二重積分的概念與性質(zhì)（課堂PPT）

1、.1第一節(jié)第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)一、問題的提出一、問題的提出二、二重積分的概念二、二重積分的概念三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題.2復(fù)習(xí)和總結(jié)復(fù)習(xí)和總結(jié)（1）定積分是用來解決哪一類問題？定積分是用來解決哪一類問題？（2）解決這一類問題采用了什么思想方法？解決這一類問題采用了什么思想方法？ baxxfd定積分定積分答：答：求求非均勻分布非均勻分布在在區(qū)間上區(qū)間上的量的的量的求和問題求和問題 被積函數(shù)是被積函數(shù)是一元函數(shù)一元函數(shù)，積分范圍是，積分范圍是直線上的區(qū)間直線上的區(qū)間答：答： “分割分割, ,取近似取近似, ,求和求和, , 取極

2、限取極限” kknkdbaxfxxf 10limd（3）如何計算定積分？如何計算定積分？.3現(xiàn)要求解現(xiàn)要求解非均勻非均勻分布在分布在平面平面、空間立體上空間立體上的量的的量的求和問題求和問題推廣推廣所計算的量與所計算的量與多元函數(shù)多元函數(shù)及及平面平面或或空間區(qū)域空間區(qū)域有關(guān)有關(guān)被積函數(shù)被積函數(shù)積分范圍積分范圍二元函數(shù)二元函數(shù)平面區(qū)域平面區(qū)域二重積分二重積分三元函數(shù)三元函數(shù)空間區(qū)域空間區(qū)域三重積分三重積分一段曲線一段曲線曲線積分曲線積分一片曲面一片曲面曲面積分曲面積分問題問題: :積分類型積分類型.4柱體體積柱體體積= =底面積底面積高高【特點】平頂【特點】平頂. .柱體體積柱體體積= =？【特

3、點】曲頂【特點】曲頂. .),(yxfz D1曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積一、問題的提出一、問題的提出引例引例D),(yxfz .5類似定積分解決問題的思想類似定積分解決問題的思想: :給定曲頂柱體給定曲頂柱體: :0),( yxfz底底：xoy 面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D頂頂: : 連續(xù)曲面連續(xù)曲面?zhèn)让鎮(zhèn)让妫阂砸訢的邊界為準(zhǔn)線的邊界為準(zhǔn)線 , , 母線平行于母線平行于z 軸的柱面軸的柱面求其體積求其體積. .“分割分割, 取近似取近似, 求和求和, 取極限取極限”D),(yxfz 解法解法.6步驟如下步驟如下取近似、取近似、 求和：求和：用若干用若干個小平頂柱體體積之和近似個小平頂柱體體積之

4、和近似表示曲頂柱體的體積，表示曲頂柱體的體積，xzyoD),(yxfz i),(ii分割：分割：先分割曲頂柱體先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，的底，并取典型小區(qū)域，.),(lim10iiniifV 得曲頂柱體的體積得曲頂柱體的體積取極限：取極限：),(yxfz ),(iif i ),(ii .72求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量i),(ii分割：分割：將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，近似：近似：取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 求和：求和：所有小塊質(zhì)量之和所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量近似等于薄片總質(zhì)量.),(lim10iiniiM xy

5、o分分析析 =常數(shù)常數(shù)時，質(zhì)量時，質(zhì)量= ，其中其中 為面積為面積. . 取極限：取極限：得得薄片總質(zhì)量薄片總質(zhì)量若若 為為非常數(shù)非常數(shù)，仍可用，仍可用“分割分割, 取近似取近似, 求和求和, 取極限取極限”解決解決.8兩個問題的兩個問題的共性共性：(1) 解決問題的步驟相同解決問題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同所求量的結(jié)構(gòu)式相同“分割分割, 取近似取近似, 求和求和, 取極限取極限” niiiifV10),(lim niiiiM10),(lim 曲頂柱體體積曲頂柱體體積: : 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量: : .9二、二重積分的定義及可積性二、二重積分的定義及可積性1.1.定義定義

6、),(yxf設(shè)設(shè)將區(qū)域?qū)^(qū)域 D 任意任意分成分成 n 個小區(qū)域個小區(qū)域),2,1(nii 任取任取一點一點,),(iii 若存在一個常數(shù)若存在一個常數(shù) I , 使使 niiiifI10),(lim 可積可積 , ),(yxf則稱則稱Dyxfd),(),(yxfI為為稱稱在在D上的上的二重積分二重積分.稱稱為為積積分分變變量量yx,積分和積分和Dyxfd),(積分域積分域被積函數(shù)被積函數(shù)積分表達(dá)式積分表達(dá)式面積元素面積元素記作記作是定義在是定義在有界有界閉區(qū)域閉區(qū)域 D上的上的有界有界函數(shù)函數(shù) , .10. ),( 的的從而二重積分都是存在從而二重積分都是存在上連續(xù)上連續(xù)在所論有界閉域在所論有

7、界閉域以后總假定以后總假定Dyxf2. .【對二重積分定義的說明】【對二重積分定義的說明】(3) f (x,y)在在D上上有界有界是二重積分是二重積分存在的存在的必要條件必要條件. .0 i 代替代替0 ？不能不能連續(xù)連續(xù)是二重積分存在的是二重積分存在的充分條件充分條件用用(1)積分存在時，其值與區(qū)域的分法和點積分存在時，其值與區(qū)域的分法和點 的取法無關(guān)的取法無關(guān)),(ii (證明略證明略).113.【二重積分的幾何意義】【二重積分的幾何意義】4.【物理意義】【物理意義】表表曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積. .1)若若),(yxf , 0 表表曲頂柱體體積的負(fù)值曲頂柱體體積的負(fù)值. .2)若若)

8、,(yxf , 0 3)若若 , 1),( yxf Dyxf d),( Dyxf d),( D d1表表區(qū)域區(qū)域D的面積的面積. .； kkD d)1( 222222)2(ayxyxa d；332a 0,0, 1)1()3(yxyxyx d.61xyz111yxz 1Dxyz2ayx 22aa體體積積的的代代數(shù)數(shù)和和 d),(在物理上表示在物理上表示 Dyx 的的平平面面薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量占占有有平平面面區(qū)區(qū)域域面面密密度度為為Dyxf ),(.12 注注 1. 重積分與定積分的重積分與定積分的區(qū)別區(qū)別： 重積分中重積分中d 0 0, ,定積分中定積分中dx 可正可負(fù)可正可負(fù). .2. 根據(jù)

9、分割的任意性根據(jù)分割的任意性，當(dāng)二重積分存在時當(dāng)二重積分存在時，在直角坐標(biāo)系，在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D dd),(d),(DDyxyxfyxfyxddd故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyo則直角坐標(biāo)系下面積元素為則直角坐標(biāo)系下面積元素為 , 常數(shù)常數(shù)x常數(shù)常數(shù)yDyxfVd),(引例引例1中曲頂柱體體積中曲頂柱體體積: DyxM d),(引例引例2中平面薄板的質(zhì)量中平面薄板的質(zhì)量:Dyxyxfdd),( Dyxyxdd),( .13性質(zhì)性質(zhì)1.d),(d),(DDyxfkyxkf性質(zhì)性質(zhì)2Dyxgyxfd),(),(.d),(d),(

10、DDyxgyxf（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)逐項積分逐項積分Dyxfkd),(Dyxgmd),(Dyxmgyxkfd),(),(線性性質(zhì)可以推廣至有限個函數(shù)的情形。線性性質(zhì)可以推廣至有限個函數(shù)的情形。線性性質(zhì)線性性質(zhì).14性質(zhì)性質(zhì)3對對區(qū)域區(qū)域具有具有可加性可加性.d),(d),(d),(21DDDyxfyxfyxf性質(zhì)性質(zhì)4 若若 為為D的面積的面積，.dd1DD性質(zhì)性質(zhì)5若在若在D上上),(),(yxgyxf.d),(d),(DDyxgyxf特殊地特殊地.d),(d),(DDyxfyxf則有則有比較性質(zhì)比較性質(zhì)),(2

11、121無無公公共共內(nèi)內(nèi)點點DDDDD.15性質(zhì)性質(zhì)6性質(zhì)性質(zhì)7二重積分中值定理二重積分中值定理DMyxfmd),(),(d),(fyxfD二重積分估值不等式二重積分估值不等式曲頂柱體的體積等于一個平頂柱體的體積曲頂柱體的體積等于一個平頂柱體的體積幾何意義幾何意義.16證明證明以下僅證性質(zhì)以下僅證性質(zhì)7（中值定理）（中值定理） ),( 上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)是是有有界界閉閉域域 Dyxf mM、必有最大、最小值必有最大、最小值由由估值估值性質(zhì)得性質(zhì)得DMyxfmd),( 0由于由于DMyxfmd),(1據(jù)有界閉域上的連續(xù)函數(shù)的介值定理據(jù)有界閉域上的連續(xù)函數(shù)的介值定理 使得使得上至少存在一點上至

12、少存在一點在在),(D),(d),(1fyxfD變形后變形后 【得證】【得證】.17比較下列積分的大小比較下列積分的大小: : d)(,d)(32DDyxyx其中其中2) 1()2( :22yxD積分域積分域D 的邊界為圓周的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx 2) 1()2(22yx它與它與x 軸交于點軸交于點(1,0) , ,.1相切相切與直線與直線 yx而區(qū)域而區(qū)域D位位, 1 yx從而從而DDyxyxd)(d)(32于直線的上方于直線的上方, , 故在故在 D 上上 1y2xo1D作業(yè)題、課后習(xí)題作業(yè)題、課后習(xí)題見作業(yè)答案解法或有關(guān)習(xí)題解答見作業(yè)答案解法或有關(guān)習(xí)題解答例例1解解解

13、解.18,eee12220ayx,ede222)(aDyxde)(22Dyxab.e 2aab ab例例2解解.19解解oxy121D2 yx1 yx課后習(xí)題課后習(xí)題例例3.20機(jī)動機(jī)動被積函數(shù)被積函數(shù)相同相同, 且非負(fù)且非負(fù), dd1122；yxyxIyx dd12；yxyxIyx1111dd 3yxyxxyI321,III由它們的積分域范圍可知由它們的積分域范圍可知312III11xyo1. 比較下列積分值的大小關(guān)系比較下列積分值的大小關(guān)系:練練習(xí)習(xí)解解提示提示 被積函數(shù)相同，則比較區(qū)域被積函數(shù)相同，則比較區(qū)域D的大小的大小.212. 設(shè)設(shè)D 是第二象限的一個有界閉域是第二象限的一個有界閉

14、域 , 且且 0 y 1, 則則,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小順序為的大小順序為 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA因因 0 y 1, 故故;212yyyD故在故在D上有上有, 03x又因又因323321xyxyxyyox1D提示提示區(qū)域區(qū)域D相同，則比較被積函數(shù)的大小相同，則比較被積函數(shù)的大小.22D 位于位于x 軸上方的部分為軸上方的部分為D1 1 , ,在在D上上),(),()1(yxfyxf ),(),()2(yxfyxf DyxfI d),( DyxfI d),( 1),(2Dyxf d1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)

15、),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù), , D關(guān)于關(guān)于x 軸對稱軸對稱, ,則則則則xyo1DD 補(bǔ)充補(bǔ)充 在分析問題和計算二重積分時常用的在分析問題和計算二重積分時常用的對稱奇偶性對稱奇偶性當(dāng)區(qū)域關(guān)于當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對稱軸對稱, , 函數(shù)關(guān)于變量函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時有類似結(jié)果有奇偶性時有類似結(jié)果. .0 2. 若若D關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱,(1) 0),(),( Iyxfyxf(2) 212),(),(DDIyxfyxf2 D2為為y軸右方的部分軸右方的部分.23例如例如在第一象限部分在第一象限部分, 則有則有1:221 yxDD 為為 Dyxyxdd)( )1(22 Dyxyxd

16、d)( )2(；上上 Dyxyxdd)(222xoy 1D DDyxyyxxdddd 0 利用對稱性簡化運(yùn)算時要特別考慮兩方面利用對稱性簡化運(yùn)算時要特別考慮兩方面被積函數(shù)的被積函數(shù)的奇偶性奇偶性積分區(qū)域的積分區(qū)域的對稱性對稱性說明說明； 1)(422Dyxyxdd.24二重積分的定義二重積分的定義二重積分的性質(zhì)（二重積分的性質(zhì)（7條條）二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（曲頂柱體的體積）（積分和式的極限）（積分和式的極限）四、小結(jié)四、小結(jié)二重積分的物理意義二重積分的物理意義（平面薄片的質(zhì)量）（平面薄片的質(zhì)量）二重積分的比較大小二重積分的比較大小1.若區(qū)域若區(qū)域D相同，則比較

17、被積函數(shù)的大??；相同，則比較被積函數(shù)的大??；2.若被積函數(shù)相同，則比較區(qū)域若被積函數(shù)相同，則比較區(qū)域D的大小的大小.25.26一一 利用直角坐標(biāo)計算二重積分利用直角坐標(biāo)計算二重積分二二 小結(jié)小結(jié) 思考題思考題10.2 二重積分的計算法（一）二重積分的計算法（一）.27復(fù)習(xí)與回顧復(fù)習(xí)與回顧(2)回顧一元函數(shù)定積分的應(yīng)用回顧一元函數(shù)定積分的應(yīng)用平行截面面積為已知的立體的體積的求法平行截面面積為已知的立體的體積的求法體積元素體積元素xxAVd)(d體積為體積為 baxxAVd)(在點在點x處的平行截面的面積為處的平行截面的面積為: : )(xA(1)二重積分二重積分 ),(limd),(10niii

18、iDfyxfxoabxdxx )(xA.28, bxa).()(21xyx其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù). .)(1x)(2x,ba一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分(1)X型域型域)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y 軸的直線與區(qū)軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點域邊界相交不多于兩個交點.1. 預(yù)備知識預(yù)備知識.29,dyc).()(21yxy(2)Y型域型域)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx DY型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點穿過區(qū)域且平行于穿

19、過區(qū)域且平行于x 軸的直線與區(qū)軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點域邊界相交不多于兩個交點. .30(3) 既非既非X型域也非型域也非Y型域型域 3D2D1D在分割后的三個區(qū)域上分別都在分割后的三個區(qū)域上分別都是是X型域型域( (或或Y型域型域) )則必須分割則必須分割. .321 DDDD由二重積分積分區(qū)域的可加性得由二重積分積分區(qū)域的可加性得.31(1) 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為X型域：型域：, bxa).()(21xyx0),(yxf且設(shè)且設(shè)積積為曲頂?shù)那斨w的體為曲頂?shù)那斨w的體為底，以曲面為底，以曲面的值等于以的值等于以則則),( d),( yxfzDyxfD2. .【二重積分公

20、式推導(dǎo)】【二重積分公式推導(dǎo)】根據(jù)二重積分的幾何意義根據(jù)二重積分的幾何意義以及計算以及計算“平行截面面積平行截面面積為已知的立體的體積為已知的立體的體積”的方法來求的方法來求. .,0bax 0 xx 作作平平面面方法方法.32)(01x )(02x )()(000201d),()(xxyyxfxAbaxxAVd)( 即得即得公式公式1 的的二二次次積積分分后后對對上上式式稱稱為為先先對對xyyxzab0 xo)(1xy)(02x )(01x )(2xy)(0 xA d),()( )()(21xxyyxfxA),( yxfzoyxz)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xyab0 x,0b

21、ax 0 xx 作作平平面面 baxxDxyyxfyxfd d),(d),()()(21.d),(dd),()()(21Dbaxxyyxfxyxf.33幾點小結(jié)幾點小結(jié)計計算算方方法法實實現(xiàn)現(xiàn)了了二二重重積積分分的的一一種種通通過過體體積積作作為為過過渡渡 , .)( 來來求求解解單單積積分分通通過過計計算算兩兩次次定定積積分分 定限：定限：二重積分的計算關(guān)鍵是二重積分的計算關(guān)鍵是).()(, :21xyxbxaDX baxxDxyyxfyxyxfd d),(dd),()()(21定限口訣定限口訣后積先定限后積先定限( (投影投影) )限內(nèi)劃條線限內(nèi)劃條線( (穿線穿線) ) 先交下限寫先交下

22、限寫后交上限見后交上限見aboxyDx)(1xy)(2xyabxd)(1x)(2xydDyxfd),(),(yxf(后積變量上下限必為常數(shù)后積變量上下限必為常數(shù))該線平行于坐該線平行于坐標(biāo)軸且同向標(biāo)軸且同向投影穿線法投影穿線法.34 , dycxyoD yx1 yx2 cd:Y)2(型型域域若若積積分分域域為為yDyxyxfdd),( . 的的二二次次積積分分后后對對即即化化二二重重積積分分為為先先對對yx3.【二重積分的計算步驟可歸結(jié)為二重積分的計算步驟可歸結(jié)為】畫出積分域的圖形，標(biāo)出邊界線方程畫出積分域的圖形，標(biāo)出邊界線方程根據(jù)積分域特征，確定積分次序；根據(jù)積分域特征，確定積分次序；根據(jù)上

23、述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計算。根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計算。)()(21d),(yyxyxfdcyd公式公式2).()(21yxy.35(1) 使用公式使用公式1必須是必須是X型域，型域， 公式公式2必須是必須是Y型域型域. .(2) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y 型區(qū)域型區(qū)域 , 為計算方便為計算方便, ,可可選擇積分次序選擇積分次序, , 必要時還可必要時還可交換積分次序交換積分次序. . ( (見后續(xù)補(bǔ)充例題見后續(xù)補(bǔ)充例題) )(3) 若積分域較復(fù)雜若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干可將它分成若干X- -型域（或型域（或Y- -型域）型域） 321D

24、DDDoxy1D2D3D說明說明.364. 【例題部分】【例題部分】例例1.2, 1,d所所圍圍閉閉區(qū)區(qū)域域及及：由由其其中中計計算算xyxyDxyD解解看作看作X型域型域xyxDX121:2112121d2dddxyxyxyxxyxxD811d)22(213xxx12oxy y = xy =1Dx12oxyx = yx=2Dy12解解看作看作Y型域型域221:xyyDY2122221d2dddyxyxxyyxyyyD811d)22(213yyy.37例例2. 1, 1,: ,d122所所圍圍閉閉區(qū)區(qū)域域和和由由計計算算yxxyDyxyD解解D 既是既是X型域又是型域又是Y型域型域111:yx

25、xDX法法1122111xyyxyxdd上上式式1 11 11 1x xo oy=xy=xD Dx xy y12122111dxyxx)()1 (22yx d2121.38法法2yxyDY111: yxyxyy12211d1d原式原式注意到先對注意到先對x 的積分較繁，故應(yīng)用的積分較繁，故應(yīng)用法法1 1較方便較方便111yoy=xD1xy注意兩種積分次序的計算效果！注意兩種積分次序的計算效果！ yxyxyy12211d1d.39例例3. 2,d2所圍閉區(qū)域所圍閉區(qū)域及及：由：由其中其中計算計算xyxyDxyD解解D既是既是X型域型域又是又是Y型域型域先求交點先求交點(4,2) 1)(1, 2

26、2或或由由xyxy.40法法1 221:2yxyyDY法法22212yyDxxyyxyddd855視為視為X型域型域xyxxD10:1xyxxD241:221 DDD則則必必須須分分割割21dDDDxyxxxxyxyxyxyx24110dddd 計算較繁計算較繁本題進(jìn)一步說明兩種積分次序的不同計算效果！本題進(jìn)一步說明兩種積分次序的不同計算效果！2212yyxxyydd.41小結(jié)小結(jié)以上三例說明，在化二重積分為二次以上三例說明，在化二重積分為二次積分時，為簡便見需積分時，為簡便見需恰當(dāng)選擇積分次恰當(dāng)選擇積分次序序；既要考慮積分區(qū)域；既要考慮積分區(qū)域 D 的形狀，又的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性要

27、考慮被積函數(shù)的特性( (易積易積) ).425.【簡單應(yīng)用】【簡單應(yīng)用】例例4求兩個底圓半徑都等于求兩個底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的的直交圓柱面所圍成的立體的體積體積V.解解xyzRRo 設(shè)兩個直圓柱方程為設(shè)兩個直圓柱方程為,222Ryx利用對稱性利用對稱性, , 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分, ,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為則所求體積為則所求體積為DyxxRVdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz2200:),(xRyRxDyxXxxRRd8022222Ryx222RzxD.43例例5 2, 2的的面面積積所所圍圍區(qū)區(qū)域域應(yīng)應(yīng)用用

28、二二重重積積分分求求由由曲曲線線Dxyxy解解據(jù)二重積分的性質(zhì)據(jù)二重積分的性質(zhì)4（幾何意義）（幾何意義）Dyxdd交點交點 22xyxy)4 , 2( ) 1 , 1(，221:2xyxxDX212221d)2(dd 2xxxyxxx29與定積分元素法相同與定積分元素法相同.446.【補(bǔ)充】【補(bǔ)充】 改變二次積分的積分次序例題改變二次積分的積分次序例題補(bǔ)例補(bǔ)例1解解 110:yxxDX yxyDY010: yyxxy0210ded2yyyd3e1032 2102d6e2yyy ).e21(61 1102ded2xyyxx.45隨堂練隨堂練習(xí)習(xí)1. .計算計算Dyxyyddsin其其中中 D 是

29、由直線是由直線 y = x 及拋物線及拋物線 y2 = x 所圍成所圍成. .oxy1xy xy 1解解)(積分次序計算積分次序計算后后按先按先xyxxyyyxIdsind10積不出的積分，無法計算。積不出的積分，無法計算。),(積積分分次次序序計計算算后后按按先先改改變變積積分分次次序序yxyyxyyyI2dsind10102d)(sinyyyyy1010dsindsinyyyyy. 1sin1) 1sin1(cos1cos1課本課本P154 第第5題題第第6題題練習(xí)練習(xí).46. 10, 10:,d|2yxDxyID為為其中其中計算積分計算積分解解當(dāng)被積函數(shù)中有絕對值時，要考慮當(dāng)被積函數(shù)中有

30、絕對值時，要考慮積分域中不同范圍脫去絕對值符號。積分域中不同范圍脫去絕對值符號。:212DDDxy和和分分為為兩兩部部分分將將oxy112xy 1D2D I1d)(2Dxy2d)(2Dyx101154分析分析補(bǔ)例補(bǔ)例2作業(yè)作業(yè):1 x 1.47計算計算,dd)1ln(2DyxyyxI其中其中D 由由,42xy1,3xxy所圍成所圍成.oyx124xyxy32D1D1x令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示如圖所示)顯然顯然,1上上在在D),(),(yxfyxf,2上上在在D),(),(yxfyxf1dd)1ln(2DyxyyxI02dd)1ln(2Dyxyyx4利用對稱性與奇偶

31、性利用對稱性與奇偶性補(bǔ)例補(bǔ)例3分析分析解解.,: ,d)(d)(d)()(:2121dycbxaDxxfxxfyfxfdcbaD證明證明課本課本P154 第第3 題題與積分變量無關(guān)與積分變量無關(guān)補(bǔ)例補(bǔ)例4與積分變量無關(guān)與積分變量無關(guān)與積分變量無關(guān)與積分變量無關(guān).48分部積分法分部積分法( (略略). ). ( (05/06學(xué)年第一學(xué)期考試題學(xué)年第一學(xué)期考試題A卷卷) )化為二次積分化為二次積分, ,交換積分次序交換積分次序 101d)de(2xyxy101ded2xyyx101ded2xyyx 110 :yxxDX 010 :yxyDY原式原式=原式原式100ded2yyxy100dde2yy

32、xy10de2yyy102e21y) 1e (211o11xyxy D補(bǔ)例補(bǔ)例5解解解解.49二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）二、小結(jié)二、小結(jié).d),(dd),()()(21Dbaxxyyxfxyxf.d),(dd),()()(21DdcyyxyxfyyxfY型型X型型課本課本P153 習(xí)題習(xí)題10-2練習(xí)練習(xí).50.51一一 利用直角坐標(biāo)計算二重積分利用直角坐標(biāo)計算二重積分二二 小結(jié)小結(jié) 思考題思考題10.2 二重積分的計算法（一）二重積分的計算法（一）.52復(fù)習(xí)與回顧復(fù)習(xí)與回顧(2)回顧一元函數(shù)定積分的應(yīng)

33、用回顧一元函數(shù)定積分的應(yīng)用平行截面面積為已知的立體的體積的求法平行截面面積為已知的立體的體積的求法體積元素體積元素xxAVd)(d體積為體積為 baxxAVd)(在點在點x處的平行截面的面積為處的平行截面的面積為: : )(xA(1)二重積分二重積分 ),(limd),(10niiiiDfyxfxoabxdxx )(xA.53, bxa).()(21xyx其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù). .)(1x)(2x,ba一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分(1)X型域型域)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點 穿

34、過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y 軸的直線與區(qū)軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點域邊界相交不多于兩個交點.1. 預(yù)備知識預(yù)備知識.54,dyc).()(21yxy(2)Y型域型域)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx DY型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x 軸的直線與區(qū)軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點域邊界相交不多于兩個交點. .55(3) 既非既非X型域也非型域也非Y型域型域 3D2D1D在分割后的三個區(qū)域上分別都在分割后的三個區(qū)域上分別都是是X型域型域( (或或Y型域型域) )則必須分割則必須分割. .321 DDDD由二重積分積分區(qū)域的可加

35、性得由二重積分積分區(qū)域的可加性得.56(1) 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為X型域：型域：, bxa).()(21xyx0),(yxf且設(shè)且設(shè)積積為曲頂?shù)那斨w的體為曲頂?shù)那斨w的體為底，以曲面為底，以曲面的值等于以的值等于以則則),( d),( yxfzDyxfD2. .【二重積分公式推導(dǎo)】【二重積分公式推導(dǎo)】根據(jù)二重積分的幾何意義根據(jù)二重積分的幾何意義以及計算以及計算“平行截面面積平行截面面積為已知的立體的體積為已知的立體的體積”的方法來求的方法來求. .,0bax 0 xx 作作平平面面方法方法.57)(01x )(02x )()(000201d),()(xxyyxfxAbaxxAVd)(

36、 即得即得公式公式1 的的二二次次積積分分后后對對上上式式稱稱為為先先對對xyyxzab0 xo)(1xy)(02x )(01x )(2xy)(0 xA d),()( )()(21xxyyxfxA),( yxfzoyxz)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xyab0 x,0bax 0 xx 作作平平面面 baxxDxyyxfyxfd d),(d),()()(21.d),(dd),()()(21Dbaxxyyxfxyxf.58幾點小結(jié)幾點小結(jié)計計算算方方法法實實現(xiàn)現(xiàn)了了二二重重積積分分的的一一種種通通過過體體積積作作為為過過渡渡 , .)( 來來求求解解單單積積分分通通過過計計算算兩兩次

37、次定定積積分分 定限：定限：二重積分的計算關(guān)鍵是二重積分的計算關(guān)鍵是).()(, :21xyxbxaDX baxxDxyyxfyxyxfd d),(dd),()()(21定限口訣定限口訣后積先定限后積先定限( (投影投影) )限內(nèi)劃條線限內(nèi)劃條線( (穿線穿線) ) 先交下限寫先交下限寫后交上限見后交上限見aboxyDx)(1xy)(2xyabxd)(1x)(2xydDyxfd),(),(yxf(后積變量上下限必為常數(shù)后積變量上下限必為常數(shù))該線平行于坐該線平行于坐標(biāo)軸且同向標(biāo)軸且同向投影穿線法投影穿線法.59 , dycxyoD yx1 yx2 cd:Y)2(型型域域若若積積分分域域為為yD

38、yxyxfdd),( . 的的二二次次積積分分后后對對即即化化二二重重積積分分為為先先對對yx3.【二重積分的計算步驟可歸結(jié)為二重積分的計算步驟可歸結(jié)為】畫出積分域的圖形，標(biāo)出邊界線方程畫出積分域的圖形，標(biāo)出邊界線方程根據(jù)積分域特征，確定積分次序；根據(jù)積分域特征，確定積分次序；根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計算。根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計算。)()(21d),(yyxyxfdcyd公式公式2).()(21yxy.60(1) 使用公式使用公式1必須是必須是X型域，型域， 公式公式2必須是必須是Y型域型域. .(2) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y 型區(qū)域型

39、區(qū)域 , 為計算方便為計算方便, ,可可選擇積分次序選擇積分次序, , 必要時還可必要時還可交換積分次序交換積分次序. . ( (見后續(xù)補(bǔ)充例題見后續(xù)補(bǔ)充例題) )(3) 若積分域較復(fù)雜若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干可將它分成若干X- -型域（或型域（或Y- -型域）型域） 321DDDDoxy1D2D3D說明說明.614. 【例題部分】【例題部分】例例1.2, 1,d所所圍圍閉閉區(qū)區(qū)域域及及：由由其其中中計計算算xyxyDxyD解解看作看作X型域型域xyxDX121:2112121d2dddxyxyxyxxyxxD811d)22(213xxx12oxy y = xy =1Dx12oxyx =

40、 yx=2Dy12解解看作看作Y型域型域221:xyyDY2122221d2dddyxyxxyyxyyyD811d)22(213yyy.62例例2. 1, 1,: ,d122所所圍圍閉閉區(qū)區(qū)域域和和由由計計算算yxxyDyxyD解解D 既是既是X型域又是型域又是Y型域型域111:yxxDX法法1122111xyyxyxdd上上式式1 11 11 1x xo oy=xy=xD Dx xy y12122111dxyxx)()1 (22yx d2121.63法法2yxyDY111: yxyxyy12211d1d原式原式注意到先對注意到先對x 的積分較繁，故應(yīng)用的積分較繁，故應(yīng)用法法1 1較方便較方便

41、111yoy=xD1xy注意兩種積分次序的計算效果！注意兩種積分次序的計算效果！ yxyxyy12211d1d.64例例3. 2,d2所圍閉區(qū)域所圍閉區(qū)域及及：由：由其中其中計算計算xyxyDxyD解解D既是既是X型域型域又是又是Y型域型域先求交點先求交點(4,2) 1)(1, 2 2或或由由xyxy.65法法1 221:2yxyyDY法法22212yyDxxyyxyddd855視為視為X型域型域xyxxD10:1xyxxD241:221 DDD則則必必須須分分割割21dDDDxyxxxxyxyxyxyx24110dddd 計算較繁計算較繁本題進(jìn)一步說明兩種積分次序的不同計算效果！本題進(jìn)一步說

42、明兩種積分次序的不同計算效果！2212yyxxyydd.66小結(jié)小結(jié)以上三例說明，在化二重積分為二次以上三例說明，在化二重積分為二次積分時，為簡便見需積分時，為簡便見需恰當(dāng)選擇積分次恰當(dāng)選擇積分次序序；既要考慮積分區(qū)域；既要考慮積分區(qū)域 D 的形狀，又的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性要考慮被積函數(shù)的特性( (易積易積) ).675.【簡單應(yīng)用】【簡單應(yīng)用】例例4求兩個底圓半徑都等于求兩個底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的的直交圓柱面所圍成的立體的體積體積V.解解xyzRRo 設(shè)兩個直圓柱方程為設(shè)兩個直圓柱方程為,222Ryx利用對稱性利用對稱性, , 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分, ,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為則所求體積為則所求體積為DyxxRVdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz2200:),(xRyRxDyxXxxRRd8022222Ryx222RzxD.68例例5 2, 2的的面