微積分學中的微元分析法

1、微積分學中的微元分析法王鳳鳴1，2 李世紀2（1. 南陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 南陽 473061； 2. 河南財經(jīng)學院 成功學院，河南 鄭州 451200）摘要：微元分析法早在微積分學的嚴密理論建立之前就已經(jīng)在幾何學、力學、運動學、天文學等領域廣泛應用.這些應用在解決實際問題，給出很多精彩結果的同時，引導人們認識了微分與積分的互逆關系，從而導致了微積分基本定理的建立.學會微元分析法對掌握微積分的理論和應用十分重要，本文詳細分析討論微元分析法的應用條件和方法.關鍵詞：微積分、微元分析法、相關性、可加性.中圖分類號：O 172.1 文獻標識碼：A 文章編號：1671 - 6132（200

2、7）09 - 0019 03微積分是人類文明發(fā)展史上理性智慧的精華，早在二百多年前，微積分已經(jīng)成為自然科學和工程技術中不可缺少的工具.歷史發(fā)展到今天，微積分學的應用幫助社會學、心理學、商學和經(jīng)濟學等許多領域取得巨大的進步，這其中最重要的事情就是微元分析法幫助我們建立了各種紛繁復雜的實際問題的數(shù)學模型.微分方程（這里表示時間變量，是某個時間序列量，是比例常數(shù)）不是一個非常精彩的例子嗎！它如此簡明，但大到一定條件下各種生物種群的生衰變化，小到物體冷卻、放射性物質的裂變等動態(tài)過程都可以用這個模型來刻劃.現(xiàn)行的“高等數(shù)學”（微積分）課程都是在定積分應用中作為定積分概念的簡化介紹微元分析法的.即用定積分

3、求某個總量時，先求出總量的微分（相當于寫出），再計算定積分（相當于計算）上面第一步是問題的關鍵，這時要選定一個和相關的變量（就是積分變量），建立一個對的無限細分方式，在用于刻劃這個細分的“”段上以直代曲，以均勻代不均勻，用初等規(guī)則計算的微元.當然實施定積分計算，要求總量在積分變量的變化區(qū)間上具有可加性.就是說，如果把區(qū)間分成若干個部分區(qū)間，則相對應地分成若干部分量，而等于所有部分量之和.選擇與總量相關的變量，建立對的分劃方法是非常靈活的，這一步做得恰當，會把問題解決得很簡明，看下面的例子.圖一我們考查（圖一）曲邊梯形（）繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積.選取作積分變量（所求體積顯然與變量相關），用

4、同軸（軸）的圓柱面簇劃分這個旋轉體，在旋轉半徑為與（）的兩個圓柱面之間得到體積微元 由此得到（圖一）曲邊梯形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積公式 .例1. 計算由正弦曲線與軸圍成的圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積.圖二解：如圖二，利用上面公式，所求體積例2. 計算由擺線，的一拱，直線所圍成的圖形繞軸旋轉一周而成的旋轉體的體積 .解：如圖三，對上面公式作換元積分有圖三再作換元，令，利用奇偶性有 上面分劃旋轉體體積的方法稱為“柱殼法”，這比通常教科書上的切片劃分來得簡單.例1、例2都是同濟大學“高等數(shù)學”教材上的例題，讀者不妨自己做個比較.關于“可加性”的要求，我們給出下面例子對比“可加”和“不可加”

5、，以加深對“可加性”條件的理解.圖 四例3. 設長為的均勻細桿，質量為；另有一質量為的質點位于細桿的中垂線上，與桿的距離為.計算細桿對質點的引力.解：建立如圖四坐標系，均勻細桿在上的質量為，由萬有引力公式得到引力微元 （為引力常數(shù)）這里在對細桿分劃的不同段落上的方向是不同的，所以引力微元集不具有可加性，從而不能對它積分求引力.在軸、軸方向上的分量分別為這里微元集分別是軸、軸方向上的同向平行力，它們各自是可加的，從而作換元 有 事實上，微元分析法凝聚了微積分的基本思想，早在柯西給出極限的精確定義，隨后數(shù)學家們建立了嚴密的分析理論之前，運用微元分析法貝努里、惠更斯解決了懸鏈線問題，牛頓、萊布尼茨解

6、決了最速降線問題，并引導人們認識了微分與積分的互逆關系，從而導致了微積分基本定理的建立.圖 五前面已經(jīng)說過，微元分析法能幫助我們建立實際問題的數(shù)學模型，作為欣賞，我們給出下面的例子. 把旋輪線如圖五放在坐標系中，這時其參數(shù)方程為 設質量為的小球在、兩點間沿旋輪線作無摩擦擺動，我們計算小球的擺動周期.旋輪線的弧微元 （）設小球的初始位置點對應參數(shù)，則點對應參數(shù) .再設小球時刻位于點，其線速度為，由能量守恒定律有于是由此，旋輪線弧微元就是小球在時間內的路程 （）由（）、（）兩式就有積分上式即得擺動周期 這個結果告訴我們，小球擺動周期與小球初始位置無關，正是由于這個性質，旋輪線又稱擺線.上面過程中涉

7、及三個微元：弧長微元、參數(shù)微元、時間微元.與的關系實質上是對曲線弧細分后在局部以直代曲，對弧微分三角形運用勾股定理 ；與的關系（）則是以均速代替非均速.于是通過建立了、間的數(shù)量關系.品味上面的分析方法，再對比單擺周期公式（，為擺長），這個例子的過程和結果都是很美的！最后我們再用微元分析法計算一個二重積分.計算，其中是閉區(qū)域.（圖六）解：用等值線劃分積分區(qū)域.于是夾在直線與間的面積微元（矩形） 再以定值代替被積函數(shù)（變值），于是 歸根結底，微積分是一種思想，微元分析是這個思想的靈魂.講授“微積分”決不能只關注那些微分、積分公式和計算技巧，更重要的是引導學生建立起宏觀與微觀的辯證思維，學會應用微元分析法描述