第4章動(dòng)量與角動(dòng)量

1、1動(dòng)量和角動(dòng)量24-1 4-1 動(dòng)量和動(dòng)量定理動(dòng)量和動(dòng)量定理4-1-1 沖量反映力對(duì)時(shí)間的累積效應(yīng)。沖量：作用力與作用時(shí)間的乘積。恒力的沖量：)(12ttFI變力的沖量：21)(ttttFId單位：Ns34-1-2 動(dòng)量動(dòng)量：運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積。vmp 單位：kgm/s 物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不僅取決于速度，而且與物體的質(zhì)量有關(guān)。 車(chē)輛超載超速引發(fā)交通事故4牛頓運(yùn)動(dòng)定律：amFtptmFddd)(dv動(dòng)量定理的微分式：tFpdd如果力的作用時(shí)間從 ，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量從 tt 0pp0ttpptFp00dd4-1-3 動(dòng)量定理5質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理： 質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。000

2、vvmmpptFIttd說(shuō)明：（1） 沖量的方向 與動(dòng)量增量 的方向一致。Ip動(dòng)量定理中的動(dòng)量和沖量都是矢量，符合矢量疊加原理。常把動(dòng)量和沖量投影在坐標(biāo)軸上以分量形式進(jìn)行計(jì)算。（2）6ttzzzzttyyyyxxttxxmmtFImmtFImmtFI000000dddvvvvvv平均沖力：tttFttF0d10 tFttFI7結(jié)論：物體動(dòng)量變化一定的情況下，作用時(shí)間越長(zhǎng)，物體受到的平均沖力越小；反之則越大。 海綿墊子可以海綿墊子可以延長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)員下落時(shí)延長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)員下落時(shí)與其接觸的時(shí)間，與其接觸的時(shí)間，這樣就減小了地面這樣就減小了地面對(duì)人的沖擊力。對(duì)人的沖擊力。 8設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)：外力i

3、F內(nèi)力iF內(nèi)初速度0iv末速度iv質(zhì)量 mi質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理：0d0iiiittiimmtFFvv內(nèi)iFiF內(nèi)4-2 4-2 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 4-2-1 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理9 0d0iiiittiimmtFFvv內(nèi) 0iF內(nèi)其中：系統(tǒng)總末動(dòng)量：iimpv系統(tǒng)總初動(dòng)量：00iimpv合外力的沖量： ttitF0d12內(nèi)F21內(nèi)F1F2F1m2m10質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：ppptFtti 00d微分式：tpFidd質(zhì)點(diǎn)系所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動(dòng)量的增量。注意：系統(tǒng)的內(nèi)力不能改變整個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)量。 11imO1m2mxyzCCr1rir2rn21nn2211mmmrm

4、rmrmrCmrmiicr設(shè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成一質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量：m1， m2， mn位矢： ， ， 1r2rnr4-2-2 質(zhì)心質(zhì)心位矢：12質(zhì)心位置的分量式：iiiCmxmxiiiCmymyiiiCmzmz連續(xù)體的質(zhì)心位置：mmxxCddmmyyCddmmzzCdd對(duì)于密度均勻，形狀對(duì)稱(chēng)的物體，其質(zhì)心都在它的幾何對(duì)稱(chēng)中心。說(shuō)明：13iiCrmrm質(zhì)心位置公式：trmtrmiiCddddiiCmmvv結(jié)論： 質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量等于總質(zhì)量與其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度的乘積。 由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分式可得：tmtmmttpFCiiiiiddddddddvvv4-2-3 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理14CiamF質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：作用于質(zhì)點(diǎn)系

5、上的合外力等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積。質(zhì)心的兩個(gè)重要性質(zhì)：系統(tǒng)在外力作用下，質(zhì)心的加速度等于外力的矢量和除以系統(tǒng)的總質(zhì)量。（2）系統(tǒng)所受合外力為零時(shí)，質(zhì)心的速度為一恒矢量，內(nèi)力既不能改變質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量,也就不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 。（1）15a例5 求腰長(zhǎng)為a的等腰直角三角形均勻薄板質(zhì)心的位置坐標(biāo)。0CyOxyxxd解取如圖坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)性分析可知 取寬度為dx的面積元,設(shè)薄板每單位面積的質(zhì)量為,則此面積元的質(zhì)量為xxxymd2d2daxxxxmmxxaac32d2d2dd202021600dpptFtti 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：0iF當(dāng)時(shí)，0pp有系統(tǒng)所受合外力為零時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變

6、。常矢量iimpv條件： 0iF動(dòng)量守恒定律：4-3 4-3 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律17說(shuō)明：（1）系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒并不意味著系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量不變，而是指系統(tǒng)動(dòng)量總和不變。（2）當(dāng)外力作用遠(yuǎn)小于內(nèi)力作用時(shí)，可近似認(rèn)為系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒。（如：碰撞、打擊等）動(dòng)量守恒的分量式： 動(dòng)量守恒定律是自然界最普遍的規(guī)律之一，它動(dòng)量守恒定律是自然界最普遍的規(guī)律之一，它不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀物體。不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀物體。0 0 0 zizizyiyiyxixixFmpFmpFmp常量常量常量vvv18例8 一質(zhì)量為m的小球在質(zhì)量為M的圓弧形槽上,圓弧形槽半徑為R,放在水平地面上,小

7、球與槽間、槽與地面間的摩擦忽略,現(xiàn)小球從圓弧形槽頂端靜止滑下,求剛離開(kāi)槽時(shí),小球和木塊的速度等于多少?解水平方向所受合外力為零，因此系統(tǒng)動(dòng)量守恒：0vmMV小球、槽、地球組成的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒：222121MVmmgRv小球速度： 槽速度： mMMgR2v)(2mMMgRmV19例9 質(zhì)量為m的人拿著質(zhì)量為m的物體,與地面成角的方向向前跳躍,初速率為v0,在跳到最高點(diǎn)P處時(shí),人將物體相對(duì)于人以u(píng)的速率水平向后拋出,問(wèn)人的跳躍水平距離增加了多少？解 最高點(diǎn)P拋前和拋后過(guò)程,水平運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足動(dòng)量守恒條件.設(shè)拋后人對(duì)地的速率為v1,物體對(duì)地的速率為v2,則有：)(cos)(110ummmmvv

8、v)(12u vv0vxyOP1x2x20ummmcos01vv從最高點(diǎn)落到地面所需的時(shí)間：gtsin0v 跳躍增加的水平距離：gmmmutxxx)(sin )cos(00112vvv214-4 4-4 碰撞碰撞兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體在運(yùn)動(dòng)中發(fā)生極其短暫的相互作用，使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生急劇變化，這一過(guò)程稱(chēng)為碰撞。 221m1m2m2m1m10v20v1v2vxO動(dòng)量守恒2211202101vvvvmmmm完全彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能沒(méi)有損失。 非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失。 完全非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失，且碰撞后碰撞物體結(jié)合成一體，以同一速度運(yùn)動(dòng)。 231.

9、完全彈性碰撞 2222112202210121212121vvvvmmmm2211202101vvvvmmmm210110212221202102112)(2)(mmmmmmmmmmvvvvvv(1)如果m1= m2 ，則v1 = v20 ，v2 = v10，即兩物體在碰撞時(shí)速度發(fā)生了交換。 (2) 如果v20 = 0 , 且 m2 m1, 則v1 = - v10, v2 = 0242完全非彈性碰撞 21202101mmmmvvv由動(dòng)量守恒定律完全非彈性碰撞中動(dòng)能的損失 22122022101(21)2121()vvvmmmmE)(2)(212201021mmmmvv25牛頓的碰撞定律：在一維

10、對(duì)心碰撞中，碰撞后兩物體的分離速度 v2- v1 與碰撞前兩物體的接近速度 v10- v20 成正比，比值由兩物體的材料性質(zhì)決定。 3非彈性碰撞201012vvvve e 為恢復(fù)系數(shù) e = 0，則v2 = v1，為完全非彈性碰撞。 e =1，則分離速度等于接近速度，為完全彈性碰撞。 一般非彈性碰撞：0 e 1 26mxyzrLpO設(shè)：t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位矢r質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量vm運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于參考點(diǎn)O的角動(dòng)量定義為vmrprL單位：kg m2/s4-5-1 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量4-5 4-5 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量27角動(dòng)量大?。簊insinvmrrpL角動(dòng)量的方向： 位矢 和動(dòng)量 的矢積方向vmr如果質(zhì)點(diǎn)繞

11、參考點(diǎn)O 做圓周運(yùn)動(dòng)rpOrmprLv角動(dòng)量與所取的慣性系有關(guān)；角動(dòng)量與參考點(diǎn)O的位置有關(guān)。 注意：28質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量在通過(guò)點(diǎn)的任意軸線上的投影，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸線的角動(dòng)量。 LOzLzcosLLz設(shè)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的位矢分別為nrrr,21動(dòng)量分別為nppp,21niniiiiprLL11)(質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量L294-5-2 力矩質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 隨時(shí)間的變化率為 LtprptrtprtLdddddddd1力對(duì)參考點(diǎn)的力矩0ddpptrv式中FtpddFrtLdd 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的改變不僅與所受的作用力 有關(guān)，而且與參考點(diǎn)O到質(zhì)點(diǎn)的位矢 有關(guān)。 rF30定義：外力 對(duì)參考點(diǎn)O的力矩：FxyzrOMF力矩

12、的大?。簊inrFM FrM力矩的方向由右手螺旋關(guān)系確定，垂直于 和 確定的平面。rF單位：Nm31設(shè)作用于質(zhì)點(diǎn)系的作用力分別為：nFFF,21作用點(diǎn)相對(duì)于參考點(diǎn)O的位矢分別為： nrrr,21相對(duì)于參考點(diǎn)O的合力矩為：iiFrMOxyz1rir2r1F2FiF322力對(duì)軸的矩OZzMM力 對(duì)軸的力矩： F力 對(duì)點(diǎn)的力矩 在過(guò)點(diǎn)的任一軸線上的投影。FMcosMMzFrFrM/力 對(duì)軸Oz的力矩： FFrMzOrFF/FM33tLMdd1221LLtMttd質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理： 質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一參考點(diǎn)的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受的合外力對(duì)同一參考點(diǎn)的力矩。 角動(dòng)量定理的積分式：21tttMd稱(chēng)為“

13、沖量矩”4-5-3 角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律34質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量：niniiiiprLL11)(兩邊對(duì)t求導(dǎo)：tprptrtLiiiidddddd0ddiiptriiiiiFFrtpr內(nèi)dd0iiFr內(nèi)式中iiiiFrFrtL內(nèi)dd合內(nèi)力矩為零上式中35tLFrMiidd 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一參考點(diǎn)的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率等于系統(tǒng)所受各個(gè)外力對(duì)同一參考點(diǎn)力矩之矢量和。質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理： 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z 軸的角動(dòng)量定理： tLMzzdd36質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理的積分式： 2112dttLLtM 作用于質(zhì)點(diǎn)系的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)系在作用時(shí)間內(nèi)的角動(dòng)量的增量 。如果0M質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律： 當(dāng)系統(tǒng)所受外力對(duì)某參考點(diǎn)的力矩之矢量和始終為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變。 則L恒矢量37質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z軸的角動(dòng)量守恒定律： 系統(tǒng)所受外力對(duì)z軸力矩的代數(shù)和等于零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒。 恒量zL 角動(dòng)量守恒定律是自然界的一條普遍定律，角動(dòng)量守恒定律是自然界的一條普遍定律，它有著廣泛的應(yīng)用。它有著廣泛的應(yīng)用。 M = 0的情況：r = 0， F = 0， r與F同向或反向，即質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下運(yùn)動(dòng)，角動(dòng)量守恒。 (Mz