萬有引力定律應(yīng)用的12種典型案例

1、萬有引力定律應(yīng)用的12種典型案例萬有引力定律不僅是高考的一個(gè)大重點(diǎn)，而且是自然科學(xué)的一個(gè)重大課題，也是同學(xué)們最感興趣的科學(xué)論題之一。 特別是我國“神州五號”載人飛船的發(fā)射成功，更激發(fā)了同學(xué)們研究衛(wèi)星，探索宇宙的信 心。下面我們就來探討一下萬有引力定律在天文學(xué)上應(yīng)用的12個(gè)典型案例：【案例1】天體的質(zhì)量與密度的估算下列哪一組數(shù)據(jù)能夠估算出地球的質(zhì)量A. 月球繞地球運(yùn)行的周期與月地之間的距離B. 地球表面的重力加速度與地球的半徑C. 繞地球運(yùn)行衛(wèi)星的周期與線速度D. 地球表面衛(wèi)星的周期與地球的密度解析：人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。月球也是地球的一顆衛(wèi)星。設(shè)地球的質(zhì)量為 M衛(wèi)星的質(zhì)量為 m衛(wèi)

2、星的運(yùn)行周期為 T,軌道半徑為r 根據(jù)萬有引力定律：Mm2_rm 丁 rT2得:4 2r3GT2可見A正確由知C正確對地球表面的衛(wèi)星，軌道半徑等于地球的半徑,r=R由于M4 R33結(jié)合得:T2 可見D錯(cuò)誤G地球表面的物體，其重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力由mg GM 得: M g可見B正確R2G【探討評價(jià)】 根據(jù)牛頓定律，只能求出中心天體的質(zhì)量，不能解決環(huán)繞天體的質(zhì)量；能夠根據(jù)已知條 件和已知的常量，運(yùn)用物理規(guī)律估算物理量，這也是高考對學(xué)生的要求?？傊?，牛頓萬有引力定律是解決 天體運(yùn)動(dòng)問題的關(guān)鍵?！景咐?】普通衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)問題我國自行研制發(fā)射的“風(fēng)云一號”“風(fēng)云二號”氣象衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是不同的。“

3、風(fēng)云一號”是極地圓形軌道衛(wèi)星，其軌道平面與赤道平面垂直，周期為12 h , “風(fēng)云二號”是同步軌道衛(wèi)星，其運(yùn)行軌道就是赤道平面，周期為24 h。問：哪顆衛(wèi)星的向心加速度大？哪顆衛(wèi)星的線速度大？若某天上午 號”正好通過赤道附近太平洋上一個(gè)小島的上空，那么“風(fēng)云一號解析：本題主要考察普通衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)及其規(guī)律由開普勒第三定律 T2* r3知：“風(fēng)云二號”8點(diǎn)，“風(fēng)云下次通過該島上空的時(shí)間應(yīng)該是多少？衛(wèi)星的軌道半徑較大Mm又根據(jù)牛頓萬有引力定律 G亍 mar2vm得:ra GMr，可見“風(fēng)云一號”衛(wèi)星的向心加速度大, rv G：，可見“風(fēng)云一號”衛(wèi)星的線速度大,“風(fēng)云一號”下次通過該島上空，地球正好

4、自轉(zhuǎn)一周，故需要時(shí)間24h,即第二天上午 8點(diǎn)鐘?！咎接懺u價(jià)】由萬有引力定律得：a GM2 , vrGMGm得:所有運(yùn)動(dòng)學(xué)量量都是r的函數(shù)。我們應(yīng)該建立函數(shù)的思想。a、3、的增加而增加。運(yùn)動(dòng)學(xué)量v、a、®、f隨著r的增加而減小，只有 T隨著r 任何衛(wèi)星的環(huán)繞速度不大于7.9km/s，運(yùn)動(dòng)周期不小于 85min。學(xué)會(huì)總結(jié)規(guī)律，靈活運(yùn)用規(guī)律解題也是一種重要的學(xué)習(xí)方法。【案例3】同步衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)下列關(guān)于地球同步衛(wèi)星的說法中正確的是：A、為避免通訊衛(wèi)星在軌道上相撞，應(yīng)使它們運(yùn)行在不同的軌道上B、 通訊衛(wèi)星定點(diǎn)在地球赤道上空某處，所有通訊衛(wèi)星的周期都是24hC、不同國家發(fā)射通訊衛(wèi)星的地點(diǎn)不同，這

5、些衛(wèi)星的軌道不一定在同一平面上 D不同通訊衛(wèi)星運(yùn)行的線速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。解析：本題考察地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)及其規(guī)律。同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，T=24h，角速度3定根據(jù)萬有引力定律 G 哼 m4亍r得知通訊衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是一定的，離開地面的高度也是一定rT的。地球?qū)πl(wèi)星的引力提供了衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，因此同步衛(wèi)星只能以地心為為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，它只能與赤道同平面且定點(diǎn)在赤道平面的正上方。故B正確，C錯(cuò)誤。不同通訊衛(wèi)星因軌道半徑相同，速度大小相等，故無相對運(yùn)動(dòng)，不會(huì)相撞，A錯(cuò)誤。Mm2r2vma m知：通訊衛(wèi)星運(yùn)行的線速度、向心加速度大小一定。r故正確答案是：

6、B、D【探討評價(jià)】 通訊衛(wèi)星即地球同步通訊衛(wèi)星，它的特點(diǎn)是：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，角速度相同；與地球赤道同平面，在赤道的正上方，高度一定，繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；線速度、向心加速度大小相同。 三顆同步衛(wèi)星就能覆蓋地球。【案例4】“雙星”問題天文學(xué)中把兩顆距離比較近，又與其它星體距離比較遠(yuǎn)的星體叫做雙星,距是一定的。設(shè)雙星的質(zhì)量分別是m、星球球心間距為 L。問：兩星體各做什么運(yùn)動(dòng)？兩星的軌道半徑各多大？兩星的速度各多大？解析：本題主要考察雙星的特點(diǎn)及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律雙星的間ri1由牛頓定律m1m2m1 2r1m2 2r2由于雙星之間只存在相互作用的引力，質(zhì)量不變，距離一定，則引力大小一定，根據(jù)牛頓第二定律

7、 知道，每個(gè)星體的加速度大小不變。因此它們只能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。得:2m2又 rir2L -mim i m 2m i m 2解得:ri2Lr2m 2-L由得：v1 r1Gm2r1L2m2G.L(m1 m2)Gmj2.L2mi JG一,L(m1 m2)【探討評價(jià)】 雙星的特點(diǎn)就是距離一定，它們間只存在相互作用的引力，引力又一定，從而加速度大 小就是一個(gè)定值，這樣的運(yùn)動(dòng)只能是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。這個(gè)結(jié)論很重要。同時(shí)利用對稱性，巧妙解題，找到 結(jié)論的規(guī)律，搞清結(jié)論的和諧美與對稱美對我們以后的學(xué)習(xí)也很有幫助?！景咐?】“兩星”問題如圖是在同一平面不同軌道上運(yùn)行的兩顆人造地球衛(wèi)星。設(shè)它們運(yùn)行的周期分別是 Ti、

8、T2, (Tiv T2)，且某時(shí)刻兩衛(wèi)星相距最近。問：兩衛(wèi)星再次相距最近的時(shí)間是多少？兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時(shí)間是多少？解析：本題考察同一平面不同軌道上運(yùn)行的兩顆人造地球衛(wèi)星的位置特點(diǎn)及其衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律依題意，TivT2，周期大的軌道半徑大，故外層軌道運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星運(yùn)行一周的時(shí)間長。設(shè)經(jīng)過厶t兩星再次相距最近則它們運(yùn)行的角度之差222即:t t 2TiT2解得：tTT2T2Ti兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(shí)，它們運(yùn)行的角度之差2k i2 2即:2 t 2 t2k 1-T2解得：t2k 1TE2T2T1【探討評價(jià)】 曲線運(yùn)動(dòng)求解時(shí)間，常用公式$=3 t ；通過作圖，搞清它們轉(zhuǎn)動(dòng)的角度關(guān)系，以及終邊相同的角，是解決這類問

9、題的關(guān)鍵?！景咐?】同步衛(wèi)星的發(fā)射問題1運(yùn)行，然后點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2相切于Q點(diǎn)，軌道2、2運(yùn)行，最2、發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓形軌道 后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓形軌道3運(yùn)行。設(shè)軌道1、相切于P點(diǎn)，則衛(wèi)星分別在 1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以及衛(wèi)星經(jīng)過軌道比較衛(wèi)星經(jīng)過軌道 1、2上的Q點(diǎn)的加速度的大??； 上的P點(diǎn)的加速度的大小設(shè)衛(wèi)星在軌道1、3上的速度大小為 V1、V3，在橢圓軌道上 Q P點(diǎn)的速度大 小分別是V2、V2/，比較四個(gè)速度的大小GMm ma可見 r解析：同步衛(wèi)星的發(fā)射有兩種方法，本題提供了同步衛(wèi)星的一種發(fā)射方法，并考察了衛(wèi)星在不同軌道 上運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)。根據(jù)牛頓第

10、二定律，衛(wèi)星的加速度是由于地球吸引衛(wèi)星的引力產(chǎn)生的。即:衛(wèi)星在軌道2、3上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度大小相等；衛(wèi)星在軌道1、2上經(jīng)過Q點(diǎn)的加速度大小也相等；但P點(diǎn)的加速度小于 Q點(diǎn)的加速度。1、3軌道為衛(wèi)星運(yùn)行的圓軌道，衛(wèi)星只受地球引力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)由G呼m必得: v GM rr可見：Vl> V3由開普勒第二定律知， 衛(wèi)星在橢圓軌道上的運(yùn)動(dòng)速度大小不同，近地點(diǎn)Q速度大，遠(yuǎn)地點(diǎn)速度小，即:/V2> V2衛(wèi)星由近地軌道向橢圓軌道運(yùn)動(dòng)以及由橢圓軌道向同步軌道運(yùn)動(dòng)的過程中，引力小于向心力,Mm2r2Vr增大，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)速度增大，它做加速運(yùn)動(dòng),m，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)，因此隨著軌道半徑r可見：V2> V

11、1 , V3> V2/因此：V2> V1> V3> V2/【探討評價(jià)】衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的加速度是由地球?qū)πl(wèi)星的引力提供的，所以研究加速度首先應(yīng)考慮牛頓第 二定律；衛(wèi)星向外軌道運(yùn)行時(shí)，做離心運(yùn)動(dòng)，半徑增大，速度必須增大，只能做加速運(yùn)動(dòng)。同步衛(wèi)星是怎樣發(fā)射的呢？通過上面的例題及教材學(xué)習(xí)，我們知道：同步衛(wèi)星的發(fā)射有兩種方法，一是直接發(fā)射到同步軌道；二 是先發(fā)射到近地軌道，然后再加速進(jìn)入橢圓軌道，再加速進(jìn)入地球的同步軌道?！景咐?】“連續(xù)群”與“衛(wèi)星群”，可土星的外層有一個(gè)環(huán)，為了判斷它是土星的一部分，即土星的“連續(xù)群”，還是土星的“衛(wèi)星群”以通過測量環(huán)中各層的線速度 v與該層到土星中

12、心的距離 R之間的關(guān)系來判斷：A、若vxR,則該層是土星的連續(xù)群B、若v2 R,則該層是土星的衛(wèi)星群1C、 若V，則該層是土星的連續(xù)群R2 1D、 若V2，則該層是土星的衛(wèi)星群R解析：本題考察連續(xù)物與分離物的特點(diǎn)與規(guī)律該環(huán)若是土星的連續(xù)群，則它與土星有共同的自轉(zhuǎn)角速度，v R，因此V* R該環(huán)若是土星的衛(wèi)星群，由萬有引力定律MmGMm2v /曰m 得:R21丄，.v故A、D正確R【探討評價(jià)】 土星也在自轉(zhuǎn)，能分清環(huán)是土星上的連帶物，還是土星的衛(wèi)星，搞清運(yùn)用的物理規(guī)律, 是解題的關(guān)鍵。同時(shí)也要注意，衛(wèi)星不一定都是同步衛(wèi)星?！景咐?】宇宙空間站上的“完全失重”問題假定宇宙空間站繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

13、，則在空間站上，下列實(shí)驗(yàn)不能做成的是:A、天平稱物體的質(zhì)量B、用彈簧秤測物體的重量C、用測力計(jì)測力D用水銀氣壓計(jì)測飛船上密閉倉的氣體壓強(qiáng)E、用單擺測定重力加速度F、用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律解析：本題考察了宇宙空間站上的“完全失重”現(xiàn)象。宇宙飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，地球?qū)︼w船的引力提供了向心加速M(fèi)m可見對于飛船上的物體，設(shè)F為“視重”，根據(jù)牛頓第二定律得:Mm /m/a解得：F=0,這就是完全失重C、F實(shí)驗(yàn)可在完全失重狀態(tài)下，引力方向上物體受的彈力等于零，物體的重力等于引力，因此只有 以進(jìn)行。其它的實(shí)驗(yàn)都不能進(jìn)行。【探討評價(jià)】 當(dāng)物體的加速度等于重力加速度時(shí)，引力方向上物體受的彈力等于

14、零，但物體的重力并 不等于零；在衛(wèi)星上或宇宙空間站上人可以做機(jī)械運(yùn)動(dòng)，但不能測定物體的重力?！景咐?】黑洞問題“黑洞”問題是愛因斯坦廣義相對論中預(yù)言的一種特殊的天體。它的密度很大，對周圍的物質(zhì)（包括 光子）有極強(qiáng)的吸引力。根據(jù)愛因斯坦理論，光子是有質(zhì)量的，光子到達(dá)黑洞表面時(shí)，也將被吸入，最多 恰能繞黑洞表面做圓周運(yùn)動(dòng)。根據(jù)天文觀察，銀河系中心可能有一個(gè)黑洞，距離可能黑洞為6.0 x 1012m遠(yuǎn)的星體正以2.0 x 106m/s的速度繞它旋轉(zhuǎn)，據(jù)此估算該可能黑洞的最大半徑是多少？（保留一位有效數(shù)字）解析：本題考察“黑洞”的基本知識，這是一道信息題。黑洞做為一種特殊的天體， 一直受到人們廣泛的關(guān)

15、注，種種跡象表明，它確實(shí)存在于人的視野之外。黑洞之黑，就在于光子也逃不出它的引力約束。光子繞黑洞做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的軌道半徑就是黑洞的最大可能半徑。設(shè)光子的質(zhì)量為m黑洞的質(zhì)量為 M黑洞的最大可能半徑為 R,光子的速度為c2根據(jù)牛頓定律GMm mC-得：R2 R對銀河系中的星體，設(shè)它的質(zhì)量為m,它也在繞黑洞旋轉(zhuǎn)，因此G啤mV!r2 r2由解得：R V2r 3 108mc【探討評價(jià)】 通過上面的數(shù)據(jù)分析我們知道，黑洞是一種特殊的天體，它的質(zhì)量、半徑都很大，因此它對周圍星體的引力特別大，任何物質(zhì)（包括光子）都將被它吸入，這就是“黑洞”命名的緣由。黑洞 是否真正存在，其運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律到底怎么樣，同學(xué)

16、們可以上網(wǎng)查資料，充分考查研究。希望同學(xué)們將來 成為真正的宇宙探秘科學(xué)家。我們要認(rèn)真學(xué)習(xí)課本的閱讀材料，能用中學(xué)物理知識分析解決科技中的問題。【案例10】宇宙膨脹問題在研究宇宙發(fā)展演變的理論中，有一種學(xué)說叫做“宇宙膨脹說”，這種學(xué)說認(rèn)為萬有引力常量G在緩慢地減小，根據(jù)這一理論，在很久很久以前，太陽系中地球的公轉(zhuǎn)情況與現(xiàn)在相比較，公轉(zhuǎn)半徑如何變 化？公轉(zhuǎn)周期如何變化？公轉(zhuǎn)線速度如何變化？要求寫出必要的推理依據(jù)和推理過程。解析：這也是一道信息題，主要考察同學(xué)們運(yùn)用萬有引力定律推理分析的能力。所提供的信息就是“引力常量在緩慢地減小”。在漫長的宇宙演變過程中，由于“ G'在減小，地球所受的引力

17、在變化，故地球公轉(zhuǎn)的半徑、周期速度都在發(fā)生變化。即地球不再做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。但由于 G減小的非常緩慢，故在較短的時(shí)間，可以認(rèn)為地球仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)一一引力提供向心力。設(shè)M為太陽的質(zhì)量，m為地球的質(zhì)量，r為地球公轉(zhuǎn)的半徑，T為地球公轉(zhuǎn)的周期，v為地球公轉(zhuǎn)的速 率。根據(jù)m得：r2 rGF引 gM孚m t地球做離心運(yùn)動(dòng)t軌道半徑r星球間距增大t宇宙膨脹rr2rt很久以前地球公轉(zhuǎn)半徑比現(xiàn)在要小。利用mM4 2根據(jù)G 2m r r得：TrTJ、rT 很久以前地球公轉(zhuǎn)周期比現(xiàn)在要小根據(jù)：g罟m知: v ,GMJ、r ff v很久以前地球公轉(zhuǎn)的速率比現(xiàn)在要大【探討評價(jià)】 本題是根據(jù)信息推理論證題。既然要求寫出

18、推理依據(jù)以及推理過程，這就要求我們充分 “引力提供向心加速度”的重要規(guī)律，了解信息，明確規(guī)律，搞清變量，嚴(yán)密推理?！景咐?1】月球開發(fā)問題科學(xué)探測表明，月球上至少存在氧、硅、鋁、鐵等豐富的礦產(chǎn)資源。設(shè)想人類開發(fā)月球，不斷地月球 上的礦藏搬運(yùn)到地球上，假定經(jīng)過長時(shí)間開采以后，月球和地球仍看做均勻球體，月球仍然在開采前的軌 道運(yùn)動(dòng)，請問：地球與月球的引力怎么變化？月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期怎么變化？月球繞地球運(yùn)動(dòng)的速率怎么變化？解析：本題主要考察數(shù)學(xué)在天文學(xué)上的應(yīng)用。G結(jié)合數(shù)學(xué)知識得：r由萬有引力定律2 Mm可見MM m2m相差越大，積越小，而 r 一定，故F就越小m=M寸，積Mm最大。由G啤 r4 2m；Fr 得: T . GMG r 定，M增大,2vm rM增大，這也是一道信息題。了解題目信息，明確變量，充分利用數(shù)學(xué)上求極值的幾種方法去思G r 一定，【探討評價(jià)】考問題，利用函數(shù)的思想去解決問題，這種方法十分重要。【案例12】“宇宙飛船”及能量問題宇宙飛船要與正在軌道上運(yùn)行的空間站對接。飛船為了追上軌道空間站，應(yīng)采取什么措施？飛船脫離原來的軌道返回大氣層的過程中，重力勢能如何