概率習(xí)題答案參考

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評與關(guān)注！ 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 3.1 二維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題1設(shè)(X,Y)的分布律為XY1 2 3  11/6 1/9 1/18 2 1/3a1/9求a.分析：dsfsd1f6d54654646解答：由分布律性質(zhì)ijPij=1, 可知               1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得  

2、;                        a=2/9.習(xí)題2(1)2.設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：  (1)Pa<Xb,Yc;解答：Pa<Xb,Yc=F(b,c)-F(a,c).習(xí)題2(2)2.設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：  (2)P0

3、<Yb; 解答：P0<Yb=F(+,b)-F(+,0).習(xí)題2(3)2.設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：  (3)PX>a,Yb.解答：PX>a,Yb=F(+,b)-F(a,b).習(xí)題3(1)3.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表：試求：  (1)P12<X<32,0<Y<4; 解答：P12<X<23,0<Y<4   PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2

4、+PX=1,Y=3=14+0+0=14.習(xí)題3(2)3.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表：試求：  (2)P1X2,3Y4;解答：P1X2,3Y4=PX=1,Y=3+PX=1,Y=4+PX=2,Y=3+PX=2,Y=4=0+116+0+14=516.習(xí)題3(3)3.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表：試求：  (3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.習(xí)題4設(shè)X,Y為隨機(jī)變量，且    &

5、#160; PX0,Y0=37, PX0=PY0=47,求PmaxX,Y0.解答：PmaxX,Y0=PX,Y至少一個大于等于0                  =PX0+PY0-PX0,Y0                  =

6、47+47-37=57.習(xí)題5(X,Y)只取下列數(shù)值中的值：                 (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相應(yīng)概率依次為16,13,112,512, 請列出(X,Y)的概率分布表，并寫出關(guān)于Y的邊緣分布.解答：(1)因為所給的一組概率實數(shù)顯然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所給的一組實數(shù)必是某二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布. 因(X,Y)只取

7、上述四組可能值，故事件：    X=-1,Y=0,  X=0,Y=13,    X=0,Y=1,X=2,Y=13,X=2,Y=1均為不可能事件，其概率必為零. 因而得到下表： XY  01/31  -1  01/121/3 0 1/600 2 5/1200(2)PY=0=PX=-1,Y=0+PX=0,Y=0+PX=2,Y=0     &#

8、160;      =0+16+512=712,同樣可求得       PY=13=112,PY=1=13,關(guān)于的Y邊緣分布見下表：Y    01/31  pk 7/121/121/3習(xí)題6設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度為         

9、0;           f(x,y)=1200ex2+y2200,求PXY.解答：由于PXY+PX>Y=1，且由正態(tài)分布圖形的對稱性，知          PXY=PX>Y, 故       PXY=12.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=k(6-x-y),0<x<2,2<y&l

10、t;40,其它,(1)確定常數(shù)k;             (2)求PX<1,Y<3;  (3)求PX<1.5;          (4)求PX+Y4.解答：如圖所示(1)由-+-+f(x,y)dxdy=1, 確定常數(shù)k.0224k(6-x-y)dydx=k02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)PX<

11、1,Y<3=01dx2318(6-x-y)dy=38.(3)PX<1.5=01.5dx2418(6-x-y)dy=2732.(4)PX+Y4=02dx24-x18(6-x-y)dy=23.習(xí)題8已知X和Y的聯(lián)合密度為                 f(x,y)=cxy,0x1,0y10,其它,試求：(1)常數(shù)c;  (2)X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).解答：(1)由于1=-+-+f(x,y

12、)dxdy=c0101xydxdy=c4,c=4.(2)當(dāng)x0或y0時，顯然F(x,y)=0;當(dāng)x1,y1時，顯然F(x,y)=1;設(shè)0x1,0y1, 有           F(x,y)=-x-yf(u,v)dudv=40xudu0yvdv=x2y2.設(shè)0x1,y>1, 有          F(x,y)=PX1,Yy=40xudu01ydy=x2.最后，設(shè)x

13、>1,0y1, 有          F(x,y)=PX1,Yy=401xdx0yvdv=y2.函數(shù)F(x,y)在平面各區(qū)域的表達(dá)式              F(x,y)=0,x0或y0x2,0x1,y>1x2y2,0x1,0y1.y2,x>習(xí)題9設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為    

14、;          f(x,y)=4.8y(2-x),0x1,xy10,其它,求邊緣概率密度fY(y).解答：fX(x)=-+f(x,y)dy      =0x4.8y(2-x)dy,0x10,其它=2.4x2(2-x),0x10,其它.fY(y)=-+f(x,y)dx      =0y4.8y(2-x)dx,0y10,其它=2.4y(4y-y2),0y10,其它.習(xí)題10設(shè)

15、(X,Y)在曲線y=x2,y=x所圍成的區(qū)域G里服從均勻分布，求聯(lián)合分布密度和邊緣分布密度.解答：區(qū)域G的面積A=01(x-x2)dx=16, 由題設(shè)知(X,Y)的聯(lián)合分布密度為                  f(x,y)=6,0x1,x2yx0,其它,從而fX(x)=-+f(x,y)dy=6x2xdy=6(x-x2),0x1, 即     &

16、#160;            fX(x)=6(x-x2),0x10,其它,         fY(y)=-+f(x,y)dx=6yydx=6(y-y),0y1,即fY(y)=6(y-y),0y10,其它.3.2 條件分布與隨機(jī)變量的獨立性習(xí)題1二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為XY    01  01 7/157/3

17、07/301/15(1)求Y的邊緣分布律；(2)求PY=0X=0,PY=1X=0;(3)判定X與Y是否獨立？解答：(1)由(x,y)的分布律知，y只取0及1兩個值.   Py=0=Px=0,y=0+Px=1,y=0=715+730=0.7   Py=1=i=01Px=i,y=1=130+115=0.3.(2)Py=0x=0=Px=0,y=0Px=0=23,   Py=1x=0=13.(3)已知Px=0,y=0=715, 由(1)知Py=0=0.7, 類似可得  &#

18、160;           Px=0=0.7.因為Px=0,y=0Px=0Py=0, 所以x與y不獨立.習(xí)題2將某一醫(yī)藥公司9月份和8份的青霉素針劑的訂貨單分別記為X與Y. 據(jù)以往積累的資料知X和Y的聯(lián)合分布律為 XY  5152535455  5152535455 0.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.0

19、10.030.050.060.050.010.03(1)求邊緣分布律;(2)求8月份的訂單數(shù)為51時，9月份訂單數(shù)的條件分布律.解答：(1)邊緣分布律為X   5152535455pk  0.180.150.350.120.20對應(yīng)X的值,將每行的概率相加,可得PX=i.對應(yīng)Y的值(最上邊的一行), 將每列的概率相加，可得PY=j.Y  5152535455pk  0.280.280.220.090.13(2)當(dāng)Y=51時,X的條件分布律為   PX=kY=51=P

20、X=k,y=51PY=51=pk,510.28, k=51,52,53,54,55.列表如下:k  5152535455 PX=kY=51 6/287/285/285/285/28習(xí)題3已知(X,Y)的分布律如下表所示，試求：(1)在Y=1的條件下,X的條件分布律;(2)在X=2的條件下,Y的條件分布律.XY    012  012 1/41/8001/301/601/8解答：由聯(lián)合分布律得關(guān)于X,Y的兩個邊緣分布律為X   012 p

21、k  3/81/37/24 Y   012  pk 5/1211/241/8故(1)在Y=1條件下，X的條件分布律為X(Y=1)    012 pk 3/118/110(2)在X=2的條件下，Y的條件分布律為Y(X=2)   012 pk 4/703/7習(xí)題4 已知(X,Y)的概率密度函數(shù)為f(x,y)=3x,0<x<1,0<y<x0,其它, 求：(1)

22、邊緣概率密度函數(shù)；(2)條件概率密度函數(shù).解答：(1)fX(x)=-+f(x,y)dy=3x2,0<x<10,其它,  fY(y)=-+f(x,y)dx=32(1-y2),0<y<10,其它.(2)對y(0,1),  fXY(xy)=f(x,y)fY(y)=2x1-y2,y<x<1,0,其它,對x(0,1),  fYX(yx)=f(x,y)fX(x)=1x,0<y<x0,其它.習(xí)題5X與Y相互獨立，其概率分布如表(a)及表(b)所示，求(X,Y)的聯(lián)合概率分布，PX+Y=1, 

23、PX+Y0.X-2-101/2  pi 1/41/31/121/3表(a) Y-1/213  pi 1/21/41/4表(b)解答：由X與Y相互獨立知          PX=xi,Y=yi=PX=xiPY=yj),從而(X,Y)的聯(lián)合概率分布為XY-1/213-2-101/2PX=-2PY=-1/2PX=-1PY=-1/2PX=0PY=-1/2PX=1/2PY=-1/2PX=-2PY=1PX=-1PY=1PX=0PY=1PX

24、=1/2PY=1PX=-2PY=3PX=-1PY=3PX=0PY=3PX=1/2PY=3亦即表XY  -1/213 -2-101/2  1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12    PX+y=1=PX=-2,y=3+PX=0,Y=1=116+148=112,    PX+Y0=1-PX+Y=0          &#

25、160;      =1-PX=-1,Y=1-PX=12,Y=-12                 =1-112-16=34.習(xí)題6某旅客到達(dá)火車站的時間X均勻分布在早上7:558:00, 而火車這段時間開出的時間Y的密度函數(shù)為           

26、;        fY(y)=2(5-y)25,0y50,其它,求此人能及時上火車站的概率.解答：由題意知X的密度函數(shù)為                  fX(x)=15,0x50,其它,因為X與Y相互獨立，所以X與Y的聯(lián)合密度為：         

27、; fXY(x,y)=2(5-y)125,0y5,0x50,其它,故此人能及時上火車的概率為             PY>X=05x52(5-y)125dydx=13.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量X與Y都服從N(0,1)分布，且X與Y相互獨立，求(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù).解答：由題意知，隨機(jī)變量X,Y的概率密度函數(shù)分別是           

28、60;  fX(x)=12e-x22，  fY(y)=12e-y22因為X與Y相互獨立，所以(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)是                    f(x,y)=12e-12(x+y)2.習(xí)題8設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(x)=12e-x(-<x<+),問：X與X是否相互獨立？解答：若X與X相互獨立，則a>0, 各有&

29、#160;          PXa,Xa=PXaPXa,而事件XaXa, 故由上式有    PXa=PXaPXa,PXa(1-PXa)=0PXa=0或1=PXa(a>0)但當(dāng)a>0時，兩者均不成立，出現(xiàn)矛盾，故X與X不獨立.習(xí)題9設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，X在(0,1)上服從均勻分布，Y的概率密度為fY(y)=12e-y2,y>00,y0,(1)求X與Y的聯(lián)合概率密度；(2)設(shè)有a的二次方程a2+2Xa+Y=0,

30、60;求它有實根的概率.解答：(1)由題設(shè)易知fX(x)=1,0<x<10,其它,又X,Y相互獨立，故X與Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=fX(x)fY(y)=12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因a有實根=判別式2=4X2-4Y0=X2Y,故如圖所示得到：    Pa有實根=PX2Y=x2>yf(x,y)dxdy=01dx0x212e-y2dy             

31、0;  =-01e-x22dx=1-1e-x22dx-0e-x22dx                =1-212-1e-x22dx-12-0e-x22dx                =1-2(1)-(0),又(1)=0.8413, (0)=0.

32、5, 于是(1)-(0)=0.3413, 所以    Pa有實根=1-2(1)-(0)1-2.51×0.3413=0.1433. 3.3 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨立，且都等可能地取1,2,3為值，求隨機(jī)變量U=maxX,Y和V=minX,Y的聯(lián)合分布.解答：由于UV, 可見PU=i,V=j=0(i<j).此外，有      PU=V=i=PX=Y=i=1/9(i=1,2,3),   &

33、#160;  PU=i,V=j=PX=i,Y=j+PX=j,Y=i=2/9(i>j),于是，隨機(jī)變量U和V的聯(lián)合概率分布為 V概率U1 2311/92/92/9201/92/93001/9習(xí)題2設(shè)(X,Y)的分布律為XY   -112  -12 1/101/53/101/51/101/10試求：(1)Z=X+Y;   (2)Z=XY;    (3)Z=X/Y;     &

34、#160;  (4)Z=maxX,Y的分布律.解答：與一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律的計算類型，本質(zhì)上是利用事件及其概率的運算法則.注意，Z的相同值的概率要合并.概率      1/101/53/101/51/101/10(X,Y)X+YXYX/Ymaxx,Y  (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222于是(1)X+Y -20134  pi 1/101/51/2

35、1/101/10(2)XY -20134  pi 1/21/51/101/101/10(3)X/Y -2-1-1/212  pi 1/51/53/101/51/10(4)maxX,Y -112  pi1/101/57/10 習(xí)題3設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)服從矩形區(qū)域D=(x,y0x2,0y1的均勻分布，且              

36、60;  U=0,XY1,X>Y,  V=0,X2Y1,X>2Y,求U與V的聯(lián)合概率分布.解答：依題(U,V)的概率分布為    PU=0,V=0=PXY,X2Y=PXY                    =01dxx112dy=14,    PU=0,V=1=P

37、XY,X>2Y=0,    PU=1,V=0=PX>Y,X2Y=PY<X2Y                    =01dyy2y12dx=14,PU=1,V=1=1-PU=0,V=0-PU=0,V=1-PU=1,V=0=1/2,即UV   01 01 1/401/41/2習(xí)題4設(shè)(X,Y

38、)的聯(lián)合分布密度為              f(x,y)=12e-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解答：                     FZ(z)=PZz=PX2+Y2z.當(dāng)z<0時，F(xiàn)Z(z)=P()=0;當(dāng)z0時， 

39、;   FZ(z)=PX2+Y2z2=x2+y2z2f(x,y)dxdy         =12x2+y2z2e-x2+y22dxdy=1202d0ze-22d     =0ze-22d=1-e-z22.故Z的分布函數(shù)為                 

40、60;     FZ(z)=1-e-z22,z00,z<0.Z的分布密度為                      fZ(z)=ze-z22,z>00,z0.習(xí)題5設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為          

41、      f(x,y)=12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)問X和Y是否相互獨立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=-+f(x,y)dy         =0+12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x0         under2line令x+y=tx+12te-tdt=12(x+1)e

42、-x,x>00,x0,由對稱性知fY(y)=12(y+1)e-y,y>00,y0, 顯然            f(x,y)fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X與Y不獨立.(2)用卷積公式求fZ(z)=-+f(x,z-x)dx.當(dāng)x>0z-x>0 即 x>0x<z時，f(x,z-x)0, 所以當(dāng)z0時，fZ(z)=0;當(dāng)z>0時，fZ(z)=0z12xe-xdx=12z2e-

43、z.于是，Z=X+Y的概率密度為             fZ(z)=12z2e-z,z>00,z0.習(xí)題6設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨立，若X服從(0,1)上的均勻分布，Y服從參數(shù)1的指數(shù)分布，求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度.解答：據(jù)題意，X,Y的概率密度分布為            fX(x)=1,0<x<10,其它, f

44、Y(y)=e-y,y00,y<0,由卷積公式得Z=X+Y的概率密度為    fZ(z)=-+fX(x)fY(z-x)dx=-+fX(z-y)fY(y)dy         =0+fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可見：當(dāng)z0時，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=0+0e-ydy=0;當(dāng)z>0時，     fZ(z)=0+fX(z-y)e-yd

45、y=max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即                fZ(z)=0,z01-e-z,0<z1e1-z-e-z,z>1.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=be-(x+y),0<x<1,0<y<+,0,其它.（1）試確定常數(shù)b；（2）求邊緣概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函數(shù)U=maxX,Y的分布函數(shù).解答：（1）由-+-+f

46、(x,y)dxdy=1，確定常數(shù)b.           01dx0+be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，從而              f(x,y)=11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+,0,其它.（2）由邊緣概率密度的定義得    

47、0;    fX(x)=0+11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，          fY(x)=0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+,0,其它（3）因為f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X與Y獨立，故          FU(u)=PmaxX,Yu=PXu,Yu=FX(u)F

48、Y(u)，其中    FX(x)=0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以        FX(x)=0,x0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x1.同理FY(y)=0ye-tdt=1-e-y,0<y<+,0,y0，因此     FU(u)=0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0u<1,1-e-u,u1.習(xí)題8設(shè)系統(tǒng)L是由兩個相互獨立的子系統(tǒng)L1

49、和L2以串聯(lián)方式聯(lián)接而成，L1和L2的壽命分別為X與Y, 其概率密度分別為        1(x)=e-x,x>00,x0, 2(y)=e-y,y>00,y0,其中>0,>0, 試求系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度.解答：設(shè)Z=minX,Y, 則    F(z)=PZz=Pmin(X,Y)z        =1-Pmin(X,Y)>z=1-PXz

50、,Yz        =1-1PX<z1-PY<z=1-1-F1z1-F2z  由于 F1(z)=0ze-xdx=1-e-z,z00,z<0,    F2(z)=1-e-z,z00,z<0, 故    F(z)=1-e-(+)z,z00,z<0,從而       (z)=(+)e-(+)z,z>00,z0.習(xí)題9設(shè)隨機(jī)變量

51、X,Y相互獨立，且服從同一分布，試證明：                Pa<minX,Yb=PX>a2-PX>b2.解答：設(shè)minX,Y=Z,則    Pa<minX,Yb=FZ(b)-FZ(a),    FZ(z)=PminX,Yz=1-PminX,Y>z      

52、;   =1-PX>z,Y>z=1-PX>zPY>z         =1-PX>z2,代入得    Pa<minX,Yb=1-PX>b2-(1-PX>a2)                   

53、60;    =PX>a2-PX>b2.證畢. 復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答習(xí)題1在一箱子中裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中取兩次，每次任取一只，考慮兩種試驗：(1)放回抽樣；(2)不放回抽樣.我們定義隨機(jī)變量X,Y如下：X=0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y=0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,試分別就(1),(2)兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律.解答：(1)有放回抽樣，(X,Y)分布律如下：PX=0,Y=0=10×1012×12=2536; PX=1,Y=0=2×1012&#

54、215;12=536,PX=0,Y=1=10×212×12=536, PX=1,Y=1=2×212×12=136,(2)不放回抽樣，(X,Y)的分布律如下：PX=0,Y=0=10×912×11=4566, PX=0,Y=1=10×212×11=1066,PX=1,Y=0=2×1012×11=1066, PX=1,Y=1=2×112×11=166,Y X  01   01 45/6610/6610/661/6

55、6 習(xí)題2假設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，隨機(jī)變量 Xk=0,若Yk1,若Y>k(k=1,2),求(X1,X2)的聯(lián)合分布率與邊緣分布率.解答：因為Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，X1=0,若Y11,若Y>1, 所以有 PX1=1=PY>1=1+e-ydy=e-1, PX1=0=1-e-1,同理 PX2=1=PY>2=2+e-ydy=e-2, PX2=0=1-e-2,因為 PX1=1,X2=1=PY>2=e-2， PX1=1,X2=0=PX1=1-PX1=1,X2=1=e-1-e-2, PX1=0,X2=0=PY1=1-e-1, PX1=0,X2=1=P

56、X1=0-PX1=0,X2=0=0,故(X1,X2)聯(lián)合分布率與邊緣分布率如下表所示：X1slashX201PX1=i01-e-101-e-11e-1-e-2e-2e-1PX2=j1-e-2e-2 習(xí)題3在元旦茶話會上，每人發(fā)給一袋水果，內(nèi)裝3只橘子，2只蘋果，3只香蕉. 今從袋中隨機(jī)抽出4只，以X記橘子數(shù)，Y記蘋果數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布.解答：X可取值為0,1,2,3,Y可取值0,1,2. PX=0,Y=0=P=0, PX=0,Y=1=C30C21C33/C84=2/70, PX=0,Y=2=C30C22C32/C84=3/70, PX=1,Y=0=C31C20C33/C84=

57、3/70, PX=1,Y=1=C31C21C32/C84=18/70, PX=1,Y=2=C31C22C31/C84=9/70, PX=2,Y=0=C32C20C32/C84=9/70, PX=2,Y=1=C32C21C31/C84=18/70, PX=2,Y=2=C32C22C30/C84=3/70, PX=3,Y=0=C33C20C31/C84=3/70, PX=3,Y=1=C33C21C30/C84=2/70, PX=3,Y=2=P=0,所以，(X,Y)的聯(lián)合分布如下：XY   0123   012 03/709/70

58、3/702/7018/7018/702/703/709/703/700習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立，下表列出了二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律及關(guān)于X與Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處：XY y1 y2 y3 pi  x1 1/8    x21/8     pj1/6   1 解答：由題設(shè)X與Y相互獨立，即有 pij=pipj(i=1,2;j=1,2,3), p1-p2

59、1=p11=16-18=124,又由獨立性，有 p11=p1p1=p116故p1=14.從而p13=14-124-18, 又由p12=p1p2, 即18=14p2.從而p2=12. 類似的有 p3=13,p13=14,p2=34.將上述數(shù)值填入表中有XY y1 y2 y3 pi  x11/24 1/8 1/12 1/4  x21/8 3/8 1/4 3/4  pj1/6 1/2 1/3 1 習(xí)題5

60、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布如下表：求：(1)a值； (2)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)； (3)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布函數(shù)FX(x)與FY(y).解答：(1)because由分布律的性質(zhì)可知ijPij=1, 故14+14+16+a=1,a=13.(2)因F(x,y)=PXx,Yy當(dāng)x<1或y<-1時，F(xiàn)(x,y)=0;當(dāng)1x<2,-1y<0時，F(xiàn)(x,y)=PX=1,Y=-1=1/4;當(dāng)x2,-1y<0時， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1=5/12;當(dāng)1x<2,y>0時， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX

61、=1,Y=0=1/2;當(dāng)x2,y0時， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1 +PX=1,Y=0+PX=2,Y=0 =1;綜上所述，得(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x,y)=0,x<1或y<-11/4,1x<2,-1y<05/12,x2,-1y<01/2,1x<2,y01,x2,y0.(3)由FX(x)=PXx,Y<+=xi<xj=1+pij, 得(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為： FX(x)=0,x<114+14,1x<214+14+16+13,x2=0,x<11/2,1x<21,x2,同理，由FY(y)

62、=PX<+,Yy=yiyi=1+Pij, 得(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為 FY(y)=0,y<-12/12,-1y<01,y0.習(xí)題6設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f(x,y)=c(R-x2+y2),x2+y2<R0,x2+y2R,求：(1)常數(shù)c; (2)PX2+Y2r2(r<R).解答：(1)因為 1=-+-+f(x,y)dydx=x2+y2<Rc(R-x2+y)dxdy =020Rc(R-)dd=cR33,所以有c=3R3.(2)PX2+Y2r2=x2+y2<r23R3R-x2+y2dxdy =020r3R3(R-)dd=3r2R2(

63、1-2r3R).習(xí)題7設(shè)f(x,y)=1,0x2,max(0,x-1)ymin(1,x)0,其它, 求fX(x)和fY(y).解答： max(0,x-1)=0,x<1x-1,x1, min(1,x)=x,x<11,x1,所以，f(x,y)有意義的區(qū)域(如圖)可分為 0x1,0yx,1x2,1-xy1,即f(x,y)=1,0x1,0yx1,1x2,x-1y1,0,其它 所以 fX(x)=0xdy=x,0x<1x-11dy=2-x,1x20,其它, fY(y)=yy+1dx=1,0y10,其它.習(xí)題8若(X,Y)的分布律為則,應(yīng)滿足的條件是¯, 若X與Y獨立，則=

64、75;,=¯.解答：應(yīng)填+=13;29;19.由分布律的性質(zhì)可知ijpij=1, 故 16+19+118+13+=1,即+=13.又因X與Y相互獨立，故PX=i,Y=j=PX=iPY=j, 從而 =PX=2,Y=2=PX=iPY=j, =(19+)(14+)=(19+)(13+13)=29, =PX=3,Y=2=PX=3PY=2 =(118+)(13+)=(118+)(13+13)， =19.習(xí)題9設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為 f(x,y)=ce-(2x+y),x>0,y>00,其它,(1)確定常數(shù)c; (2)求X,Y的邊緣概率密度函數(shù)；(3)求聯(lián)合分布函數(shù)F

65、(x,y); (4)求PYX;(5)求條件概率密度函數(shù)fXY(xy); (6)求PX<2Y<1.解答：(1)由-+-+f(x,y)dxdy=1求常數(shù)c. 0+0+ce-(2x+y)dxdy=c(-12e-2x)vline0+(-e-y)0+=c2=1,所以c=2.(2)fX(x)=-+f(x,y)dy=0+2e-2xe-ydy,x>00,x0=2e-2x,x>00,x0,fY(y)=-+f(x,y)dx=0+2e-2xe-ydx,y>00,其它=e-y,y>00,y0.(3)F(x,y)=-x-yf(u,v)dvdu =0x0y2e-2ue-vdvdu,x&

66、gt;0,y>00,其它 =(1-e-2x)(1-e-y),x>0,y>00,其它.(4)PYX=0+dx0x2e-2xe-ydy=0+2e-2x(1-e-x)dx=13.(5)當(dāng)y>0時， fXY(xy)=f(x,y)fY(y)=2e-2xe-ye-y,x>00,x0=2e-2x,x>00,x0.(6)PX<2Y<1=PX<2,Y<1PY<1 =F(2,1)01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.習(xí)題10設(shè)隨機(jī)變量X以概率1取值為0, 而Y是任意的隨機(jī)變量，證明X與Y相互獨立.解答：因為X的分布函數(shù)

67、為F(x)=0,當(dāng)x<0時1,當(dāng)x0時, 設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y),(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，則當(dāng)x<0時，對任意y, 有 F(x,y)=PXx,Yy=P(Xx)(Yy) =P(Yy)=P=0=FX(x)FY(y);當(dāng)x0時，對任意y, 有 F(x,y)=PXx,Yy=P(Xx)(Yy) =PS(Yy)=PYy=Fy(y)=FX(x)FY(y),依定義，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知，X與Y獨立.習(xí)題11設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的兩個分量X和Y相互獨立，且服從同一分布，試證PXY=1/2.解答：因為X,Y獨立，所以f(x,y)=fX(x)fY(y). PXY=

68、xyf(x,y)dxdy=xyfX(x)fY(y)dxdy =-+fY(y)-yfX(x)dxdy=-+fY(y)FY(y)dy =-+FY(y)dFY(y)=F2(y)2-+=12,也可以利用對稱性來證，因為X,Y獨立同分布，所以有 PXY=PYX,而PXY+PXY=1, 故 PXY=1/12.習(xí)題12設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為若X與Y相互獨立，求參數(shù)a,b,c的值.解答：關(guān)于X的邊緣分布為X  x1x2x3 pka+1/9b+1/9c+1/3 關(guān)于Y的邊緣分布為Y    y1y2 pk1/

69、9+a+c4/9+b 由于X與Y獨立，則有p22=p2p2 得 b=(b+19)(b+49) p12=p1p2 得 19=(a+19)(b+49) 由式得b=29, 代入式得a=118. 由分布律的性質(zhì)，有a+b+c+19+19+13=1,代入a=118,b=29, 得c=16.易驗證，所求a,b,c的值，對任意的i和j均滿足pij=pi×pj.因此，所求a,b,c的值為a=118,b=29,c=16.習(xí)題13已知隨機(jī)變量X1和X2的概率分布為且PX1X2=0=1.(1)求X1和X2的聯(lián)合分布律； (2)問X1和X2是否獨立？解答：(1)本題是已知了X1與X2的邊緣分布律，

70、再根據(jù)條件PX1X2=0=1, 求出聯(lián)合分布. 列表如下：X2X1-101 PX2=j    01 1/401/401/20   1/21/2PX1=i 1/41/21/4     1由已知PX1X2=0=1, 即等價于PX1X20=0, 可知PX1=1,X2=1=0,PX1=-1,X2=1=0.再由p1=p-11+p11+p01, 得p01=12, p-10=p-1=p-11=14,p10=p1-p11=14,從而得p00=0.(2)由于p-10=14p-1p0=1412=18, 所以知X1與X2不獨立.習(xí)題14設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)=1R2,x2+y2R20,其它,(1)求X與Y的邊緣概率密度；(2)求條件概率密度，并問X與Y是否獨立？解答：(1)當(dāng)x<-R或x>R時，fX(x)=-+f(x,y)dy=-+0dy=0;當(dāng)-RxR時，fX(x)=-+f(x,y)dy=1R2-R2-x2R2-x2dy=2R2R2-