探索傅里葉級(jí)數(shù)的一致收斂性逐項(xiàng)積分性和逐項(xiàng)微分性

1、探索傅里葉級(jí)數(shù)的一致收斂性，逐項(xiàng)微分性和逐項(xiàng)積分性在第15章的第1節(jié)和第3節(jié)分別建立和證明了傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理（定理15.3）：設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，若在上按段光滑，則對(duì)任意，的傅里葉級(jí)數(shù)在處收斂于，即，其中，（）為的傅里葉系數(shù)以此定理為基礎(chǔ)，請(qǐng)同學(xué)們按照下面的步驟進(jìn)一步探索傅里葉級(jí)數(shù)的一致收斂性、逐項(xiàng)微分性和逐項(xiàng)積分性一、幾個(gè)引理我們知道，若在上按段光滑，【即在上除有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外連續(xù)（此時(shí)也稱在上按段連續(xù)），在上除有限個(gè)點(diǎn)外可導(dǎo)且在上也除有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外連續(xù)，簡(jiǎn)單地講：在上按段光滑也就是和都在上按段連續(xù)】，則和都在上可積，并且除上有限個(gè)點(diǎn)外，可作為的原函數(shù)，于是，根據(jù)定積分的定

2、義，當(dāng)我們進(jìn)一步要求在上連續(xù)的情況下，注意到拉格朗日中值公式，可得引理1（定積分的牛頓萊布尼茨公式的推廣）若在上連續(xù)，且按段光滑，則提示：選擇包含使不存在的點(diǎn)為分點(diǎn)的的分割，由拉格朗日中值公式推出，存在，使（），最后，注意到在上可積，利用定積分的定義即可引理2（推廣的分部積分公式）若，都在上連續(xù)，且按段光滑，則提示：首先，注意到由條件可得在上連續(xù)，且按段光滑，和都在上可積，且除上的有限個(gè)點(diǎn)外，其次，對(duì)應(yīng)用引理1即可引理3（與的傅里葉系數(shù)的關(guān)系）設(shè)在上連續(xù)，按段光滑，且（注：根據(jù)周期函數(shù)的特點(diǎn)，上述條件意味著可看成按段光滑且以為周期的連續(xù)函數(shù)），記，為的傅里葉系數(shù)；，為的傅里葉系數(shù)，則，提示：直

3、接根據(jù)傅里葉系數(shù)公式，利用引理1或引理2進(jìn)行計(jì)算即可，例如由引理1除上面的三個(gè)引理外，在探索的過(guò)程中，還要用到關(guān)于傅里葉系數(shù)的貝塞爾不等式引理4（貝塞爾不等式）設(shè)在上可積，記，為的傅里葉系數(shù)，則級(jí)數(shù)收斂，且二、傅里葉級(jí)數(shù)的一致收斂性，逐項(xiàng)積分性和逐項(xiàng)微分性1、傅里葉級(jí)數(shù)的一致收斂性定理1（傅里葉級(jí)數(shù)的一致收斂性）設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，且在上按段光滑，則的傅里葉級(jí)數(shù)在上絕對(duì)收斂且一致收斂于，其中，為的傅里葉系數(shù)提示：首先，由定理15.3并注意到連續(xù)推出收斂于；其次，由引理3推出；最后，注意到引理4以及，由一致收斂的優(yōu)級(jí)數(shù)判別法即可2、傅里葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分性定理2 設(shè)是以為周期的函數(shù)，且在上按段

4、連續(xù)，記，則（1）是以為周期的連續(xù)函數(shù)，且在上按段光滑；（2）記，為的傅里葉系數(shù)，有，（）；（3）提示：（1）首先，由變限函數(shù)的連續(xù)性易得是連續(xù)函數(shù)；其次，由變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并注意到在上按段連續(xù)可推出在上按段光滑，且除上的有限個(gè)點(diǎn)外，；最后，注意到定積分的區(qū)間可加性，周期函數(shù)的積分特征和傅里葉系數(shù)的計(jì)算公式推出即以為周期（2）利用傅里葉系數(shù)的計(jì)算公式和引理2直接計(jì)算即可，例如，（3）首先，由（1）和（2）可對(duì)運(yùn)用傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理（定理15.3）推出，其次，取，并注意到即可定理3（傅里葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分）設(shè)是以為周期的函數(shù)，且在上按段連續(xù)，記為的傅里葉級(jí)數(shù)（它不一定收斂，更不一定收斂于），則對(duì)任意，有提示：由定理2的（1）和（2）對(duì)運(yùn)用傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理（定理15.3），并注意到定理2的（3）即可3、傅里葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)微分性定理4（傅里葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)微分性）設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，且在上按段光滑，記為的傅里葉級(jí)數(shù)（注：由條件及定理1易得