迎春杯分類一計數(shù)與數(shù)論答案及詳解_第1頁
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1、文檔供參考,可復制、編制,期待您的好評與關注! 迎春杯分類一計數(shù)與數(shù)論 答案及詳解計數(shù):1. 國際象棋中“馬”的走法如圖1所示,位于位置的“馬”只能走到標有×的格中,類似于中國象棋中的“馬走日”。如果“馬”在8×8的國際象棋棋盤中位于第一行第二列(圖2中標有的位置),要走到第八行第五列(圖2中標有的位置),最短路線有 條。(12)2.3.給你一架天平和兩個砝碼,這兩個砝碼分別重50克和100克,如果再添上3個砝碼,則這5個砝碼能稱出的重量種類最多是 種.(天平的左右兩盤均可放砝碼)【答案】94【解析】只有50,100兩種砝碼,可以組成的重量:50,100,150,即:3種,

2、當加入砝碼a,可以組成的重量:是50,100,150分別加減a,還有50,100,150本身,還要有a,所以此時有:3×3+1=10種,再加入一枚砝碼,同理:有10×3+1=31種,再加一枚:為31×3+1=94種.分析教師:辛洪濤4.將下圖中的2007分成若干個1×2的小長方形,共有 種分法.【答案】15【解析】從右下角,觀察發(fā)現(xiàn),從右向上只有唯一的分法,右面的區(qū)域只有唯一的情況.事實上只有左邊和中間的兩塊有選擇余地左邊有5種情況,中間有3種情況所以一共就有53=15種5. 已知九位數(shù)2007122既是9的倍數(shù),又是11的倍數(shù);那么,這個九位數(shù)是 。2

3、007312126. 將09填入下面算式,每個數(shù)字只能用一次;那么滿足條件的正確填法共有 種。60因為3個加數(shù)只有一個達到三位,所以結果的千位只能為1,各位可能的進位最多為2,所以十位上的和最大為9+8+2=19,進位不超過1,所以加數(shù)中三位數(shù)的百位只能為9,同時結果中的百位只能為0,因為十位必須要向百位進一位,且個位三位數(shù)之和最小為9最大為21且均不滿足題意,所以個位數(shù)必向十位進1。因此十位的數(shù)字組合只能為(3,8)(4,7)(4,8)(5,6)(5,7)(5,8)(6,7)(6,8)(7,8)一一枚舉有5組數(shù)可行:十位(3,8),個位(4,5,7);十位(4,7),個位(3,5,8);十位

4、(4,8),個位(2,6,7);十位(6,8),個位(2,4,7);十位(7,8),個位(3,4,5)。每組可能的組合有2×1×3×2×1=12種,故正確填法共有12×5=60種。7. 有10個整數(shù)克的砝碼(允許砝碼重量相同),將其中一個或幾個放在天平的右邊,待稱的物品放在天平的左邊,能稱出1,2,3,200的所有整數(shù)克的物品來;那么,這10個砝碼中第二重的砝碼最少是克?!敬鸢浮?8【解析】 首先此題是一道關于砝碼的計數(shù)問題,涉及到最值問題和對稱原理從最后所求進行分析,要求第二重的砝碼最少,無法進行直接突破,使用的是最值原理的重點思路之一:從反

5、面考慮。第二重砝碼最少,那么就應該使其他的砝碼盡量大。分析10個砝碼的總重量很顯然應該是200,其中最重的砝碼應該最大是100,因為如果有超過100克的砝碼,100克的物品就無法稱出。這樣其他9個砝碼總和應該是100克。根據(jù)對稱原理,只要懲處1克的,就可以稱出199克的(只要在200克中相應的拿出1克的就可以),所以只要能稱出1到100克就可以稱出101到199克。同理,要能稱出1到100克,只要能稱出1到50克就可以,所以要稱出1到50克,就應該有1克,2克,4克,8克,16克,18克,這樣離200克還差51克,同時還差3個砝碼,把51平均分成三份,所以每個砝碼應該是17,這樣就得到10個砝

6、碼,分別是1,2,4,8,16,17,17,17,18,100,所以第二種的砝碼至少應該是18克。8. 一些棋子被擺成了一個四層的空心方陣(右圖是一個四層空心方陣的示意圖)后來小林又添入28個棋子,這些棋子恰好變成了一個五層的空心方陣(不能移動原來的棋子),那么最開始最少有 個棋子【答案】【解析】將四層空心方陣變成五層空心方陣有三種方法:1、在最外層增加一圈則五層方陣最外層至少有40枚棋子所以不符合題意;2、在最內層增加一圈則最外層應有8×4+28=60枚棋子,最開始應有60+52+44+36=192枚棋子;3、在最內層增加一行一列,在最外層的另外兩個方向也增加一行一列,那么五層方陣

7、最內層邊長為x,最外層邊長為x+4×2=x+8共增棋子2x-3+2(x+8)-1=4x+12,所以4x+12=28,解得x=4,最外層邊長4+8=12,原有棋子122-(4-2)2-28=112,所以最開始最少有112個棋子。9. 將5枚棋子放入右側編號的4×4表格的格子中,每個格子最多放一枚,如果要求每行,每列都有棋子那么共有 種不同放法43212345678910111213141516【解析】本題采用分類、分步討論將5枚棋子放入4×4的方格中,可以發(fā)現(xiàn)不論怎么放一定會有2個棋子在一條直線上的情形,所以我們不妨先從這2個棋子開始放,選定一行有4種選法,然后在一

8、行中選定2個格子,即2列,有種選法,故填完前2個共線棋子有4×6=24種填法。如右圖示例,接下來我們填第三枚棋子,第三枚棋子填入后又會有2種情形出現(xiàn):(1) 第三枚棋子與2個所在的列共線:那么第三枚棋子共有6個格子可以填,即6種填法。而最后2枚棋子只可能成對填入2個圓圈或2個中,則此類情況共種(2) 第三枚棋子與前2個所在的列不共線那么第三枚棋子也有6種填法,而最后的2枚棋子必須填入同一列, 共有種 答案 288+144=43210. 對于由15組成的無重復數(shù)字的五位數(shù),如果它的首位數(shù)字不是1,那么可以進行如下的一次置換操作:記首位數(shù)字為k,則將數(shù)字k與第k位上的數(shù)字對換例如,245

9、13可以進行兩次置換:245134251312543可以進行4次置換的五位數(shù)有個【答案】24【解析】 經過4次置換后最后結果必為12345,所以可進行4次置換的五位數(shù)可由12345進行4次首位與其他位的調換得到,規(guī)則為從首位上調換出的數(shù)不能再與首位調換,那么這樣的調換方法共有種,即可進行4次置換的五位數(shù)有24個。數(shù)論:1.2.3. 一個五位數(shù)恰好等于它各位數(shù)字和的2007倍,則這個五位數(shù)是 .36126或541894.在紙上寫著一列自然數(shù)1,2,98,99.一次操作是指將這列數(shù)中最前面的三個數(shù)劃去,然后把這三個數(shù)的和寫在數(shù)列的最后面.例如一次操作后得到4,5,98,99,6;而兩次操作后得到7

10、,8,98,99,6,15.這樣不斷進行下去,最后將只剩下一個數(shù),則最后剩下的數(shù)是 .49505. 有4個不同的數(shù)字共可組成18個不同的4位數(shù).將這18個不同的4位數(shù)由小到大排成一排,其中第一個是一個完全平方數(shù),倒數(shù)第二個也是完全平方數(shù),則這18個數(shù)中最大的數(shù)是 .98106.有4個不同的數(shù)字共可組成18個不同的4位數(shù)。將這18個不同的4位數(shù)由小到大排成一排,其中第一個是一個完全平方數(shù),倒數(shù)第二個也是完全平方數(shù)。那么這18個數(shù)的平均數(shù)是: 。64447. 如果兩個合數(shù)互質,它們的最小公倍數(shù)是126,那么,它們的和是 238. 從1,2,3,4,5,6中選取若干個數(shù),使得它們的和是3的倍數(shù),但不

11、是5的倍數(shù)那么共有 種不同的選取方法19取出的和的可能為3、6、9、12、18、21。和為3的有1+2、3,共2種;和為6的有1+5、2+4、1+2+3、6,共4種;和為9的有3+6、4+5、1+2+6、1+3+5、2+3+4,共5種;于所有數(shù)之和為21,所以和為12與和為9的情況相同(和為12的數(shù)即為除和為9之外的數(shù))共5種,同理 3的情況相同,共2種,和為21的有1種,因此共有2+4+5+5+2+1=19種。9. 將數(shù)字4,5,6,7,8,9各使用一次,組成一個被667整除的6位數(shù),那么,這個6位數(shù)除以667的結果是 【答案】【解析】因為是3的倍數(shù)所以此六位數(shù)是3和667的公倍數(shù),且3&#

12、215;667=2001,所以此六位數(shù)是2001的倍數(shù)我們發(fā)現(xiàn)六位數(shù)中2001倍數(shù)的特征為:前三位是后三位的2倍。所以下面將六位數(shù)分成2段,根據(jù)倍數(shù)關系驗證即可,結果為956478.10. 200名同學編為1至200號面向南站成一排第1次全體同學向右轉(轉后所有的同學面朝西);第2次編號為2 的倍數(shù)的同學向右轉;第3次編號為3的倍數(shù)的同學向右轉;第200次編號為200的倍數(shù)的同學向右轉;這時,面向東的同學有 名【答案】8【解析】因為開始所有人面向南,最后的結果是面向東,所以轉3、7、11次的人即為所求。根據(jù)題意,編號有幾個約數(shù)就向右轉幾次,那么最后面向東面的數(shù)必是奇數(shù)個數(shù)的倍數(shù),即這個數(shù)的約數(shù)

13、是奇數(shù)個,且個數(shù)為4n+3。哪些數(shù)的約數(shù)是奇數(shù)個呢?由于是奇數(shù)個約數(shù),這些數(shù)一定是平方數(shù)。如:4的約數(shù)有1、2、4三個;9的約數(shù)有1、3、9三個;25的約數(shù)有1、5、25三個,64的約數(shù)有1、2、4、8、16、32、64七個但是:如平方數(shù)16既是1、4、16的倍數(shù),還是2、8的倍數(shù),即16的約數(shù)有5個,不符合個數(shù)為4n+3這一要求。所以要刪除。以下這些數(shù)是最后面向東面的同學:4、9、25、49、64、121、144、169。共8位同學。11. 在算式(AB)(CD)中,,代表的是三個互不相同的四則運算符號(即加、減、乘、除),A,B,C,D是4個互不相同的非零阿拉伯數(shù)字如果無論,具體代表的是哪三個互不相同的四則運算符號,(AB)(CD)的計算結果都是整數(shù)那么,四位數(shù)是 【答案】9321【解析】本題中主要會出現(xiàn)非整數(shù)的原因就是÷的位置,所以只需要考慮÷出現(xiàn)在什么地方。當是÷時,就需要A一定是B的倍數(shù),同理C一定是D的倍數(shù),最后只要AB的結果也是CD的倍數(shù)即可。本題嚴密的推理論證過程相對復雜,因為數(shù)字比較小,不妨采用符合前一組條件的數(shù)枚舉嘗試便容易得到答案 12. 如

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