數(shù)學(xué)建模有關(guān)納稅的分析與計(jì)算

1、西南交通大學(xué)第二屆“新秀杯”數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽2011年10月27日11月3日題目： C （填寫A、B或C題）參賽隊(duì)員1參賽隊(duì)員2參賽隊(duì)員3姓名學(xué)號(hào)西南交通大學(xué)教務(wù)處西南交通大學(xué)實(shí)驗(yàn)室及設(shè)備管理處西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新實(shí)踐基地 工資薪金所得個(gè)人所得稅計(jì)算方法的優(yōu)化模型摘要本文研究的是關(guān)于工資薪金所得個(gè)人所得稅計(jì)算方法的優(yōu)化問(wèn)題，主要運(yùn)用了數(shù)學(xué)lingo軟件，建立了數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，最后對(duì)模型作出分析、評(píng)價(jià)和改進(jìn)。對(duì)于問(wèn)題一：本文根據(jù)速算扣除數(shù)的相關(guān)定義，再結(jié)合月工資的納稅計(jì)算方法， 最后得出計(jì)算扣除數(shù)。對(duì)于問(wèn)題二：本文首先從實(shí)際情況出發(fā)，結(jié)合題目要求，在從分考慮修訂前后的個(gè)人所得稅的前提下，確定了該員

2、工年總收入分為工資薪金與年終獎(jiǎng)金的基本思路，隨后，本文建立了數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，并利用lingo軟件，對(duì)該模型進(jìn)行了求解，得出最優(yōu)解，即該員工的個(gè)人年終納稅的最合理納稅方案。對(duì)于問(wèn)題三：本文首先以第三問(wèn)為基礎(chǔ)，結(jié)合實(shí)際情況，綜合考慮稅率大小，建立了數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，本文將節(jié)假日費(fèi)用和偶然所得費(fèi)用歸于月工資報(bào)稅，年終獎(jiǎng)金一萬(wàn)元單獨(dú)報(bào)稅，建立了數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，并利用lingo軟件，對(duì)該模型進(jìn)行了求解，得出最優(yōu)解，最合理的報(bào)稅方案即為總稅額最小的方案。關(guān)鍵詞： 個(gè)人所得稅 合理納稅 數(shù)學(xué)優(yōu)化模型 lingo數(shù)學(xué)軟件 1問(wèn)題的重述一 背景介紹十一屆全國(guó)人大常委會(huì)第二十一次會(huì)議30日表決通過(guò)關(guān)于修改個(gè)人所得稅法的決

3、定。法律規(guī)定，工資、薪金所得，以每月收入額減除費(fèi)用3500元后的余額為應(yīng)納稅所得額；工資、薪金所得，適用超額累進(jìn)稅率，稅率為3%至45%。修改后的個(gè)稅法將于2011年9月1日起施行。因此我國(guó)公民在今年納稅時(shí)，要對(duì)納稅方案進(jìn)行合理規(guī)劃。二 要解決的問(wèn)題1、問(wèn)題一 如何計(jì)算稅率計(jì)算公式的速算扣除數(shù)？2、問(wèn)題二 某公司員工連續(xù)兩年全年總收入57萬(wàn)元/年, 若采用修改前、后的個(gè)稅法，他應(yīng)如何報(bào)稅，從而達(dá)到合理報(bào)稅。3、問(wèn)題三 若該公司將在節(jié)假日（五一、國(guó)慶）發(fā)放節(jié)日費(fèi)500-2000元，以及單獨(dú)發(fā)放年終獎(jiǎng)勵(lì)1萬(wàn)元，而該員工在某月有工資外偶爾所得7000元，則該員工又應(yīng)如何報(bào)稅？ 12問(wèn)題的分析一 相關(guān)

4、知識(shí)的介紹個(gè)人所得稅是調(diào)整征稅機(jī)關(guān)與自然人(居民、非居民人)之間在個(gè)人所得稅的征納與管理過(guò)程中所發(fā)生的社會(huì)關(guān)系的法律規(guī)范的總稱。凡在中國(guó)境內(nèi)有住所，或者無(wú)住所而在中國(guó)境內(nèi)居住滿一年的個(gè)人，從中國(guó)境內(nèi)和境外取得所得的，以及在中國(guó)境內(nèi)無(wú)住所又不居住或者無(wú)住所而在境內(nèi)居住不滿一年的個(gè)人，從中國(guó)境內(nèi)取得所得的，均為個(gè)人所得稅的納稅人。全國(guó)人民代表大會(huì)常務(wù)委員會(huì)關(guān)于修改中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法的決定已由中華人民共和國(guó)第十一屆全國(guó)人民代表大會(huì)常務(wù)委員會(huì)第二十一次會(huì)議于2011年6月30日通過(guò)，現(xiàn)予公布，自2011年9月1日起施行。修改中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法的相關(guān)內(nèi)容如下：第二條 下列各項(xiàng)個(gè)人所得，應(yīng)

5、納個(gè)人所得稅： 一、工資、薪金所得； 二、個(gè)體工商戶的生產(chǎn)、經(jīng)營(yíng)所得； 三、對(duì)企事業(yè)單位的承包經(jīng)營(yíng)、承租經(jīng)營(yíng)所得； 四、勞務(wù)報(bào)酬所得； 五、稿酬所得； 六、特許權(quán)使用費(fèi)所得； 七、利息、股息、紅利所得； 八、財(cái)產(chǎn)租賃所得； 九、財(cái)產(chǎn)轉(zhuǎn)讓所得； 十、偶然所得； 十一、經(jīng)國(guó)務(wù)院財(cái)政部門確定征稅的其他所得。 第三條 個(gè)人所得稅的稅率：一、 工資、薪金所得，使用超額累進(jìn)稅率，稅率為百分之三至百分之四十五（稅率表附后）。（2011年修訂）額累進(jìn)稅率，稅率為二、 個(gè)體工商戶的生產(chǎn)、經(jīng)營(yíng)所得和對(duì)企事業(yè)單位的承包經(jīng)營(yíng)、承租經(jīng)營(yíng)所得，適用百分之五至百分之三十五的超額累進(jìn)稅率（稅率表附后）。 三、 稿酬所得，適用

6、比例稅率，稅率為百分之二十，并按應(yīng)納稅額百分之三十。 四、 勞務(wù)報(bào)酬所得，適用比例稅率，稅率為百分之二十。對(duì)勞務(wù)報(bào)酬所得一次收入畸高的，可以實(shí)行加成征收，具體辦法由國(guó)務(wù)院規(guī)定。五、 特許權(quán)使用費(fèi)所得，利息、股息、紅利所得，財(cái)產(chǎn)租賃所得，財(cái)產(chǎn)轉(zhuǎn)讓所得，偶然所得和其他所得，適用比例稅率，稅率為百分之二十。 2第六條 應(yīng)納稅所得額的計(jì)算：一、 工資、薪金所得，以每月收入額減除費(fèi)用三千五百元后的余 額，為應(yīng)納稅所得額。（2011年修訂） 二、個(gè)體工商戶的生產(chǎn)、經(jīng)營(yíng)所得，以每一納稅年度的收入總額，減除成本、費(fèi)用以及損失后的余額，為應(yīng)納稅所得額。三、對(duì)企事業(yè)單位的承包經(jīng)營(yíng)、承租經(jīng)營(yíng)所得，以每一納稅年度的收

7、入總額，減除必要費(fèi)用后的余額，為應(yīng)納稅所得額。 四、勞務(wù)報(bào)酬所得、稿酬所得、特許權(quán)使用費(fèi)所得、財(cái)產(chǎn)租賃所得，每次收入不超過(guò)四千元的，減除費(fèi)用八百元；四千元以上的，減除百分之二十的費(fèi)用，其余額為應(yīng)納稅所得額。 五、財(cái)產(chǎn)轉(zhuǎn)讓所得，以轉(zhuǎn)讓財(cái)產(chǎn)的收入額減除財(cái)產(chǎn)原值和合理費(fèi)用后的余額，為應(yīng)納稅所得額。 六、利息、股息、紅利所得，偶然所得和其他所得，以每次收入額為應(yīng)納稅所得額。個(gè)人將其所得對(duì)教育事業(yè)和其他公益事業(yè)捐贈(zèng)的部分，按照國(guó)務(wù)院有關(guān)規(guī)定從應(yīng)納稅所得中扣除。稅率表一（工資、薪金所得適用）級(jí)數(shù)全月應(yīng)納所得額含稅級(jí)距全月應(yīng)納所得額不含稅級(jí)距稅率%速算扣除數(shù)（元）1不超過(guò)1500元的不超過(guò)1455元的302

8、超過(guò)1500元至4500元的部分超過(guò)1455元至4155元的部分101053超過(guò)4500元至9000元的部分超過(guò)4155元至7755元的部分205554超過(guò)9000元至35000元的部分超過(guò)7755元至27255元的部分2510055超過(guò)35000元至55000元的部分超過(guò)27255元至41255元的部分3027556超過(guò)55000元至80000元的部分超過(guò)41255元至57505元的部分3555057超過(guò)80000元的部分超過(guò)57505元的部分4513505注：1.本表所列含稅級(jí)距與不含稅級(jí)距，均為按照稅法規(guī)定減除有關(guān)費(fèi)用后的所得額；2.含稅級(jí)距適用于由納稅人負(fù)擔(dān)稅款的工資、薪金所得；不含稅

9、級(jí)距適用于由他人（單位）代付稅款的工資、薪金所得。3稅率表二（個(gè)體工商戶的生產(chǎn)、經(jīng)營(yíng)所得和對(duì)企事業(yè)單位的承包經(jīng)營(yíng)、承租經(jīng)營(yíng)所得適用）級(jí)數(shù)全年應(yīng)納所得額稅率%含稅級(jí)距不含稅級(jí)距1不超過(guò)15000元的不超過(guò)14250元的52超過(guò)15000元至30000元的部分超過(guò)14250元至27750元的部分103超過(guò)30000元至60000元的部分超過(guò)27750元至51750元的部分204超過(guò)60000元至100000元的部分超過(guò)51750元至79750元的部分305超過(guò)100000元的部分超過(guò)79750元的部分35注：1.本表所列含稅級(jí)距與不含稅級(jí)距，均為按照稅法規(guī)定以每一納稅年度的收入總額減除成本、費(fèi)用以

10、及損失后的所得額；2.含稅級(jí)距適用于個(gè)體工商戶的生產(chǎn)、經(jīng)營(yíng)所得和由納稅人負(fù)擔(dān)稅款的對(duì)企事業(yè)單位的承包經(jīng)營(yíng)、承租經(jīng)營(yíng)所得；不含稅級(jí)距適用于由他人（單位）代付稅款的對(duì)企事業(yè)單位的承包經(jīng)營(yíng)、承租經(jīng)營(yíng)所得。3模型的假設(shè)一、 個(gè)人年收入僅為每月的月收入和年終獎(jiǎng)的收入。二、月收入不低于2000元，不高于8000元。 三、月收入等額。4模型符號(hào)說(shuō)明一、名詞解釋個(gè)人所得稅：個(gè)人所得稅是調(diào)整征稅機(jī)關(guān)與自然人(居民、非居民人)之間在個(gè)人所得稅的征納與管理過(guò)程中所發(fā)生的社會(huì)關(guān)系的法律規(guī)范的總稱。凡在中國(guó)境內(nèi)有住所，或者無(wú)住所而在中國(guó)境內(nèi)居住滿一年的個(gè)人，從中國(guó)境內(nèi)和境外取得所得的，以及在中國(guó)境內(nèi)無(wú)住所又不居住或者無(wú)

11、住所而在境內(nèi)居住不滿一年的個(gè)人，從中國(guó)境內(nèi)取得所得的，均為個(gè)人所得稅的納稅人。 4全國(guó)人民代表大會(huì)常務(wù)委員會(huì)關(guān)于修改中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法的決定已由中華人民共和國(guó)第十一屆全國(guó)人民代表大會(huì)常務(wù)委員會(huì)第二十一次會(huì)議于2011年6月30日通過(guò)，現(xiàn)予公布，自2011年9月1日起施行。 二、符號(hào)說(shuō)明級(jí)數(shù)為n時(shí)，對(duì)應(yīng)的稅率級(jí)數(shù)為n時(shí)對(duì)應(yīng)的速算扣除數(shù)級(jí)數(shù)為n時(shí)對(duì)應(yīng)的含稅級(jí)距的最大值 全月應(yīng)納所得額對(duì)應(yīng)n級(jí)時(shí)所應(yīng)納稅額Q納稅人的當(dāng)月收入B個(gè)稅起征點(diǎn)（3500）第i個(gè)月的收入ai第i月工資為Xi所對(duì)應(yīng)的稅率Z全年納稅額y年終獎(jiǎng)p年收入第i月工資所納稅額年終獎(jiǎng)納稅額5模型的建立與求解從所要解決的問(wèn)題和對(duì)問(wèn)題作

12、出的假設(shè)出發(fā)，我們對(duì)問(wèn)題二和問(wèn)題三而建立了數(shù)學(xué)優(yōu)化模型。 5模型 數(shù)學(xué)優(yōu)化模型本模型首先把全年的稅額分到12個(gè)月中納稅，然后分別根據(jù)每個(gè)月的工資得出相應(yīng)的稅率，進(jìn)而求出每個(gè)月應(yīng)納的稅額。利用優(yōu)化模型解除12個(gè)月所繳稅額最少的最優(yōu)方案。一、 對(duì)問(wèn)題一的分析 1、根據(jù)傳統(tǒng)的應(yīng)納稅額（不含速算扣除數(shù)）的計(jì)算公式，再結(jié)合當(dāng)月應(yīng)繳個(gè)人所得稅額的現(xiàn)今計(jì)算公式，再聯(lián)立兩個(gè)式子，可求得速算扣除數(shù)。（1）相關(guān)量的定義速算扣除數(shù) ：采用超累進(jìn)稅率時(shí)，簡(jiǎn)化計(jì)算應(yīng)納稅額的一個(gè)數(shù)據(jù)，速算扣除數(shù)實(shí)際上是在級(jí)距和稅率不變的條件下，全額累進(jìn)稅率的應(yīng)納稅額比超額累進(jìn)稅率的應(yīng)納稅額多拿的一個(gè)常數(shù)。因此，在超額累進(jìn)稅率的條件下，用

13、全額累進(jìn)的計(jì)稅方法，只要減掉這個(gè)常數(shù)，就等于用超額累進(jìn)方法計(jì)算的應(yīng)納稅額，故稱速算扣除數(shù)。每月工資應(yīng)納稅計(jì)算方案：例如： 如某人月工薪收入為5900元，則月應(yīng)納稅所得額=5900-3500=2400元,當(dāng)月應(yīng)交個(gè)人所得稅額=15003%+（2400-1500）10%=135元；或當(dāng)月應(yīng)交個(gè)人所得稅額=應(yīng)納稅所得額適用稅率-速算扣除數(shù)= 240010%-105=135元。模型月工資不超過(guò)5000時(shí)納稅人所應(yīng)繳納的稅為 P1=0 Q5000月工資在5000到8000之間時(shí)納稅人應(yīng)繳納的稅為 5000Q=8000月工資在8000到12500之間時(shí)納稅人所應(yīng)交的稅為 8000Q12500月工資在125

14、00到38500之間時(shí)納稅人所應(yīng)交的稅為 6 12500Q38500M4=H3(A4-A3)月工資在38500到58500之間時(shí)納稅人所應(yīng)交的稅為 38500Q58500 月工資在58500到83500之間時(shí)納稅人所應(yīng)交的稅為 58500 Q83500M6=H5(A6-A5)月工資大于83500時(shí)納稅人所應(yīng)交的稅為 83500QM7=H6(A7-A6)由以上模型課推理出速算扣除數(shù)Mn=Mn-1（An-An-1）可得 7一級(jí)速算扣除數(shù) M1=0 二級(jí)速算扣除數(shù) M2=105 三級(jí)速算扣除數(shù) M3=555 四級(jí)速算扣除數(shù) M4=1005 五級(jí)速算扣除數(shù) M5=2755六級(jí)速算扣除數(shù) M6=5505

15、七級(jí)速算扣除數(shù) M7=13505 級(jí)數(shù)全月應(yīng)納所得額（含稅級(jí)距）稅率%速算扣除數(shù)1不超過(guò)1500元的302超過(guò)1500元至4500元的部分101053超過(guò)4500元至9000元的部分205554超過(guò)9000元至35000元的部分2510055超過(guò)35000元至55000元的部分3027556超過(guò)55000元至80000元的部分3555057超過(guò)80000元的部分4513505二、 對(duì)問(wèn)題二的分析 8 本文認(rèn)為“員工連續(xù)兩年全年總收入57萬(wàn)元/年”應(yīng)指該員工在今年以及明年的年收入為5-7萬(wàn)元，對(duì)此本文將所納稅額分為今年所納稅額和明年所納稅額之和。由于今年九月一日前后稅率被修改，所以將今年所納稅額

16、分為前八個(gè)月（修訂前）和后四個(gè)月（修訂后）的所納稅額之和。而明年的所納稅額就是十二個(gè)月的所納稅額之和，利用數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，列出計(jì)算式，在結(jié)合lingo數(shù)學(xué)軟件，可計(jì)算出最優(yōu)解。 年終一次性獎(jiǎng)金納稅計(jì)算方案：a.先將雇員當(dāng)月內(nèi)取得的全年一次性獎(jiǎng)金，除以12個(gè)月，按其商數(shù)確定適用稅率和速算扣除數(shù)。b.將雇員個(gè)人當(dāng)月內(nèi)取得的全年一次性獎(jiǎng)金，按本條第1項(xiàng)確定的適用稅率和速算扣除數(shù)計(jì)算征稅模型 數(shù)學(xué)優(yōu)化模型決策變量：每個(gè)月的月工資（i=1,212）和年終獎(jiǎng)。目標(biāo)函數(shù)：年總納稅額年總納稅額等于十二個(gè)月所納稅額之和加上年終獎(jiǎng)金的納稅額,即最優(yōu)方案為Z最小時(shí)。約束條件：今年前八個(gè)月的月所納稅額與月份i的關(guān)系（i

17、=1,2,3,4,5,6,7,8）當(dāng)在2000到2500范圍內(nèi)時(shí)， =（-20005%當(dāng)在2500到4000范圍內(nèi)時(shí)， 10%-25當(dāng)在4000到7000范圍內(nèi)時(shí)， 9 15%-125當(dāng)在7000到8000范圍內(nèi)時(shí)， 20%-1375綜上所述，前八個(gè)月月所納稅額與月工資的關(guān)系如下：后四個(gè)月的月所納稅額（i=9,10,11,12）當(dāng)在2000到3500范圍內(nèi)時(shí)， =0當(dāng)在3500到5000范圍內(nèi)時(shí)， =3% 當(dāng)在5000到8000范圍內(nèi)時(shí)， =10%-105綜上所述，后四個(gè)月的月所納稅額與月工資的關(guān)系： 10年終獎(jiǎng)納稅額與年終獎(jiǎng)之間的關(guān)系如下所示當(dāng)/12在0到1500范圍內(nèi)時(shí)，=3%當(dāng)/12在1

18、500到4500范圍內(nèi)時(shí)，=10%當(dāng)/12在4500到9000范圍內(nèi)時(shí)，=20%當(dāng)/12在9000到35000范圍內(nèi)時(shí)，=25%當(dāng)/12在35000到55000范圍內(nèi)時(shí)，=30%當(dāng)/12在55000到80000范圍內(nèi)時(shí)，=35%當(dāng)/12大于80000時(shí)，=45%綜上所述，年終獎(jiǎng)納稅額f（）與年終獎(jiǎng)之間的關(guān)系如下所示： 11而2012年的月所納稅額與月工資的關(guān)系(i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) 當(dāng)在2000到3500范圍內(nèi)時(shí)，=0當(dāng)在3500到5000范圍內(nèi)時(shí)，=（-3500）3%當(dāng)在5000到8000范圍內(nèi)時(shí)，=（-3500）10%-105綜上所述，2012年的月所

19、納稅額與月份的關(guān)系： 12模型求解 用LINGO軟件求解，最終得出的最優(yōu)解為 最佳情況中的總稅額為：8375元 最佳情況的前八個(gè)月月工資為：3224.5元 后四個(gè)月月工資為：4158.26元 最佳情況的前八個(gè)月每月稅額為：134.56元 后四個(gè)月每月稅額為：46.58元 最佳情況的年終獎(jiǎng)為：30100.91元 最佳情況年終獎(jiǎng)應(yīng)繳稅額為：4390.14元三、對(duì)問(wèn)題三的分析由問(wèn)題可知，該員工獲得了節(jié)日費(fèi)、年終獎(jiǎng)以及處工資外偶然所得，而根據(jù)有關(guān)規(guī)定，個(gè)人偶然所得進(jìn)行納稅時(shí)，應(yīng)采用稅率20%，即所納稅額=7000x20%,而根據(jù)個(gè)人所得稅法第九條扣繳義務(wù)人每月所扣的稅款，自行申報(bào)納稅人每月應(yīng)納的稅款，

20、都應(yīng)當(dāng)在次月15日內(nèi)繳入國(guó)庫(kù)，并向稅務(wù)機(jī)關(guān)報(bào)送納稅申報(bào)表。故本文認(rèn)為第三問(wèn)中該員工的總收入為5-7萬(wàn)元，其中的年終獎(jiǎng)10000元為確定值。而為了合理報(bào)稅，該員工應(yīng)該將偶然所得的7000元列入工資范圍以內(nèi)來(lái)報(bào)稅，因此該員工報(bào)稅時(shí)要將總收入分為工資薪金所得和年總獎(jiǎng)金來(lái)報(bào)稅。最終年總納稅為前八個(gè)月（修訂前）、后四個(gè)月納稅額與年終獎(jiǎng)納稅額之和。利用數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，列出計(jì)算式，結(jié)合lingo軟件，求出最優(yōu)解。模型 數(shù)學(xué)優(yōu)化模型前八個(gè)月月納稅額與月份的關(guān)系如下所示（i=1,2,3,4,5,6,7,8） （1）、月工資納稅額與月工資之間的關(guān)系式如下所示：當(dāng)?shù)趥€(gè)月的月工資在2000到2500時(shí)月工資稅額5%當(dāng)月工資在2000到2500時(shí)，月工資納稅額10%-25當(dāng)月工資在2000到2500時(shí)，月工資納稅額 1315%-125當(dāng)月工資在2000到2500時(shí)，月工資納稅額20%-375綜上所述，月