點時。取臨界情況，即Q為短軸端點時，此時；當橢圓趨于飽滿（）時，橢圓趨近于圓，圓的直徑所對的圓周角永遠為90°，不滿足；當橢圓趨于線段（）時，滿足。故。當然這些只需要在頭腦中一想而過，簡潔而有邏輯。點評：這道題可以增加對于圓周角的理解，在用極限法討論：“當Q趨近于A、B兩點時，”時能會顛覆“”的認知，當然這肯定是錯的，結合常規(guī)解法可以看出此時是角最小的情況，而不是角最大的情況。要搞清楚，不然會被弄暈的。對于常規(guī)解法選擇正切表示角的大小的原因有二：與

6、第三定義發(fā)生聯(lián)系tanx在單增便于利用tanx的大小比較角度的大小。四、 總結歸納1. 上述部分題目的常規(guī)解法較復雜，但做題時一定要能猜答案，而且要猜得有理由。2. 對于均值不等式，注意取等條件是“三相等”，即相等時取最值。這可以幫助猜測表達形式是高度對稱的式子的最值，如：例題23. 極限法可以刻畫出單調變化的某一變量的端點值，如：變式2-2中P在橢圓上滑動，角度的變化一定是光滑的（無突變，連續(xù)）， 所以只需考慮邊界值。4. 做幾何的選填題時，有時利用圓周角定理可以很快的找到最大角，注意學會恰當運用，如：變式2-2。5. 常以正切值刻畫角度大小。6. 在做綜合性較大的題目時要聯(lián)系各種知識，靈活

7、轉化，以最巧妙的方法致勝。7. .8. .五、 方法鏈接針對上文提到的“圓周角找最大角”與“橢圓中另一類均值”進行拓展補充，各附例題。例題3：在平面直角坐標系XOY中，給定兩點 和，點P在X軸上移動，當取最大值時，點P的橫坐標為 . 解答一（正切+均值）：已知： 、，與x軸交于令，則：， 當時， 當時，的傾斜角較大，令，則（）此時， 當時，的傾斜角較大，則（）此時，由于，且在上單增，此時解答二（圓周角定理）：本題中的取極值時的P點的幾何意義為：過M、N的圓與x軸切于P點。下面給出證明：證明：以與x軸切于點的圓滿足所求最大角為例：由于是過M、N兩點的圓的一條弦，由垂徑定理知圓心在上隨著圓心橫坐標

8、從0開始增大：當半徑r較小時，圓與x軸無交點；當半徑稍大一點時，圓與x軸相切，有一個交點；當半徑更大一點時，圓與x軸有兩交點、。此時：根據(jù)圓周角定理：，可知：圓與x軸相切時，。 R較小的情況（圓與x軸相離） R較大的情況（圓與x軸相交于、）所以：過M、N的圓與x軸切于、點時，分別有只需比較與，哪一個更大。令與x軸相切的圓的圓心為 ，則切點，半徑為y圓滿足： （消去y）比較可知：當x=1時，點評：常規(guī)方法依舊是利用正切度量角的大小，但注意用傾斜角表示所求角時要用大角減去小角，才能得到正角；均值時要注意以分子（一次）為新元構建均值。用圓周角角的性質解答，只要轉化為切點，解一個方程組，比較兩個角誰大

9、就行了。（不比較也行，畫圖可知右邊角大于左邊角：弦長相等，半徑越大，弦所對的圓周角越小。）其實兩種解法的難度是一樣，只是一種要寫得多，一種要想得多。變式3-1：若G為ABC的重心，且，則的最大值為 .解答一（余弦定理+均值）：令，則由 由點間的距離公式：，由余弦定理：由于： 解法二（圓周角定理）：令，則題目轉化為：，滿足：，求的最大值。目測可知時，下面以來證明。過，作圓O：若C不在點，令AC交圓O于Q點。由圓周角定理： 證得此時由余弦定理點評：可以說這道題與例題3有異曲同工之妙，直觀感覺加上圓周角定理可以說是畫幾個圓就解出題了。其實余弦函數(shù)在單調，也可用來度量角的大小。不過更值得一提的是兩種方法以不同的方式，間接地表現(xiàn)了題中點的關系，設點的方式值得思考領悟。解法一照顧垂直結論，把重心放在原點，利用重心的坐標很好地刻畫了C點的坐標；解法二聯(lián)系圓的直徑所對圓周角為直角表示垂直條件，以同樣方式刻畫C點的坐標。兩種方式都完全的展現(xiàn)了題目中的關系。例題4：（對橢圓用均值）：過橢圓上