數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單的表示法一對(duì)一輔導(dǎo)講義

1、教學(xué)目標(biāo)1、理解數(shù)列的概念，了解通項(xiàng)公式的意義和分類2、能由通項(xiàng)公式求出數(shù)列的各項(xiàng)。反之能求出數(shù)列的前幾項(xiàng)3、培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力及探索規(guī)律的能力重點(diǎn)、難點(diǎn)1、數(shù)列的概念；2、通項(xiàng)公式的意義和分類。考點(diǎn)及考試要求1、 數(shù)列的概念2、 數(shù)列的各項(xiàng)3、 數(shù)列的前幾項(xiàng)教 學(xué) 內(nèi) 容第一課時(shí) 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單的表示法知識(shí)點(diǎn)梳理課前檢測(cè)1、下列說(shuō)法正確的是 （ ）A. 數(shù)列1，3，5，7可表示為 B. 數(shù)列1，0，與數(shù)列是相同的數(shù)列 C. 數(shù)列的第項(xiàng)是 D. 數(shù)列可以看做是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)2、數(shù)列中，由給出的數(shù)之間的關(guān)系可知的值是（ ）A. 12 B. 15 C. 17 D. 183、已知數(shù)

2、列的通項(xiàng)公式為，則3 （ ）A. 不是數(shù)列中的項(xiàng) B. 只是數(shù)列中的第2項(xiàng) C. 只是數(shù)列中的第6項(xiàng) D. 是數(shù)列中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)4、數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列各項(xiàng)中最小項(xiàng)是 （ ）A. 第4項(xiàng) B. 第5項(xiàng) C. 第6項(xiàng) D. 第7項(xiàng)5、已知數(shù)列，則是它的 （ ）A. 第22項(xiàng) B. 第23項(xiàng) C. 第24項(xiàng) D. 第28項(xiàng)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：數(shù)列的概念 數(shù)列的定義：按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.注意：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). 數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每

3、一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng). 各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第項(xiàng)，.其中數(shù)列的第1項(xiàng)也叫作首項(xiàng)。3. 數(shù)列的一般形式：，或簡(jiǎn)記為，其中是數(shù)列的第項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)二：數(shù)列的分類1. 根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是有窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6，是無(wú)窮數(shù)列2. 根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列。擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列知識(shí)點(diǎn)三：數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和1. 數(shù)

4、列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列的第項(xiàng)與之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 如數(shù)列：的通項(xiàng)公式為（）；的通項(xiàng)公式為（）；的通項(xiàng)公式為（）；注意：（1）并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式；（2）一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，； 它的通項(xiàng)公式可以是，也可以是.（3）數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：求數(shù)列中任意一項(xiàng)；檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng). （4）數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示2. 數(shù)列的前項(xiàng)和數(shù)列的前項(xiàng)逐個(gè)相加之和：；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，.故.知識(shí)點(diǎn)四：數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子

5、集）為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。反過(guò)來(lái)，對(duì)于函數(shù),如果（）有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列，；通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng)關(guān)于數(shù)列的一些問題常通過(guò)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)方法解決，如：?jiǎn)握{(diào)性，最值等.知識(shí)點(diǎn)五：數(shù)列的表示方法數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法（解析式法、圖象法、列表法）有聯(lián)系1. 通項(xiàng)公式法（解析式法）：如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。2. 圖象法：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可以用函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形具體方

6、法是以項(xiàng)數(shù)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，即以為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)。所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì)3. 列表法相對(duì)于列表法表示一個(gè)函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用表示第一項(xiàng)，用表示第二項(xiàng)，用表示第項(xiàng)，依次寫出成為，簡(jiǎn)記為4. 遞推公式法遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89，的遞推

7、公式為：.第二課時(shí) 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單的表示法典型例題典型例題題型一：根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式例1寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使其前四項(xiàng)分別是:(1) 0, ,；(2) 1, ,；(3) 9, 99,999, 9999,；(4) 6, 1, 6,1,.解析：（1）將數(shù)列改寫為， 故.（2）此數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，可用來(lái)表示；其絕對(duì)值中分子為奇數(shù)數(shù)列，分母是自然數(shù)的平方數(shù)列，故.（3）將數(shù)列改寫為, , , ， 故.（4）將數(shù)列每一項(xiàng)減去6與1的平均值得新數(shù)列, -, -,， 故或總結(jié)升華：寫通項(xiàng)時(shí)注意以下常用思路：若數(shù)列中的項(xiàng)均為分?jǐn)?shù)，則先觀察分母的規(guī)律再觀察分子的規(guī)律，如

8、(1)；特別注意有時(shí)分?jǐn)?shù)是約分后的結(jié)果，要根據(jù)觀察還原分?jǐn)?shù)；注意(1)n在系數(shù)中的作用是讓數(shù)列中的項(xiàng)正、負(fù)交替出現(xiàn)，如(2)；(-1)n作指數(shù)，讓數(shù)列中隔項(xiàng)出現(xiàn)倒數(shù)； （4）可視為周期數(shù)列，故想到找一個(gè)周期為2的函數(shù)為背景。歸納猜想的關(guān)鍵是從特殊中去尋找一般規(guī)律，很多情況下是將已寫出的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危挂?guī)律明朗化.變1.根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； （2）1，；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； （4），；變2.某數(shù)列an的前四項(xiàng)為0，0，則以下各式：an1(1)n an an其中可作為an的通項(xiàng)公式的是（ ）A B

9、C D題型二：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式例2.已知下列數(shù)列的前項(xiàng)和，分別求它們的通項(xiàng)公式.； .【解題思路】利用，這是求數(shù)列通項(xiàng)的一個(gè)重要公式.【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.例3已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式，求通項(xiàng).（1）， (2) .思路點(diǎn)撥: 先由時(shí)，求出；再由當(dāng)時(shí)，求出，并驗(yàn)證是否符合所求出的.解析：（1）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， （2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ()為所求.總結(jié)升華：已知求出依據(jù)的是的定義：，分段求解，然后檢驗(yàn)結(jié)果能否統(tǒng)一形式，能就寫成一個(gè)，否則只能寫成分段函數(shù)的形式.變3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求通項(xiàng).變4.已知數(shù)列的前項(xiàng)積，求通項(xiàng)變5.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足log2(S

10、n+1)=n+1,求an的通項(xiàng)公式題型三：已知數(shù)列的遞推式，求通項(xiàng)公式例4.數(shù)列中，求，并歸納出.【解題思路】已知的遞推公式求前幾項(xiàng)，可逐步計(jì)算.【解析】，由，可以歸納出.變6.已知數(shù)列滿足：，寫出前5項(xiàng)，并猜想 變7.數(shù)列中，求，并歸納出.題型四：已知數(shù)列通項(xiàng)公式，求項(xiàng)數(shù)及最大（最小）項(xiàng)例5.數(shù)列中，.是數(shù)列中的第幾項(xiàng)？為何值時(shí)，有最小值？并求最小值.【解題思路】數(shù)列的通項(xiàng)與之間構(gòu)成二次函數(shù)，可結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)去探求.【解析】由，解得，是數(shù)列中的第項(xiàng).，或時(shí)，.【變式】數(shù)列中，求取最小值時(shí)的值.【解析】，時(shí)，取最小值.【反思?xì)w納】利用二次函數(shù)知識(shí)解決數(shù)列問題時(shí)，必須注意其定義域?yàn)檎麛?shù).題型

11、五：已知數(shù)列通項(xiàng)公式，判斷數(shù)列單調(diào)性及有界性 例6已知數(shù)列中,判斷數(shù)列的單調(diào)性，并給以證明.思路點(diǎn)撥:選擇數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)作差比較即可.解析：，（）數(shù)列是遞增數(shù)列.總結(jié)升華：數(shù)列也是函數(shù)，可以用證明函數(shù)的單調(diào)性的方法來(lái)證明.變8.數(shù)列中：,（）（1）寫出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式；（2）判斷它的單調(diào)性.第三課時(shí) 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單的表示法課堂檢測(cè)課堂檢測(cè)一、選擇題1已知數(shù)列中，ann，則等于()A3 B9 C12 D202下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是()A1， B1，2，3，4，C1， D1，3下列說(shuō)法不正確的是()A根據(jù)通項(xiàng)公式可以求出數(shù)列的任何一項(xiàng)B任何數(shù)列都有通項(xiàng)公式C一個(gè)數(shù)列可能有幾個(gè)不同形式的通項(xiàng)公式D有些數(shù)列可能不存在最大項(xiàng)4數(shù)列，的第10項(xiàng)是()A. B. C. D.5已知非零數(shù)列的遞推公式為·1(n1)，則()A3 B2 C4 D16已知數(shù)列滿足>0，且1，則數(shù)列an是()A遞增數(shù)列 B遞減數(shù)列 C常數(shù)列 D擺動(dòng)數(shù)列二、填空題7已知數(shù)列的通項(xiàng)公式192n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為_