世紀金榜2014年高中數(shù)學 2.2 三角形中的幾何計算同步課件 北師大版必修5

1、1.1.用正弦定理、余弦定理等知識、方法解決一些三角形幾用正弦定理、余弦定理等知識、方法解決一些三角形幾何計算問題何計算問題.(.(重點重點) )2.2.在理解題意的基礎(chǔ)上將實際問題數(shù)學化在理解題意的基礎(chǔ)上將實際問題數(shù)學化.(.(難點難點) )3.3.利用正、余弦定理進行邊角互化及正、余弦定理與有關(guān)利用正、余弦定理進行邊角互化及正、余弦定理與有關(guān)性質(zhì)的綜合應用是本節(jié)課的難點性質(zhì)的綜合應用是本節(jié)課的難點. .（難點、易混點）（難點、易混點）一、正、余弦定理可解決的問題一、正、余弦定理可解決的問題1.1.正弦定理可解決的兩類問題：正弦定理可解決的兩類問題：（1 1）已知三角形的兩邊及其中一邊的對角

2、解三角形）已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形. .（2 2）已知三角形的兩角和任一邊解三角形）已知三角形的兩角和任一邊解三角形. .2.2.余弦定理可解決的兩類問題：余弦定理可解決的兩類問題：（1 1）已知三角形的兩邊和它們的夾角解三角形）已知三角形的兩邊和它們的夾角解三角形. .（2 2）已知三角形的三邊解三角形）已知三角形的三邊解三角形. . 已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形，能已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形，能用余弦定理解決嗎？用余弦定理解決嗎？提示：提示：可行可行. .例如在例如在ABCABC中，已知中，已知a,ba,b和和A A解三角形，可以解三角形，可以根據(jù)

3、余弦定理得根據(jù)余弦定理得a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA列出關(guān)于列出關(guān)于c c的一元二次方的一元二次方程求程求c.c. 關(guān)于三角形中的幾何計算：關(guān)于三角形中的幾何計算：三角形中幾何計算問題，主要是利用正、余弦定理求三角三角形中幾何計算問題，主要是利用正、余弦定理求三角形的邊長、面積、角度等問題，正弦定理和余弦定理的應形的邊長、面積、角度等問題，正弦定理和余弦定理的應用并不是孤立的，解題時要根據(jù)題目條件合理選用，有時用并不是孤立的，解題時要根據(jù)題目條件合理選用，有時還要交替使用，三角形中的幾何計算問題有時還要和三角還要交替使用，三角形中的幾何計算問題有時還

4、要和三角函數(shù)聯(lián)系起來函數(shù)聯(lián)系起來. . 二、三角形面積公式二、三角形面積公式1.S= (h1.S= (ha a、h hb b、h hc c分別表示分別表示a a、b b、c c邊上邊上的高的高) )2.S= absinC= bcsinA= acsinB2.S= absinC= bcsinA= acsinB3.S= r(a+b+c)3.S= r(a+b+c)（r r為內(nèi)切圓半徑）為內(nèi)切圓半徑）4.S= 4.S= （p= p= 為三角形的半周長）為三角形的半周長） abc111a hb hc h22212121212p papb (pc)abc2 三角形中與長度有關(guān)的問題三角形中與長度有關(guān)的問題

5、三角形中與長度有關(guān)的問題的求解思路三角形中與長度有關(guān)的問題的求解思路解決三角形中與長度有關(guān)的問題，若在一個三角形中，則解決三角形中與長度有關(guān)的問題，若在一個三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個三直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個三角形中，要根據(jù)條件選擇適當?shù)娜切危倮谜?、余弦角形中，要根?jù)條件選擇適當?shù)娜切?，再利用正、余弦定理求解定理求? . 方程思想是求解長度問題常用的思想方法方程思想是求解長度問題常用的思想方法. .【例例1 1】在在ABCABC中，中，AB=5AB=5，AC=4AC=4，D D為為BCBC中點，且中點，且AD=4AD=4，求，

6、求BCBC邊長邊長. .【審題指導審題指導】設設BCBC邊長為邊長為x x，因為，因為D D為為BCBC中點，則中點，則BDBD、DCDC可可表示為表示為 ，利用余弦定理建立關(guān)于，利用余弦定理建立關(guān)于x x的方程，然后再利用互的方程，然后再利用互補角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程求解補角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程求解. .x2【規(guī)范解答規(guī)范解答】設設BCBC邊長為邊長為x x，則由，則由D D為為BCBC中點，可得中點，可得BD=DC= BD=DC= ，在在ADBADB中，中，cosADB=cosADB=在在ADCADC中，中，cosADC=cosADC=x2222222x45ADBD

7、AB2.x2AD BD2 42 （ ）222222x44ADDCAC2x2AD DC242 （）又又ADBADBADC=180ADC=180cosADB=coscosADB=cos（180180-ADC-ADC）=-cosADC.=-cosADC.解得，解得，x=x=所以，所以，BCBC邊長為邊長為 . . 222222xx454422xx2 42 422 （）（）3 23 2【互動探究互動探究】在本例中，若把條件在本例中，若把條件ACAC4 4改為改為BDBD2,2,其他條其他條件不變，求件不變，求ACAC邊長邊長. .【解析解析】由題意可得由題意可得cosADB=cosADB=又又ADB+

8、ADCADB+ADC,cosADC=-cosADB= ,cosADC=-cosADB= ,222BDADAB4 16252BD AD2 2 4 5,16 516根據(jù)余弦定理得根據(jù)余弦定理得ACAC2 2ADAD2 2+DC+DC2 2-2ADDCcosADC-2ADDCcosADC=16+4-2=16+4-24 42 2=15,=15,AC= .AC= .51615 三角形中與面積有關(guān)的問題三角形中與面積有關(guān)的問題 三角形面積公式的應用三角形面積公式的應用（1 1）三角形面積公式的選取取決于三角形中哪個角可求，）三角形面積公式的選取取決于三角形中哪個角可求，或三角形中哪個角的正弦值可求或三角形

9、中哪個角的正弦值可求. .（2 2）在解決三角形問題時，面積公式）在解決三角形問題時，面積公式S= absinC=S= absinC= acsinB= bcsinA acsinB= bcsinA最常用，因為公式中既有角又有邊，容最常用，因為公式中既有角又有邊，容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來. .121212 解題時要準確把握條件，合理選擇面積公式解題時要準確把握條件，合理選擇面積公式. .【例例2 2】在在ABCABC中，已知中，已知tanB= ,cosC= ,AC= tanB= ,cosC= ,AC= ，求，求ABCABC的面積的面積. .【審題指導審題指導】

10、本題可利用正弦定理和三角公式進行恒等變本題可利用正弦定理和三角公式進行恒等變換求換求c c、A A，再利用三角形面積公式，再利用三角形面積公式S SABCABC= bcsinA= bcsinA求解求解. .3133 612【規(guī)范解答規(guī)范解答】設設ABAB、BCBC、CACA的長分別為的長分別為c c、a a、b b，由由tanB= ,tanB= ,得得B=60B=60,sinB= ,cosB= .,sinB= ,cosB= .又又sinC= ,sinC= ,應用正弦定理應用正弦定理sinA=sinsinA=sin（B+CB+C）=sinBcosC+cosBsinC.=sinBcosC+cosB

11、sinC.故所求面積故所求面積S SABCABC= =3321222 21 cos C32 23 6bsinC3c8.sinB321bcsinA6 28 3.23112 232 2.23236【變式訓練變式訓練】在在ABCABC中，中，a=2,C= a=2,C= ，求求ABCABC的面積的面積S.S.【解析解析】由題意，得由題意，得cosB=2coscosB=2cos2 2B B為銳角，為銳角，sinB=sinB=sinA=sinsinA=sin（B+CB+C）=sinBcos +cosBsin =sinBcos +cosBsin =由正弦定理得由正弦定理得c=c=S=S=4B2 5cos25

12、，B3125 ，45，447 2,10asinC10,sinA7111048acsinB2.22757 三角形中的綜合問題三角形中的綜合問題 解三角形綜合問題的方法解三角形綜合問題的方法（1 1）三角形中的綜合應用問題常常把正弦定理、余弦定理、）三角形中的綜合應用問題常常把正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換等知識聯(lián)系在一起三角形面積公式、三角恒等變換等知識聯(lián)系在一起. .（2 2）此類問題常以三角形為載體，以正、余弦定理，三角）此類問題常以三角形為載體，以正、余弦定理，三角形面積公式為工具綜合考查，解題時要正確形面積公式為工具綜合考查，解題時要正確“翻譯翻譯”題目題目條件，選擇合

13、適的公式或定理條件，選擇合適的公式或定理. .【例例3 3】在在ABCABC中，角中，角A A、B B、C C所對的邊分別為所對的邊分別為a a，b b，c c，設設S S為為ABCABC的面積，滿足的面積，滿足S S (a(a2 2+b+b2 2-c-c2 2).).（1 1）求角）求角C C的大小；的大小；（2 2）求）求sinA+sinBsinA+sinB的最大值的最大值. .【審題指導審題指導】利用面積公式求角利用面積公式求角C C，再利用三角形的內(nèi)角和，再利用三角形的內(nèi)角和定理和兩角和的正弦公式化簡求最大值定理和兩角和的正弦公式化簡求最大值. .34【規(guī)范解答規(guī)范解答】（1 1）由題

14、意可知）由題意可知 2abcosC.2abcosC.所以所以tanC= ,tanC= ,因為因為0 0C C,所以所以C C . .(2)(2)由已知由已知sinA+sinBsinA+sinB=sinA+sin(-A- )=sinA+sin( -A)=sinA+sin(-A- )=sinA+sin( -A)=sinA+=sinA+= sin(A+ ) (0= sin(A+ ) (0A A ) )當當A A 時，即時，即ABCABC為等邊三角形時取等號為等邊三角形時取等號所以所以sinA+sinBsinA+sinB的最大值為的最大值為 . .13absinC24333232331cosAsinA

15、2236333【變式訓練變式訓練】ABCABC中，中，D D為邊為邊BCBC上的一點，上的一點，BD=33BD=33，sinB= sinB= ， cosADC= cosADC= ，求，求AD.AD. 【解題提示解題提示】由已知可得由已知可得cosBcosB，利用兩角差的正弦，利用兩角差的正弦公式可得公式可得sinBAD.sinBAD.在在ABDABD中用正弦定理求中用正弦定理求AD.AD.51335【解析解析】由由cosADC= 0cosADC= 0知，知，B .B .由已知得由已知得cosB= ,sinADC= .cosB= ,sinADC= .從而從而sinBAD=sin(ADC-B)=s

16、inADCcosB-cosADCsinBsinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB= =由正弦定理得由正弦定理得所以所以AD= =25.AD= =25.3521213454123533.51351365ADBD,sinBsin BAD533BD sinB1333sin BAD65【例例】已知已知ABCABC的角的角A A、B B、C C所對的邊分別是所對的邊分別是a a、b b、c c，設，設向量向量 =(a,b), =(sinB,sinA)=(a,b), =(sinB,sinA)， =(b-2,a-2).=(b-2,a-2).(1)(1)若若 , ,求證：

17、求證：ABCABC為等腰三角形；為等腰三角形；（2 2）若）若 , ,邊長邊長c=2,c=2,角角C= ,C= ,求求ABCABC的面積的面積. .【審題指導審題指導】（1 1）由）由 可推出可推出asinA=bsinBasinA=bsinB，進而可證，進而可證結(jié)論結(jié)論. .（2 2）由）由 可知可知 =0,=0,而要求而要求S SABCABC只需求出只需求出ab.ab.mnpmnmp3mnmpm p 【規(guī)范解答規(guī)范解答】（1 1） ,asinA=bsinB,asinA=bsinB,即即 , ,其中其中R R是是ABCABC外接圓半徑，外接圓半徑，a a2 2=b=b2 2,a=b,a=b,A

18、BCABC為等腰三角形為等腰三角形. .（2 2）由題意可知）由題意可知 =0,=0,即即a(b-2)+b(a-2)=0,a(b-2)+b(a-2)=0,a+b=ab,a+b=ab,mnabab2R2Rm p 由余弦定理可知，由余弦定理可知，4=a4=a2 2+b+b2 2-ab=(a+b)-ab=(a+b)2 2-3ab,-3ab,即即(ab)(ab)2 2-3ab-4=0,-3ab-4=0,ab=4(ab=4(舍去舍去ab=-1).ab=-1).S=S=11absinC4 sin3.223 【變式備選變式備選】在四邊形在四邊形ABCDABCD中，中，BC=a,DC=2a,BC=a,DC=2

19、a,四個角四個角A A、B B、C C、D D的度數(shù)之比為的度數(shù)之比為3741037410，求，求ABAB的長的長. .【解析解析】設四個角設四個角A A、B B、C C、D D的度數(shù)分別為的度數(shù)分別為3x3x、7x7x、4x4x、10 x10 x，則有則有3x+7x+4x+10 x=3603x+7x+4x+10 x=360，解得解得x=15x=15，A=45A=45,B=105,B=105,C=60,C=60,D=150,D=150. .連結(jié)連結(jié)BDBD，在，在BCDBCD中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：BDBD2 2=BC=BC2 2+DC+DC2 2-2BCDCcosC-2BCDCc

20、osC=a=a2 2+4a+4a2 2-2a2a =3a-2a2a =3a2 2 12BD=BD=此時，此時，DCDC2 2=BD=BD2 2+BC+BC2 2，BCDBCD是以是以DCDC為斜邊的直角三角形，為斜邊的直角三角形，CDB=30CDB=30, ,BDA=150BDA=150-30-30=120=120在在ABDABD中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：AB=AB=ABAB的長為的長為3a,33aBD sin BDA3 22asinA222，3 2a.2【典例典例】（1212分）在分）在ABCABC中，若中，若AB=ACAB=AC，試求，試求cosA+cosB+cosA+cosB+

21、cosCcosC的取值范圍的取值范圍. .【審題指導審題指導】用余弦定理可把原式化成用余弦定理可把原式化成“邊邊”的形式，又的形式，又AB=ACAB=AC，即，即b=c,B=Cb=c,B=C，則可進一步轉(zhuǎn)化為以，則可進一步轉(zhuǎn)化為以 為自變量的二為自變量的二次函數(shù)次函數(shù). .ab【規(guī)范解答規(guī)范解答】用用a,b,ca,b,c分別表示角分別表示角A A，B B，C C所對的邊，所對的邊，由題意得由題意得b=c,B=C b=c,B=C 2 2分分由余弦定理得由余弦定理得cosA+cosB+cosC=cosA+cosB+cosC=4 4分分= =1-=1-= = 6 6分分222222bcaacb22b

22、c2ac22222baa2bab21 aa2 bb（ ）21 a312 b2（）由于由于b+cb+ca,a,即即2b2ba,a,所以所以0 0 2 28 8分分于是于是1 1 1010分分所以所以cosA+cosB+cosCcosA+cosB+cosC的取值范圍是（的取值范圍是（1, 1, . .1212分分ab21 a3312 b22（）32【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】對解答本題時易犯的錯誤具體分析如下：對解答本題時易犯的錯誤具體分析如下：常見錯誤常見錯誤錯誤原因錯誤原因取值范圍是取值范圍是(-, (-, 忽視了隱含條件的應用，實際上在三角形中兩忽視了隱含條件的應用，實際上在三角形中兩邊之和大于第三

23、邊，兩邊之差小于第三邊，大邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，大邊對大角，最大內(nèi)角的取值范圍是邊對大角，最大內(nèi)角的取值范圍是 ,），），最小內(nèi)角的取值范圍是最小內(nèi)角的取值范圍是(0, (0, 等等. .3233【即時訓練即時訓練】如圖，如圖，A A、B B是單位圓是單位圓O O上上的動點，的動點，C C是單位圓與是單位圓與x x軸正半軸的交點，軸正半軸的交點，設設COA=.COA=.（1 1）當點）當點A A的坐標為的坐標為 時，求時，求sinsin的值；的值；（2 2）當）當0 ,0 ,且當點且當點A A、B B在圓上沿逆時針方向移動時，在圓上沿逆時針方向移動時，總有總有AOB= AOB=

24、 ，試求，試求BCBC的取值范圍的取值范圍. .3 45 5（ ，）23【解析解析】（1 1）A A點坐標為點坐標為 ，根據(jù)三角函數(shù)定義知根據(jù)三角函數(shù)定義知x= ,y= ,r=1,x= ,y= ,r=1,sin=sin=（2 2）AOB= ,COA=,AOB= ,COA=,COB=+ ,COB=+ ,3 45 5（ ，）3545y4.r533由余弦定理得由余弦定理得BCBC2 2=OC=OC2 2+OB+OB2 2-2OCOBcosBOC-2OCOBcosBOC=1+1-2cos=1+1-2cos（+ + ）=2-2cos=2-2cos（+ + ）0 , + 0 , + 12-2cos12-2

25、cos（+ + ）2+ ,2+ ,即即1BC1BC2 22+ ,2+ ,亦即亦即1BC1BCBCBC的取值范圍是的取值范圍是1, 1, . .333235,631cos,232（）33323.231.1.ABCABC的三邊滿足的三邊滿足a a2 2+b+b2 2=c=c2 2- ab- ab，則此三角形的最大內(nèi)，則此三角形的最大內(nèi)角為角為( )( )(A)150(A)150 (B)135 (B)135 (C)120 (C)120 (D)60 (D)60【解析解析】選選A.aA.a2 2+b+b2 2=c=c2 2 , ,aa2 2+b+b2 2-c-c2 2= = ，角角C C是是ABCABC中的最大角，由余弦定理有中的最大角，由余弦定理有cosC=cosC=C=150C=150, ,故選故選A.A.3222abc3ab3,2ab2ab2 3ab3ab2.2.如果等腰三角形的周長是底邊長的如果等腰三角形的周長是底邊長的5 5倍，那么它的頂角的倍，那么它的頂角的余弦值為余弦值為( )( )（A A） （B B） （C C） （D D）【解析解析】選選D.D.設等腰三角形的底邊為設等腰三角形的底邊為a a，頂角為，頂角為，則腰長，則腰長為為2a.2a.由余弦定理得由余弦定理得cos=cos=22224a4aa7.8a85183432