概率論課后題答案整理參考

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評與關(guān)注！ 概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題及答案第一章6.設(shè)A，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率.【解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=+-=8.對一個五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題：（1） 求五個人的生日都在星期日的概率； （2） 求五個人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五個人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 設(shè)A1=五個人的生日都在星期日，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個，故 P（

2、A1）=（）5 （亦可用獨立性求解，下同）（2） 設(shè)A2=五個人生日都不在星期日，有利事件數(shù)為65，故P（A2）=()5(3) 設(shè)A3=五個人的生日不都在星期日P（A3）=1-P(A1)=1-()515.擲一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)3次正面才停止.（1） 問正好在第6次停止的概率；（2） 問正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率.【解】（1） (2) 18.某地某天下雪的概率為0.3，下雨的概率為0.5，既下雪又下雨的概率為0.1,求：（1） 在下雨條件下下雪的概率；（2） 這天下雨或下雪的概率.【解】 設(shè)A=下雨，B=下雪.（1） （2） 19.已知一個家庭有3個小孩，且其中一個為女孩

3、，求至少有一個男孩的概率（小孩為男為女是等可能的）.【解】 設(shè)A=其中一個為女孩，B=至少有一個男孩，樣本點總數(shù)為23=8，故或在縮減樣本空間中求，此時樣本點總數(shù)為7.20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半）.【解】 設(shè)A=此人是男人，B=此人是色盲，則由貝葉斯公式 23.設(shè)P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（BA）【解】 24.在一個盒中裝有15個乒乓球，其中有9個新球，在第一次比賽中任意取出3個球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個球，求第二次取出的3個球均為新球的概率.

4、【解】 設(shè)Ai=第一次取出的3個球中有i個新球，i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均為新球由全概率公式，有 25. 按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的，試問：（1）考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？（2）考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？【解】設(shè)A=被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的，則=被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的.由題意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又設(shè)B=被調(diào)查學(xué)生考試及格.由題意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由貝葉斯公式知（1） 即考試及格的學(xué)生中不努

5、力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%(2) 即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.26. 將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為21.若接收站收到的信息是A，試問原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】 設(shè)A=原發(fā)信息是A，則=原發(fā)信息是BC=收到信息是A，則=收到信息是B由貝葉斯公式，得 28.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時，一個合格品被誤認為是次品的概率為0.02，一個次品被誤認為是合格品的概率為0.05，求在被檢查后認為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】 設(shè)A=產(chǎn)品確為合格品，B

6、=產(chǎn)品被認為是合格品由貝葉斯公式得 29.某保險公司把被保險人分為三類：“謹慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；如果“謹慎的”被保險人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，現(xiàn)知某被保險人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹慎的”的概率是多少？【解】 設(shè)A=該客戶是“謹慎的”，B=該客戶是“一般的”，C=該客戶是“冒失的”，D=該客戶在一年內(nèi)出了事故則由貝葉斯公式得 30.加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互獨立的，求加工出來

7、的零件32.證明：若P（AB）=P(A)，則A，B相互獨立.【證】 即亦即 因此 故A與B相互獨立.33.三人獨立地破譯一個密碼，他們能破譯的概率分別為，求將此密碼破譯出的概率.【解】 設(shè)Ai=第i人能破譯（i=1,2,3），則 34.甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7，若只有一人擊中，則飛機被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機一定被擊落，求：飛機被擊落的概率.【解】設(shè)A=飛機被擊落，Bi=恰有i人擊中飛機，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.4×0.5×0.3+0.6×

8、;0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45857.設(shè)有來自三個地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報名表，其中女生的報名表分別為3份、7份和5份.隨機地取一個地區(qū)的報名表，從中先后抽出兩份.（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】設(shè)Ai=報名表是取自第i區(qū)的考生，i=1,2,3.Bj=第j次取

9、出的是女生表，j=1,2.則 (1) (2) 而 故 習(xí)題二1.一袋中有5只乒乓球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律.【解】故所求分布律為X345P0.10.30.62.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個數(shù)，求：（1） X的分布律；（2） X的分布函數(shù)并作圖；(3).【解】故X的分布律為X012P（2） 當x<0時，F(xiàn)（x）=P（Xx）=0當0x<1時，F(xiàn)（x）=P（Xx）=P(X=0)= 當1x<2時，F(xiàn)（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X

10、=1)=當x2時，F(xiàn)（x）=P（Xx）=1故X的分布函數(shù)(3) 3.射手向目標獨立地進行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】設(shè)X表示擊中目標的次數(shù).則X=0，1，2，3.故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數(shù)4.（1） 設(shè)隨機變量X的分布律為PX=k=，其中k=0，1，2，0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.（2） 設(shè)隨機變量X的分布律為PX=k=a/N， k=1，2，N，試確定常數(shù)a.【解】（1） 由分布律的性質(zhì)知故 (2) 由分布律的性質(zhì)知即 .5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.

11、6,0.7,今各投3次，求：（1） 兩人投中次數(shù)相等的概率;（2） 甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則Xb（3，0.6）,Yb(3,0.7)(1) + (2) =0.24315.已知隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=Ae-|x|, -<x<+,求：（1）A值；（2）P0<X<1; (3) F(x).【解】（1） 由得故 .(2) (3) 當x<0時，當x0時， 故 16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求：（1） 在開始150小時內(nèi)沒有電子管損壞的概率；（2） 在這段時間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；

12、（3） F（x）.【解】（1） (2) (3) 當x<100時F（x）=0當x100時 故 18.設(shè)隨機變量X在2，5上服從均勻分布.現(xiàn)對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率.【解】XU2,5，即故所求概率為21.設(shè)XN（3，22），（1） 求P2<X5，P-4<X10，PX2，PX3;（2） 確定c使PXc=PXc.【解】（1） (2) c=324.設(shè)隨機變量X分布函數(shù)為F（x）=（1） 求常數(shù)A，B；（2） 求PX2，PX3；（3） 求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2） (3) 25.設(shè)隨機變量X的概率密度為f（x）=求X的分布函數(shù)F（x），并畫出f

13、（x）及F（x）.【解】當x<0時F（x）=0當0x<1時 當1x<2時 當x2時故 28.設(shè)隨機變量X的分布律為X-2 -1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/3029.設(shè)PX=k=()k, k=1,2,令 求隨機變量X的函數(shù)Y的分布律.【解】 30.設(shè)XN（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=X的概率密度.【解】（1） 當y0時，當y>0時， 故 (2)當y1時當y>

14、1時 故 (3) 當y0時當y>0時 故31.設(shè)隨機變量XU（0,1），試求：（1） Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；（2） Z=-2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】（1） 故 當時當1<y<e時當ye時即分布函數(shù)故Y的密度函數(shù)為（2） 由P（0<X<1）=1知當z0時，當z>0時， 即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為32.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】當y0時，當0<y<1時， 當y1時，故Y的密度函數(shù)為習(xí)題三1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值

15、.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2紅,2白)=04.設(shè)隨機變量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1） 常數(shù)A；（2） 隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)；（3） P0X<1，0Y<2.【解】（1） 由得 A=12（2） 由定義，有 (3) 5.設(shè)隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 確定常數(shù)k；（2） 求PX1，Y3；（3）

16、求PX<1.5；（4） 求PX+Y4.【解】（1） 由性質(zhì)有故 （2） (3) (4) 題5圖8.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】 題8圖 題9圖9.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】 12.袋中有五個號碼1，2，3，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X，最大的號碼為Y.（1） 求X與Y的聯(lián)合概率分布；（2） X與Y是否相互獨立？【解】（1） X與Y的聯(lián)合分布律如下表YX345120300(2) 因故X與Y不獨立13.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為XY2 5 80.40.80.15 0.3

17、0 0.350.05 0.12 0.03（1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；（2） X與Y是否相互獨立？【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故X與Y不獨立.16.設(shè)某種型號的電子管的壽命（以小時計）近似地服從N（160，202）分布.隨機地選取4 只，求其中沒有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則XiN（160，202），從而 19.設(shè)隨機變量（X，Y）的分布律為XY0 1 2 3 4 501230 0.01 0.03 0.05 0.0

18、7 0.090.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求PX=2Y=2，PY=3X=0；（2） 求V=max（X，Y）的分布律；（3） 求U=min（X，Y）的分布律；（4） 求W=X+Y的分布律.【解】（1） （2） 所以V的分布律為V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3) 于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)類似上述過程，有W=X+Y012345678P00.020.060

19、.130.190.240.190.120.0522.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，下表列出了二維隨機變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分數(shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處. XYy1 y2 y3PX=xi=pix1x21/81/8PY=yj=pj1/61【解】因,故從而而X與Y獨立，故,從而即： 又即從而同理 又,故.同理從而故YX1習(xí)題四1.設(shè)隨機變量X的分布律為X -1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1) (2) (3) 2.已知100個產(chǎn)品中有10個次品，求任意取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差.【解】設(shè)任

20、取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)為X，則X的分布律為X012345P故 5.設(shè)隨機變量X的概率密度為f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 6.設(shè)隨機變量X，Y，Z相互獨立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機變量的數(shù)學(xué)期望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ -4X.【解】(1) (2) 7.設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.【解】(1) (2) 8.設(shè)隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試確定常數(shù)k，并求E（XY）.【解】因故k=2.15.對隨機變量X和Y，已知D（

21、X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= -1,計算：Cov（3X -2Y+1，X+4Y -3）.【解】 (因常數(shù)與任一隨機變量獨立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余類似).16.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的.【解】設(shè). 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨立性，當|x|1時， 當|y|1時，.顯然故X和Y不是相互獨立的.17.設(shè)隨機變量（X，Y）的分布律為XY -1 0 1 -1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的

22、.【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨立，由聯(lián)合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律由期望定義易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.從而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知XY=0,即X與Y的相關(guān)系數(shù)為0，從而X和Y是不相關(guān)的.又從而X與Y不是相互獨立的.習(xí)題五4. 一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk（k=1，2，20），設(shè)它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間（0，10）上服從均勻分布.記V=，求PV105的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,20由中心極限定理知，隨機變量于是 7. 用Laplace中心極限定理近似計算從一批廢

23、品率為0.05的產(chǎn)品中，任取1000件，其中有20件廢品的概率.【解】令1000件中廢品數(shù)X，則p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故 10. 對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、1 名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相與獨立，且服從同一分布.（1） 求參加會議的家長數(shù)X超過450的概率？（2） 求有1名家長來參加會議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.【解】（1） 以Xi(i=1,2,400)記第i個學(xué)生來參加會議的家長數(shù).則X

24、i的分布律為Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,400.而,由中心極限定理得于是 (2) 以Y記有一名家長來參加會議的學(xué)生數(shù).則YB(400,0.8)由拉普拉斯中心極限定理得11. 設(shè)男孩出生率為0.515，求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000個嬰兒中男孩的個數(shù)，則XB（10000，0.515）要求女孩個數(shù)不少于男孩個數(shù)的概率，即求PX5000. 由中心極限定理有13. 在一定保險公司里有10000人參加保險，每人每年付12元保險費，在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.006,死亡者其家屬可向保險公司領(lǐng)得100

25、0元賠償費.求：（1） 保險公司沒有利潤的概率為多大；（2） 保險公司一年的利潤不少于60000元的概率為多大？【解】設(shè)X為在一年中參加保險者的死亡人數(shù)，則XB（10000，0.006）.(1) 公司沒有利潤當且僅當“1000X=10000×12”即“X=120”.于是所求概率為 (2) 因為“公司利潤60000”當且僅當“0X60”于是所求概率為 14. 設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都是2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為0.5試根據(jù)契比雪夫不等式給出P|X-Y|6的估計. （2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以習(xí)題六1.設(shè)總體XN（60，152），從總體X中抽取一個容量為100的樣本，求樣本