不可或缺性論證與反實在論數(shù)學哲學

1、“不可或缺性論證”與反實在論數(shù)學哲學葉峰* 【基金項目】本文得到教育部2004年社會科學重大課題攻關(guān)項目“當代科學哲學發(fā)展趨勢研究”資助（項目編號04JED0004）。（北京大學哲學系）摘要 對抽象數(shù)學對象的實在性的“不可或缺性論證”，是最近幾十年來數(shù)學哲學的爭論焦點?，F(xiàn)有的對“不可或缺性論證”的質(zhì)疑的有一些重要缺陷。彌補這些缺陷以更有力地質(zhì)疑不可或缺性論證引出了一種新的，反實在論的數(shù)學哲學觀。 1. 引言二十世紀初的數(shù)學哲學研究，側(cè)重于探討數(shù)學基礎問題。由此產(chǎn)生了邏輯主義、形式主義、與直覺主義等數(shù)學基礎流派。進入二十世紀中期以后，數(shù)學基礎問題不再困擾數(shù)學家們，哲學家們也開始轉(zhuǎn)向關(guān)注關(guān)于經(jīng)典數(shù)

2、學的本體論與認識論問題。這包括探討抽象數(shù)學對象是否在字面意義上存在，數(shù)學定理是否為關(guān)于抽象數(shù)學對象的客觀真理，我們?nèi)绾文軌颢@得、確證經(jīng)典數(shù)學的知識，以及數(shù)學為何可應用等等。這些問題，是傳統(tǒng)本體論與認識論問題在數(shù)學領域的反映。由于數(shù)學對象與知識的特殊性，關(guān)于數(shù)學的本體論與認識論問題，一直是對各種傳統(tǒng)與近、現(xiàn)代哲學思想與流派的挑戰(zhàn)。數(shù)學對象與知識的特殊性在于：一方面，如果存在的話，數(shù)學對象應該是實質(zhì)性地獨立于物質(zhì)世界的所謂抽象對象。比如，現(xiàn)代物理學認為，宇宙有可能在宏觀上和微觀上都是有限和離散的，而在經(jīng)典數(shù)學中，無窮對象被認為是非常確定地存在的，與物理世界是否有限、離散無關(guān)。這導致了關(guān)于抽象、無窮

3、數(shù)學對象的認識論難題。比如，經(jīng)驗論不能直接用于解釋我們?nèi)绾潍@得關(guān)于超出有限的經(jīng)驗世界的實無窮的知識；傳統(tǒng)的理性主義解釋，由于其獨斷論的傾向，當然也是可疑的；康德式的由先天認知形式?jīng)Q定的先天綜合真理，原則上也只能涵蓋我們的感官所可能涉及的范圍，而不能達到經(jīng)典數(shù)學中的實無窮。但是，另一方面，在科學與數(shù)學中，我們似乎確實是在談論無窮的數(shù)學對象；數(shù)學家們所證明的、科學家們所應用的，似乎確實是關(guān)于數(shù)學對象的客觀真理。這兩方面表面上互相沖突的現(xiàn)象，構(gòu)成了一個哲學上的謎。 這個難解的謎，是當代數(shù)學哲學的動力之一。對它的回應，包括兩個對立的觀點：數(shù)學實在論與唯名論（或稱反實在論）。數(shù)學實在論者相信，抽象、無窮

4、的數(shù)學對象客觀地存在，而且數(shù)學定理是關(guān)于它們的客觀真理。實在論的主要困難之一就是上面提及的認識論難點，即如何解釋對數(shù)學對象的知識（Benacerraf 1973）。反之，對實在論的支持則來源于數(shù)學在現(xiàn)代科學中的廣泛的應用，它由哲學家蒯因與普特南概括為所謂對于數(shù)學實在論的“不可或缺性論證”(indispensability argument, 參見Quine 1980; Putnam 1979)。數(shù)學唯名論或反實在論者則相反，認為抽象數(shù)學對象不存在，以此回避關(guān)于抽象數(shù)學對象的認識論難題。但是，數(shù)學反實在論者必須應對不可或缺性論證所帶來的挑戰(zhàn)，同時必須說明，假如數(shù)學不是關(guān)于抽象數(shù)學對象的客觀真理，

5、那么數(shù)學是什么，為什么數(shù)學可應用。不可或缺性論證是實在論與反實在論之爭的焦點之一。本文將側(cè)重于分析現(xiàn)有的對不可或缺性論證的批評的不足之處，探討如何才能真正應對不可或缺性論證，并借此闡述一種新的反實在論的數(shù)學哲學。對本文所提出的反實在論數(shù)學哲學（從另一個角度出發(fā)）的更詳細的正面論述，可參見Ye（2006）。在進入正文之前，這里必須指出，數(shù)學實在論與科學實在論是不同的兩種觀點。表面上它們都稱為實在論，但數(shù)學實在論者是假設了一個獨立于物質(zhì)世界的、抽象的、客觀的、無窮的數(shù)學世界（即使物質(zhì)世界是有限的）。因此它們有實質(zhì)性的區(qū)別。本文中的“實在論”都指數(shù)學實在論。2. 不可或缺性論證及對它的質(zhì)疑最近些年，

6、一些學者們對不可或缺性論證作了更準確、細致的表述。一般認為，不可或缺性論證包含這么幾個前提（Colyvan 2004; Azzouni 1998）：（1）抽象數(shù)學對象的不可或缺性：用單稱詞項或變元指稱抽象數(shù)學對象，或用量詞概括抽象數(shù)學對象的判斷，在科學理論中是必不可少的；（2）整體主義確證論：對科學理論的確證（confirmation）是整體性（holistic）的，即一個科學理論在經(jīng)驗上的正確性，不僅確證了它的關(guān)于物理對象(比如原子、電子等)的假設的真理性，也確證了它的關(guān)于抽象數(shù)學對象的假設的真理性；（3）本體論承諾準則：一個科學理論所斷定為真正存在的事物，就是它的用一階表達的論斷中的變元的

7、值，或量詞所概括的事物；（4）自然主義原則：科學是本體論問題的最后裁判，沒有超出科學之外的，斷定某物“真正存在”的，“第一哲學”標準。由這些前提就可以得出，科學的成功，確證了抽象數(shù)學對象“真正地存在”。目前，反實在論者對它的種種質(zhì)疑，主要是對前三個前提的質(zhì)疑。質(zhì)疑前提（1）的反實在論者有兩類。一類認為，可以發(fā)展出一種新的、不指稱抽象數(shù)學對象的、唯名論的數(shù)學，從而使得科學理論不必承諾那些不存在的抽象數(shù)學對象。Field（1980），Hellman（1989），Chihara（1990）屬于這一類。另一類認為，數(shù)學判斷不像它表面上所顯示的那樣，是關(guān)于一些時空之外的抽象數(shù)學對象的判斷，相反，數(shù)學判斷

8、有隱藏著的真正涵義，而這些真正涵義其實不指稱，也不用量詞概括抽象數(shù)學對象。因此，他們也拒絕前提（1），但是他們不試圖發(fā)明新數(shù)學，而只是想重新解釋經(jīng)典數(shù)學中的陳述，使得它們不承諾抽象數(shù)學對象。這一類中典型的有Yablo（2002）的比喻主義。拒絕前提（2）的反實在論者通常承認經(jīng)典數(shù)學是對科學來說最好的數(shù)學，而不認為有可能發(fā)展出某種能夠替代經(jīng)典數(shù)學的唯名論數(shù)學。他們也依舊從字面意義上理解數(shù)學命題，承認數(shù)學判斷確實指稱抽象數(shù)學對象。但是，他們認為科學家們對數(shù)學判斷的態(tài)度不是信其為真，而只是接受或使用它們，科學理論在經(jīng)驗上的成功，只確證了理論中的關(guān)于可觀察或不可觀察的物理對象的假設，而不確證其中的關(guān)于

9、抽象數(shù)學對象的假設。這種觀點也可分為兩類：其中一類明確認為數(shù)學判斷在字面意義上是假的，抽象數(shù)學對象是虛構(gòu)的，而不真正地存在，如Hoffman（2004）。他們對數(shù)學對象的觀點，接近于范·弗拉森的構(gòu)造經(jīng)驗論對不可觀察的物理對象的觀點。另一類則僅僅拒絕整體主義確證觀，強調(diào)數(shù)學的自主性，但對于數(shù)學對象究竟是否真正存在，不作正面的、明確的回答，如Maddy（1997, 2005）。這種觀點被稱為數(shù)學自然主義。拒絕前提（3）的反實在論者，則試圖對數(shù)學中的“存在”作出新的闡釋。比如，有的提出，“存在”可以是一個謂詞，或者可以有兩種不同形式的存在量詞，而只有其中的一種形式才真正蘊涵本體論承諾，而數(shù)

10、學中的“存在”不必如此（Azzouni 1998）。這種策略與拒絕確證論上整體主義的策略的區(qū)別是，它試圖進一步分析或質(zhì)疑“抽象實體存在”的涵義和所謂“本體論承諾”這個概念本身，而不僅僅是質(zhì)疑科學應用能夠確證抽象實體的存在性。3. 當前對不可或缺性論證的質(zhì)疑的缺陷3.1抽象數(shù)學對象的不可或缺性Field（1980）發(fā)展了一種幾何化的數(shù)學，以時空中的點或區(qū)域為對象，重新表述一些經(jīng)典數(shù)學的命題。比如，將時空中的一些離散的點的序列當作自然數(shù)序列，將時空中的線當作實數(shù)連續(xù)統(tǒng)，將時空區(qū)域當作實數(shù)集合等等。因此，一些經(jīng)典數(shù)學的命題就被表述為關(guān)于時空中的點與區(qū)域的命題。他認為，時空中的點與區(qū)域是具體對象，因此

11、這樣的唯名論數(shù)學不假設抽象對象存在。如果這樣的數(shù)學足以為科學提供數(shù)學基礎，它說明了抽象數(shù)學對象不是不可或缺的。至于經(jīng)典數(shù)學的實際應用，F(xiàn)ield建議，可以通過將它們轉(zhuǎn)化為唯名論數(shù)學的應用，來說明為什么表面上是在談論不存在的抽象對象的經(jīng)典數(shù)學是可用的。實在論的辯護者Burgess與Rosen（1997）對Field的批評強調(diào)，F(xiàn)ield的唯名論數(shù)學，繁瑣而且只能涵蓋很有限的數(shù)學，不可能得到科學界的承認。除非某種唯名論數(shù)學被科學共同體接受，被認為是依科學標準（而非所謂的哲學標準）是更好的理論，否則它就不能說明，抽象對象在科學中是可消除的。他們認為，用唯名論數(shù)學代替經(jīng)典數(shù)學的想法，是將一些哲學原理，

12、即唯名論原則，置于科學之上，看得高于科學家們的判斷。這是不可接受的，因為歷史證明，從哲學的偏見出發(fā)來批評、拒絕科學，結(jié)果總是哲學失敗。這里我想指出，F(xiàn)ield的方案的另一些更根本性的缺陷，迄今為止似乎都被他的批評者們忽略，即唯名論者不能假設無窮，甚至潛無窮的實在性。Field（1980）的唯名論數(shù)學假設了有無窮多的時空中的點，因此它假設了實無窮。Field在他的最近的相關(guān)文章（Field 1998）中，更明確提到了時空是無窮的這一假設。但是，從物理學的角度說，宇宙在宏觀上是有限的，而微觀時空結(jié)構(gòu)也有可能是離散的。如果宇宙是有限和離散的，那么它意味著宇宙間總共只有有限多的具體事物。假設無窮，哪怕

13、是潛無窮，就是假設了抽象事物的實在性。微觀時空結(jié)構(gòu)是否離散，當然在物理學中還只是一個未定的假說，但要點是，一種數(shù)學哲學應該獨立于一個今天還未確定的物理學假設。經(jīng)典數(shù)學不僅僅被應用在物理學中，它還被應用在經(jīng)濟學等其它領域中，其中所應用的對象顯然是有限和離散的，與時空結(jié)構(gòu)是否為連續(xù)無關(guān)。而且，即使有一天所有物理學家都接受了時空結(jié)構(gòu)是有限、離散的這一假設，可以想象，科學家還是會同樣地應用經(jīng)典數(shù)學于物理學或經(jīng)濟學中。更進一步說，所有今天的科學理論，包括牛頓物理、相對論物理、與量子物理等，都僅僅在有限的范圍、有限的精度內(nèi)是準確的。普朗克尺度（10-33cm）以下的空間結(jié)構(gòu)，已經(jīng)超出我們今天所能認識的范圍

14、。所以，實際上今天所有的經(jīng)典數(shù)學的應用，包括在物理學中的應用，都是對有限事物的應用，與經(jīng)典數(shù)學在對象明顯為有限、離散的經(jīng)濟學中的應用，沒有實質(zhì)性的差別。如果一種數(shù)學哲學理論，在解釋經(jīng)典數(shù)學是什么，為什么可應用時，需要依賴時空的無窮性這樣的物理學假設，那么這種哲學一定錯過了關(guān)于數(shù)學的一些本質(zhì)性的東西。這實際上是Field的方案的更根本性的問題。3.2 整體主義確證論問題上世紀九十年代開始，一些學者開始將注意力轉(zhuǎn)向質(zhì)疑不可或缺性論證中的整體主義確證論假設，部分原因可能是由于意識到Field式的策略的局限性，因此，他們將注意力轉(zhuǎn)向詢問，以經(jīng)典數(shù)學為基礎的自然科學的成功，是否真正確證了經(jīng)典數(shù)學的真理性

15、。Maddy（1997）提出，科學家本身對科學中的假設持有不同的態(tài)度，從僅僅接受為方便的假設到完全信其為真。Maddy以原子論為例子。到十九世紀末，原子論已經(jīng)被大多數(shù)化學家們接受為能夠解釋化學現(xiàn)象的最好的理論，但是科學家們對原子是否真的存在還有疑慮，一直到二十世紀初，根據(jù)愛因斯坦對布朗運動的計算所作的實驗成功后，科學家們才消除了懷疑。這說明，科學確證需要更直接的證據(jù)，而不僅僅是包含某假設的理論在整體上是可被接受的，因為一個假設，有可能被當作是僅僅帶來方便的假設。然后，Maddy認為，科學理論中的數(shù)學的角色恰是屬于僅僅帶來方便的假設，而不是被直接確證為真的假設。對于這一斷言的證據(jù)，Maddy提到

16、，數(shù)學對象與科學理論中提到的，像質(zhì)點、理想氣體那樣的理想化的事物一樣，是用來表達理論的方便的設置。以使用連續(xù)模型來模擬時空結(jié)構(gòu)為例，它帶來方便，但是科學家們并不認為它確證了時空結(jié)構(gòu)是連續(xù)的（參見Maddy 2005）。Leng（2002）進一步提出，數(shù)學的作用是用來做模型。這也許是科學家們心中的常識。當一個數(shù)學模型被成功地用來模擬某一類自然現(xiàn)象時，被經(jīng)驗確證的是“這個模型可以模擬這一類現(xiàn)象”這種論斷，而不是我們的關(guān)于模型本身的論斷。反之，假如一個數(shù)學模型的應用失敗了，它否定的也是這樣的“可應用性”論斷，而這個模型本身還可能在其它地方得到應用。因此，數(shù)學的應用不確證或否證數(shù)學本身。批評者（Bur

17、gess & Rosen 1997；Rosen & Burgess 2005）則認為，數(shù)學本身就是科學的一部分，數(shù)學家們對數(shù)學的確證與物理學家們對物理學的確證有著同等的地位。他們強調(diào)，數(shù)學家們是認真地相信他們證明的定理的。反之，當科學家們對一種數(shù)學理論有疑慮時，他們是將問題轉(zhuǎn)給數(shù)學家們，讓數(shù)學家們決定什么數(shù)學理論是正確的。比如，早期量子力學中的使用的狄拉克函數(shù)是有問題的，而后數(shù)學家們發(fā)展了更正確的廣義函數(shù)理論?？茖W家們確實不認為連續(xù)的時空模型是同構(gòu)于物理時空的，但是這并不排除他們相信，關(guān)于抽象的連續(xù)時空模型的數(shù)學判斷是字面意義上為真的。Burgess與Rosen其實是假設了大多

18、數(shù)數(shù)學家是從字面意義上理解數(shù)學判斷，而且持有或至少隱含地預設了數(shù)學實在論的觀點，然后強調(diào)哲學家應該尊重數(shù)學家的觀點。這里我想指出，Maddy、Leng等人對整體主義確證的質(zhì)疑確實還有不足之處。首先，Maddy考慮更多的是集合論中的那些不那么自明的公理，因此數(shù)學判斷的真理性，顯得與關(guān)于原子存在的判斷的真理性一樣，可以有疑問。假如我們考慮最簡單的數(shù)學命題，比如“2+2=4”，或者“存在大于2而且小于4的自然數(shù)”，那么顯然，科學家們對它們的信念程度要遠遠超過對原子存在的信念程度。因此，如果說科學實踐還沒有確證“存在大于2而且小于4的自然數(shù)”，因而還沒有確證自然數(shù)存在，那么它必定是由于其它的原因，比如

19、，由于這個語句不應該按字面意義理解（或者即使按字面意義理解它也不是在斷言某種抽象事物客觀存在），而不是由于這個判斷是像十九世紀時的“原子存在” 這個判斷那樣，還缺乏更直接的、更充分的證據(jù)。Leng的“數(shù)學是用來做模型”這種描述是正確的，但是也還不夠。將連續(xù)時空模型用于模擬物理時空，確實不能確證連續(xù)時空模型是絕對精確地同構(gòu)于物理時空的。但是，在直觀上，連續(xù)時空模型確實是真實地，雖然是近似地同構(gòu)于物理時空的。這也是用連續(xù)時空模型模擬物理時空之所以成功的原因。如果它們甚至都不近似地同構(gòu)，用連續(xù)時空模型來模擬真實的物理時空，顯然不可能成功。然后，我們可以問，假如抽象數(shù)學對象完全不存在的話，那么究竟什么

20、東西是真實地，雖然是近似地同構(gòu)于物理時空？本體論上絕對的“無”或“虛空”不會同構(gòu)于任何存在的事物，哪怕是近似地同構(gòu)。而這正是不可或缺性論證的部分直觀基礎，即一些數(shù)學對象至少在某種意義上是存在的，而且是真實地、雖然是近似地同構(gòu)于物理對象的，而且，我們關(guān)于這些數(shù)學對象的定理本身，必須是精確地為真（而非近似地真或甚至為假），否則，使用這些定理來作推理和計算，也就不能使我們的理論得到成功。不少具有反實在論傾向的學者，常以各種方式持有數(shù)學只是有用的工具，而不表達關(guān)于外部事物的真理的觀點。稱“數(shù)學是用來做模型的”，也是這樣一種工具論。但是，工具本身應該是真實存在的事物，而且工具本身應該遵循一些真實的自然規(guī)

21、律，作為工具的工作原理。比如，電腦是一種工具，但電腦是真實地存在著的具體事物，而且電腦的工作原理有著科學的、字面意義上真的解釋。如果數(shù)學也是一種工具，而數(shù)學對象不存在，那么數(shù)學工具主義者就應該解釋，究竟什么真實存在的東西在數(shù)學應用中被用來作為工具，這些工具的真實的工作原理又是什么。到目前為止，這些學者還沒有嘗試回答這些問題，因此，數(shù)學工具主義的論斷還有缺陷。3.3 本體論承諾原則與蒯因的自然主義Azzouni（1998）提出，可以區(qū)分“存在原則”與“本體論承諾原則”。存在原則斷言，只有某些事物才能真正存在，比如，只有時空中的具體事物才能存在；本體論承諾原則則說明，如何識別一個理論承諾了什么東西

22、存在。蒯因認為只有后者才有意義，而且他提出了“一個理論的本體論承諾就是它的一階變元的值，或一階量詞所概括的范圍”這一原則。然而，事實上，在日常語言中，更一般的做法是使用“虛構(gòu)的”與“真實的”這樣的謂詞，而一個語境的真正的本體論承諾，是這個被斷定為真實而非虛構(gòu)的東西。如果我們接受了“只有存在于時空中的東西才是真正存在的”這樣一個存在原則，我們可以將“真實的”解釋為“存在于時空中的”，而采納“一個理論的本體論承諾，就是這個理論斷定為真實而非虛構(gòu)的東西”這樣一個本體論承諾原則。這樣，科學理論完全符合我們的存在原則與本體論承諾原則，雖然科學理論的語句中的變元可以以虛構(gòu)的事物為值。談論存在原則，表面上可

23、能與蒯因的自然主義原則相悖。Azzouni也認為，存在原則是哲學上不確定的。Azzouni考察了兩種可能的獨立確定存在原則的方法并拒絕了它們。其中第二種方法是依賴本體論直覺來判斷存在原則。Azzouni拒絕它的理由是，這種直覺常常就是偏見，而且本體論中的爭論，包括數(shù)學實在論與反實在論的爭論，本身就是互相沖突的直覺的結(jié)果。比如，物理學家與數(shù)學家對抽象數(shù)學對象的客觀性，就可能有互相沖突的直覺。物理學家可能更傾向于認為，數(shù)學只是一種語言，一種形式化方式，并不表達關(guān)于客觀實在的真理；而數(shù)學家們可能更愿意相信數(shù)學實在論。我們認為，Azzouni的分析是部分地合理的，但由它并不能得出最終的關(guān)于存在原則的不

24、確定性的結(jié)論，而且，探討存在原則并不與自然主義原則相背離，并不是追求超越科學的形而上學。要認識到這一點，很重要的是，要認識到蒯因的自然主義的兩個嚴重問題。首先，蒯因聲稱他拒絕笛卡爾的第一哲學，但是，蒯因?qū)嶋H上依舊是將心靈視為脫離自然、與自然對立的東西。在蒯因的圖景中，心靈似乎與某個實在的世界相對立，試圖把握實在，確定什么對象在實在中存在。語言被看成心靈與實在之間的媒介物，是心靈指向?qū)嵲诘墓ぞ?。語言本身似乎既不是心靈中的，也不是外部實在中的。心靈為一階語言的變元與量詞設置指稱，成為被心靈相信為存在的事物?！白匀恢髁x”在這里僅僅意味著，笛卡爾式的內(nèi)省不是心靈認識實在的主要手段，相反，用語言表達的科

25、學理論，以及對理論的經(jīng)驗驗證，是更好的手段。然后，由于我們使用的語言中包含一些不指稱或概括時空中的物質(zhì)對象的變元和量詞，因此，蒯因認為心靈也設置抽象對象，作為這些變元和量詞的指稱。然而，在科學的圖景中，心靈是大腦神經(jīng)元的功能，是自然事物的一部分。語言本身也是自然現(xiàn)象，而且僅僅最近才在進化歷史中出現(xiàn)。具體的語詞（tokens）作為聲波或視覺形象模式，與石頭、樹木等自然事物并沒有實質(zhì)性的差異。語義關(guān)系或指稱關(guān)系，首先是由大腦神經(jīng)元實現(xiàn)的大腦中的內(nèi)在表征，與它們所表示的外部具體事物之間的某種特殊的自然關(guān)系，其次是作為聲波或視覺形象模式的語詞，通過大腦，與其它外部具體事物之間的某種特殊的自然關(guān)系。而如

26、果一個作為神經(jīng)元狀態(tài)的內(nèi)在表征，不直接表示外部具體事物，那么它們一定是通過與其它能夠直接表示外部具體事物的內(nèi)在表征，來與外部事物相關(guān)聯(lián)，它們的功能，在于它們對大腦中其它內(nèi)在表征的影響。比如，與數(shù)詞“3”在記憶中相連的內(nèi)在表征，不直接表示外部事物，但是，它可以與量詞“棵”以及名詞“樹”，所對應的內(nèi)在表征相結(jié)合，構(gòu)成直接表示外部事物的“3棵樹”。由此，與數(shù)詞“3” 相連的內(nèi)在表征，也間接地與外部具體事物相關(guān)聯(lián)。斷言與數(shù)詞“3”也直接表示了某個抽象實體，并無助于解釋與描述大腦中的“3”的實際功能，它如何在大腦中工作，如何影響其它神經(jīng)元，以及它們一起最終如何控制眼睛、手的肌肉以與外部具體事物相聯(lián)系等等

27、。蒯因的自然主義的第二個問題是，它聲稱科學家們是在提出與確證本體論論斷，因此本體論問題應該由科學回答。事實上，科學家們并不作本體論上的論斷。作為基因遺傳的結(jié)果，大腦直接地控制眼睛、手等等去注視或觸及空間中的事物，也直接將觀察過的事件按時間順序保留在記憶中。從這個意義上說，大腦直接預設了時空作為存在物的容器。而且，時空是被存在物充滿的，物理上的真空還是本體論上的存在物，與形而上學上的虛無是不同的。當科學家們提出水是由原子組成時，他們不是在形而上的虛空中設置一些實體，他們只是在描述他們預設存在的宇宙的部分，即水的微小部分不是由連續(xù)的物質(zhì)構(gòu)成，而是由物理真空以及其中的微小粒子構(gòu)成?？茖W家們并不是在存

28、在與形而上的虛無之間作選擇，而斷言了存在。相反，他們在從事科學研究之前就已經(jīng)接受了一個本體論預設，即這個宇宙與它的部分存在，然后他們是在描述預設為存在著的東西。對抽象事物存在的信念恰來源于蒯因圖景中的這兩個問題。將心靈對立于自然，才使得心靈似乎是面對著兩種不同類型的實體，物質(zhì)的實體與抽象的實體；將語言視為超自然的心靈與實在之間的媒介，才使得我們?nèi)栆恍┰~項是否指稱實在中的抽象事物，才有了蒯因的本體論承諾原則。同時，忽視科學家們在從事科學研究之前就預設了整個宇宙的存在，而將科學論斷視為本體論論斷，才使得蒯因?qū)⒊橄髮嶓w與電子、原子等物理粒子相比擬，從而認為科學可以確證本體論論斷，因此也可以確證抽象

29、事物存在。澄清了這兩個問題，意味著抽象實體的實在性，至多是一種附加在科學家們的本體論預設之上的哲學信念。因此，我們可以在科學家們與數(shù)學家們可以共同接受的，更基本的自然主義前提下，即在關(guān)于宇宙存在的預設以及關(guān)于心靈的自然主義圖景的前提下，來考察抽象實體的實在論這個附加的哲學信念是否有必要。如果我們能夠在這樣的自然主義前提下，完全地解釋人類的數(shù)學認知活動與數(shù)學的可應用性，能夠說明人類對于數(shù)學實在論的直覺，有可能包含了一些由于語言、思維習慣等而導致的幻覺，能夠說明實在論的信念其實對解釋大腦中數(shù)學內(nèi)在表征的功能并不相干，而且又能夠說明對于數(shù)學實在論的直覺的合理之處，以及它們實際上并不蘊涵數(shù)學實在論的結(jié)

30、論，那么，這就有可能提出一種能夠讓科學家與數(shù)學家都接受的對反實在論的辯護。這不是依賴本體論直覺來確定存在原則，或追求超越科學的形而上學。它是試圖在科學常識的基礎上消除人類幻覺，在科學內(nèi)部消除互相沖突的直覺帶來的困惑，是探討更基本的自然主義前提是否就足以科學地解釋人類的數(shù)學認知活動，是自然主義對自身的澄清。4一種反實在論數(shù)學哲學由前面的分析，要應對不可或缺性論證，反實在論者一方面不能假設無窮、乃至潛無窮的實在性，另一方面必須解釋在數(shù)學應用中，究竟什么是真實存在的作為工具的事物，以及這些工具的真實的工作原理是什么。徹底的（不同于蒯因式的）自然主義，恰好能夠為做到這兩點提供一個框架。這種反實在論數(shù)學

31、哲學包括如下幾個要點：首先，在數(shù)學應用中，真正存在的、被用作工具的，不是抽象數(shù)學對象，而是我們想象抽象數(shù)學對象時在大腦中創(chuàng)造的內(nèi)在表征（inner representation）。換句話說，我們的一些內(nèi)在表征直接地表示具體的外部事物，但是，我們的另一些內(nèi)在表征不直接地表示具體的外部事物，這包括我們想象事物時在大腦中創(chuàng)造的內(nèi)在表征。這兩種內(nèi)在表征有著同樣的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。我們的大腦以同樣的方式處理這兩類內(nèi)在表征。我們甚至可以對它們產(chǎn)生同樣的意向性態(tài)度，即意圖使它們都表示外部事物，雖然對后一類內(nèi)在表征來說這種意圖不能實現(xiàn)。想象事物，或談論虛構(gòu)的事物，就是我們的心靈，以同樣的方式處理第二類內(nèi)在表征。在這個

32、意義上，數(shù)學對象是虛構(gòu)的。稱某物為虛構(gòu)的，只是一種方便的表達方式，因為并不存在此物。關(guān)于虛構(gòu)事物的判斷的內(nèi)容，在于這第二類內(nèi)在表征的內(nèi)在結(jié)構(gòu)以及它們在大腦中的功能。另一方面，虛構(gòu)事物可以與真實事物客觀地相似，它意味著，可以將這第二類內(nèi)在表征，以某種方式翻譯為關(guān)于真實事物的真實判斷，而這是有客觀基礎的。這種第二類內(nèi)在表征不直接表示固定的一個或一類外部事物，但它們實際上以間接的，但更靈活、更一般性的（即更抽象的）方式，與外部事物相聯(lián)系。比如，我們關(guān)于自然數(shù)“9”的內(nèi)在表征，不直接表示一個特定的外部事物，但是，它與“9粒蘋果”，“9尺長”，“數(shù)9次”等真實的事物、事物的數(shù)量屬性、或外部事件等等相聯(lián)系

33、。這種第二類內(nèi)在表征，是我們的大腦為了概括、表示外部事物的一些一般性特征而創(chuàng)造的。將經(jīng)典數(shù)學應用于外部世界，就好比用虛構(gòu)的故事來模擬真實的事物。如前面已經(jīng)提到的，數(shù)學的作用是在于構(gòu)造模型。但真正做模型的是大腦中的數(shù)學內(nèi)在表征。數(shù)學的可應用性，是基于大腦中的數(shù)學內(nèi)在表征與外部真實事物之間的一些關(guān)系，包括虛構(gòu)的數(shù)學對象（比如黎曼空間）與外部真實事物（如物理時空）之間的如上所說的相似性。數(shù)學應用的過程包括從具體外部事物，到大腦中直接表示外部事物的判斷，到大腦中的能夠概括、抽象地表示這些判斷的數(shù)學內(nèi)在表征，到大腦（借助于紙、筆、計算機）對這些數(shù)學內(nèi)在表征的處理，再到將處理結(jié)果翻譯為大腦中直接表示外部事

34、物的判斷，最后再到相應的外部事物。要以科學的、實在論的方式解釋數(shù)學的可應用性，就是要說明這個應用過程如何保持了關(guān)于具體外部事物的判斷的真理性。這種解釋所論及的，都是具體的事物，包括大腦中的事物及外部事物。相反，大腦中的數(shù)學內(nèi)在表征是否直接表示某種抽象數(shù)學對象，與這種解釋無關(guān)。探求這種解釋可以包括兩個步驟。首先，對于不假設無窮或潛無窮的有窮數(shù)學，我們想象數(shù)學對象時大腦中所接受的判斷，可以較直接地翻譯為關(guān)于外部事物的判斷。比如，想象自然數(shù)時接受的判斷“2+3=5”，可以直接地翻譯為“2顆蘋果加3顆蘋果是5顆蘋果”等等。這里，純數(shù)學提供一些推理模式，表達為關(guān)于虛構(gòu)事物的推理與計算。在應用時，它們被具

35、體化為關(guān)于具體的外部事物的健全的推理，即具有字面意義上的真前提的有效的推理。其次，想象無窮數(shù)學結(jié)構(gòu)時大腦中所接受的判斷，當然不能作這樣直接的翻譯，因為外部事物總是有窮、離散的。比如，將數(shù)學模型中的連續(xù)性條件，直接翻譯為關(guān)于有窮、離散的外部事物的判斷，將得到字面意義上是假的判斷。但是，一些技術(shù)性的研究表明，有窮主義數(shù)學已經(jīng)有相當?shù)膹姸?，比如，作為?jīng)典量子力學基礎的希爾伯特空間上的無界線性算子理論，可以在有窮主義數(shù)學的框架下發(fā)展起來（Ye 2000）。由于將無窮數(shù)學應用于有限事物時，無窮是用來近似地逼近有限事物，用來構(gòu)造關(guān)于極其復雜的有限事物的簡化的模型，我們很自然地猜測，無窮數(shù)學的應用，原則上都

36、可以還原為有窮主義數(shù)學的應用（Ye 2000, 2006）。這種原則上的可還原性，如果成立的話，就說明了經(jīng)典數(shù)學的可應用性。它意味著，經(jīng)典數(shù)學的可應用性，不在于它本身是字面意義上的（關(guān)于抽象數(shù)學對象的）真理，而在于當它們被應用時，無窮在原則上可消除，經(jīng)典數(shù)學的應用，原則上可轉(zhuǎn)化為有窮數(shù)學的應用，而后者的可應用性可如上得到解釋。換句話說，科學家們聰明地想象無窮，在大腦中創(chuàng)造相關(guān)的內(nèi)在表征，來簡化地表達關(guān)于有限的外部事物的極其復雜的信息。要從邏輯上最嚴格地說明為何如此能夠得到關(guān)于有限的外部具體事物的真理，就要說明原則上無窮可被消除，大腦中對相關(guān)的判斷的推理，可以首先轉(zhuǎn)化為有窮數(shù)學中的推理，然后再轉(zhuǎn)

37、化為關(guān)于有限外部事物的邏輯上健全的推理。另外，我們對數(shù)學對象的想象是受客觀性條件制約的。這包括幾個方面：（1）客觀存在的具體事物客觀規(guī)律性；（2）想象的目的，比如，用于模擬客觀存在的具體事物；（3）由大腦的先天結(jié)構(gòu)決定的對我們的想象能力的限制。這好比一個作家在構(gòu)思一個故事時，會說故事中的人物有自己的生命，這是指構(gòu)思故事以表現(xiàn)真實人物的目的，以及真實存在著的人物客觀規(guī)律性，使得作家只能以一種方式去虛構(gòu)故事。同樣，我們只能以遵循經(jīng)典邏輯與算術(shù)規(guī)律的方式，來直接地想象穩(wěn)定的、有自身同一性的個體，比如，我們不能直接地想象量子論層次上的、非經(jīng)典的、不確定的微觀實體。因此，我們的想象也必須遵循經(jīng)典邏輯與基

38、本的算術(shù)原理。我們的想象能力也限制了我們對無窮的想象，即我們只能依據(jù)對有窮世界的經(jīng)驗，去想象如何超出任一有窮范圍，不預設一個邊界。數(shù)學的客觀性及邏輯與算術(shù)等的先天性與必然性，可以通過考察由大腦的先天結(jié)構(gòu)決定的我們的想象能力的界限來解釋。這是我要提出的一種反實在論數(shù)學哲學。它包含了對不可或缺性論證的所有四個前提的拒斥。消除數(shù)學應用中的無窮，意味著證明抽象對象不是絕對不可或缺的；拒絕蒯因式的自然主義圖景而接受更徹底的自然科學的自然主義圖景，也意味著拒絕蒯因的本體論承諾原則與絕蒯因式的整體主義確證論。最后還要解釋一下如何回應前面提到的，唯名論數(shù)學是比經(jīng)典數(shù)學更差的理論這一看法。這是誤解了數(shù)學哲學的目

39、的。消除無窮以解釋無窮數(shù)學的可應用性，不是要用有窮主義數(shù)學代替經(jīng)典數(shù)學。恰恰相反，人類的聰明才智就在于能夠想象出一些虛構(gòu)的事物，來概括或簡化地描述極其復雜的，但有限的外部世界。而且，人類創(chuàng)造與應用這些虛構(gòu)事物，是依賴于復雜的、難以分析的、直覺的思維過程?？茖W家們直覺地猜測到，一個連續(xù)的模型可以很有效、很簡單地模擬由有限、離散的運動粒子構(gòu)成的流體。哲學家與邏輯學家的任務，是對科學家的聰明才智，作邏輯上的分析，而不是用這種分析去替代科學家的創(chuàng)造性想象的應用。直觀上，這種分析應該意味著消除無窮，將連續(xù)模型的應用，還原為更煩瑣的，但是對有限事物作的有限的計算，因此它自然地導向?qū)o窮的反實在論解釋。這種

40、分析當然不可避免地是極其復雜與煩瑣的。因這種煩瑣與復雜性去反對唯名論數(shù)學哲學，是一種誤解。 參考文獻Azzouni, J. (1998) “On On What There IS”, Pacific Philosophical Quarterly 79, 1-18.Benacerraf, P. (1973) “Mathematical truth”, Journal of Philosophy 70, 661-679.Burgess, J. P. and G. Rosen (1997) A Subject with No Object, Oxford: Clarendon Press.Chih

41、ara, C. (1990) Constructibility and Mathematical Existence, Oxford : Clarendon Press.Colyvan, M. (2004) “Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics”, in Stanford Encyclopedia of Philosophy. E. N. Zalta (ed.), Field, H. (1980) Science without Numbers, Basil Blackwell, Oxford.Field, H

42、. (1998) Which Undecidable Mathematical Sentences Have Determinate Truth Values? in H. G. Dales and G. Oliveri (ed.), Truth in Mathematics, Oxford University Press.Hellman, G. (1989): Mathematics without Numbers, Oxford: Oxford University Press.Hoffman, S. (2004) “Kitcher, Ideal Agents, and Fictiona