數(shù)列極限的幾種求法_第1頁
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文檔簡介

1、數(shù)列極限的幾種求法 一、定義法:數(shù)列極限的定義如下:設(shè)是一個(gè)數(shù)列,若存在確定的數(shù)a,對>0 N>0使當(dāng)n>N時(shí),都有<則稱數(shù)列收斂于a，記為=a，否則稱數(shù)列不收斂（或稱數(shù)列發(fā)散）。故可從最原始的定義出發(fā)計(jì)算數(shù)列極限。例1、 用-N方法求 解：令 =t+1 則 t>0n+1=>0 取 則當(dāng)時(shí)，有 =1二、單調(diào)有界法：首先我們介紹單調(diào)有界定理，其內(nèi)容如下：在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。證明：不妨設(shè)為有上界的遞增數(shù)列。由確界原理，數(shù)列有上界，記為。以下證明a就是的極限。事實(shí)上，>0，按上確界的定義，存在數(shù)列中某一項(xiàng)，使得 又由的遞增性，當(dāng)時(shí)有 ，這就證

2、得 。同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且其極限即為它的下確界。例2、證明數(shù)列收斂，并求其極限。證：，易見數(shù)列是遞增的?，F(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法來證明有上界。顯然 。假設(shè),則有，從而對一切n 有,即有上界。由單調(diào)有界定理，數(shù)列有極限，記為a 。由于 ，對上式兩邊取極限得 ，即有 （a+1）（a-2）=0，解得 a=-1或a=2由數(shù)列極限的保不等式性，a=-1是不可能的，故有 三、運(yùn)用兩邊夾法：迫斂法：（兩邊夾法）設(shè)收斂數(shù)列，都以a為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)當(dāng)時(shí)有 （1） 則數(shù)列收斂且證： 由 分別存在正數(shù)與使得 當(dāng)時(shí)有 （2） 當(dāng)時(shí)有 （3）取 則當(dāng)時(shí)不等式（1），（2），（3）同時(shí)成立即有 從而有 即證所得結(jié)果。 例3、求解： （1）=1由（1）式及兩邊夾法則 =1 。四、先求和再求極限：例4、求極限解: 五、先用放縮法再求極限：例5、求極限 解：記 則又由兩邊夾法則 =六、用施篤茲公式：首先我們介紹并證明施篤茲公式：施篤茲公式（stolz）：設(shè)

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