不確定度與數(shù)據(jù)處理

1、不確定度與數(shù)據(jù)處理、誤差與不確定度x=x-A1 誤差與不確定度的關(guān)系(1) 誤差：測量結(jié)果與客觀真值之差公認(rèn)值一如物理常數(shù)等其中A稱為真值，一般不可能準(zhǔn)確知道，常用約定真值代替:標(biāo)準(zhǔn)值一更高精度儀器測量結(jié)果理論值一理論公式計算結(jié)果對一個測量過程，真值 A的最佳估計值是平均值 X。在上述誤差公式中，由于 A不可知，顯然 x也不可知，對誤差的最佳估計值是不確定度u( x)。(2) 不確定度：對誤差情況的定量估計，反映對被測量值不能肯定的程度。通常所說“誤差”一般均為“不確定度”含義。不確定度分為 A B兩個分量，其中A類分量是可用統(tǒng)計方法估計的分量，它的主要成分是隨機誤差。2.隨機誤差：多數(shù)隨機誤

2、差服從正態(tài)分布。定量描述隨機誤差的物理量叫標(biāo)準(zhǔn)差。(1) 標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)偏差.(Xi A)2limkkT真值A(chǔ)不可知，且測量次數(shù) k為有限次 二(Xi X)2k 1(置信概率標(biāo)準(zhǔn)差實際上也不可知，于是:用標(biāo)準(zhǔn)偏差S代替標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果表述:Xi/真值的估計值其中S(x) JS：x)單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差68.3%)單次測量標(biāo)準(zhǔn)差最佳估計值S(x)的物理意義：在有限次測量中，每個測量值平均所具有的標(biāo)準(zhǔn)偏差。 通常不嚴(yán)格區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)偏差，統(tǒng)稱為標(biāo)準(zhǔn)差。(2 )平均值的標(biāo)準(zhǔn)差真值的最佳估計值是平均值，故結(jié)果應(yīng)表述為：(置信概率 68.3%)(并不是只做一次測量)X / 真值的最佳估計值S( X)平均值的標(biāo)準(zhǔn)

3、差最佳估計值S(X)(Xi X)2k(k 1)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差例1:的1 ，即某觀察量的n次獨立測量的結(jié)果是 X, X2, , Xno試用方差合成公式證明平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差S(X)S(X)、 n解:0由題知X相互獨立，則根據(jù)方差合成公式有Xn利用樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差的定義，可知u(X)=S(X>v'S2(X)u(X) S(X)S2(X)i=1,2,nS2(X)u(X)S(X)nU2(XJU2(Xn)n3.系統(tǒng)誤差與儀器誤差(限)(1 )系統(tǒng)誤差：在同一被測量的多次測量過程中，保持恒定或以可以預(yù)知方式變化的那一部分誤差稱為系統(tǒng)誤差。 已被確切掌握了其大小和符號的系統(tǒng)誤差，稱為可

4、定系統(tǒng)誤差；對大小和符號不能確切掌握的系統(tǒng)誤差稱為未定系統(tǒng)誤 差。前者一般可以在測量過程中采取措施予以消除或在測量結(jié)果中進行修正；而后者一般難以作出修正，只能估計出它 的取值圍。在物理實驗中，對未定系統(tǒng)誤差的估計常常利用儀器誤差限來進行簡化處理。(2 )儀器誤差(限)：由國家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)或檢定規(guī)程規(guī)定的計量器具的允許誤差或允許基本誤差，經(jīng)過適當(dāng)簡化稱為 儀器誤差限，用以代表常規(guī)使用中儀器示值和(作用在儀器上的)被測真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差。長度測量儀器:游標(biāo)卡尺的儀器誤差限按其分度值估計；鋼板尺、螺旋測微計的儀器誤差限按其最小分度的1/2計算。指針式儀表：儀=a% Nm式中N.是電表的量程，a是

5、準(zhǔn)確度等級。數(shù)字儀表：儀=a%N<+b%Nn或儀=a%N+n字式中a是數(shù)字式電表的準(zhǔn)確度等級，NX是顯示的讀數(shù)，b是誤差的絕對項系數(shù)，2是儀表的滿度值，n代表儀器固定項誤差，相當(dāng)于最小量化單位的倍數(shù)。 電阻箱：儀=ai%Ri Roi式中F0是殘余電阻，R是第i個度盤的示值，a是相應(yīng)電阻度盤的準(zhǔn)確度級別。 直流電位差計：儀=a% (Ux10式中a是電位差計的準(zhǔn)確度級別，U是標(biāo)度盤示值，U0是有效量程的基準(zhǔn)值，規(guī)定為該量程中最大的10的整數(shù)幕。直流電橋：儀=a%(RX)10式中FX是電橋標(biāo)度盤示值，a是電橋的準(zhǔn)確度級別， R)是有效量程的基準(zhǔn)值，意義同上。(3) B類不確定度的處理儀、靈敏度

6、誤差靈和估計誤差限估。其中靈敏在物理實驗中，B類不確定度的來源通常包括以下三種：儀器誤差度誤差可表示為0.20.2n/ xB類不確定度與各種誤差限之間的關(guān)系為Ub4.不確定度的合成(1)直接測量x :Ua(x) , Ub(x)u(x)間接測量、u；(x) u(x)y=f(X1, X2, xn)(稱為合成不確定度)其中X1, X2, Xn為相互獨立的直接測量量J / f 、2 2 ()Ui Xi最終結(jié)果表述形式：u(y)(Xi)(3)結(jié)果有效數(shù)字的確定原則：u(y) / ln f、2 2/ . ()u (Xi)y , i Xi (單位)用分光計測棱鏡材料的折射率公式為=5058'解:dn

7、u(n)nN u(N=不確定度u(N只保留一位有效數(shù)字； 測量結(jié)果N與不確定度u(N小數(shù)位數(shù)對齊。Asin =nA-。已測得 A=60Asin2u( n)= 1.64790.0007。n60 050 58sin3'，則黃光所對應(yīng)的折射率Asinn匚.Asin2A ,1, Acos (亍d AAsin 22d2.60 0sin2、 A 1 )cos dA 2 2Asin -21.64792(ctgA0'2'，黃光(汞燈光源)所對應(yīng)的AInn lnsin 2A Insin2ctg -)dA ctg 2 20.000426u(n) n1.6479 0.0004260.0007

8、n u(n)=1.64790.0007n5有效數(shù)字及其運算法則(1) 有效數(shù)字：由若干位可靠數(shù)字加一位可疑數(shù)字構(gòu)成。在不計算不確定度的情況下，結(jié)果的有效數(shù)字由運算法則決定。(2 )運算法則 加減法：以參加運算各量中有效數(shù)字最末一位位數(shù)最高的為準(zhǔn)并與之取齊。N=A+BGD 則 u(N) u2(A) u2(B) u2(C) u2(D)取決于u(A)、u(B)、u(C)、u(D)中位數(shù)最高者，最后結(jié)果與之對齊。 乘除法：以參加運算各量中有效數(shù)字最少的為準(zhǔn)，結(jié)果的有效數(shù)字個數(shù)與該量相同。N AB，則 u(N) u(A)CDA2u(D)D2 2u(B)u(C)BC取決于其中相對不確定度最大者，即有效數(shù)字

9、個數(shù)最少者。 混合四則運算按以上原則按部就班執(zhí)行。例3：某物理量的計算公式為k1 1.6d/H，其中k為常數(shù),1.6為準(zhǔn)確數(shù),H 16cm, d=0.1500cm。若使 Y 的表示式中分母的值具有 4位有效數(shù)字，正確測 H的方法是(d )。(a)用游標(biāo)卡尺估讀到 cm千分位(c)用米尺只讀到mm位(d)解:型6 O'1500 0.015H16(b)用米尺估讀到cm百分位用米尺只讀到cm位分母11.015為4位有效數(shù)字H即H只需2位有效數(shù)字即可，故應(yīng)選 (d) 特殊函數(shù)的有效數(shù)字：根據(jù)不確定度決定有效數(shù)字的原則，從不丟失有效位數(shù)的前提出發(fā)，通過微分關(guān)系傳播 處理。例4：tg452'

10、; =1.00116423最多可取幾位有效數(shù)字？解：令 y=tg x，其中 x=452'1取 x 10.00029(rad)60180則y1 12 x 2,-0.00029 0.00058即小數(shù)點后第四位產(chǎn)生誤差cos2 xcos2 45 2tg452' =1.0012 ，有五位有效數(shù)字。例 5：雙棱鏡測波長的計算公式為汗，對實驗數(shù)據(jù)進行處理的計算結(jié)果如下表所示。x=0.28144mmb=5.9325mmb' =0.7855mmS=27.65cmS' =75.90cm-4u(x)=2.01010mm(b)/b =0.025(b') /b' =0.

11、025(S =0.5cm(S')=0.5cm(b)=0.005m m(b' )=0.005mm(S)=0.05cm(S') =0.05cm注：下標(biāo)1代表來自方法誤差，下標(biāo) 2代表來自儀器誤差。要求：(1)給出測量結(jié)果的正確表述(包括必要的計算公式)。(2 )定量討論各不確定度的分量中，哪些是主要的，哪些是次要的，哪些是可以忽略的？如果略去次要因素 和可以忽略項的貢獻，不確定度的計算將怎樣簡化？結(jié)果如何？x . bb0.28144.5.93250.78554解：(1)5.8671610mmS S(276.5 759.0)11dd(x)dbdbdSdSInIn xIn bI

12、n bIn (SS)22x2b2bS S S Sr22 222u()u(x)u(b)u(b)u(S)u(S)0.0111Yx2b2bS SSS其中u( x)2.01010 40.000714 ;x0.281442b2b2、3b2 3U2(b)2(b)/ 30.0050 00022b2bU1 (b )1(b)/ 311(b)0.025Ui (b)12bU2(b )1(b)/ . 31(b)2 . 32b2(b)/ .3-2b2、3 b0.0052 0.0250.00722u(b)莎Ui(b)2b0.00722u(b)2b5(b )2b2U2(b)2b(b) 22bU1(S)1(S)/ 30.50

13、.002792u(S)2U1(S)U2(S)S SS S(27.6575.90) .3U2(S)2(S)/ 30.050.000279S SS SS SS SS S(27.6575.90). 3U1(S)1(S)/ 30.50.00279_ 2u(S)_ 25(S)S SS S(27.6575.90) . 3U2(S)U2(S)2(S)/ 30.050.000279S SS SS SS SS S(27.6575.90) . 30.001842b22于是得0.0111=6.53u()5.86716 10 4u()=巴-610 mm)=587 7nm則有由前面的計算可知，不確定度主要來自業(yè)和2b讐

14、，次要因素是讐U1(S)和U1(S)，可以忽略的因S S S SU2(b)2bu2 (S)和 U2 (S )若只考慮主要項的貢獻:u()2U1(b)2U1(b )1(b)2bu()=6 nmu()=587 6nm0.01022b,6b比嚴(yán)格計算的結(jié)果稍小但相差無幾。二、數(shù)據(jù)處理方法1. 列表法：按一定規(guī)律把數(shù)據(jù)列成表格。 列表原則：(1 )表格的標(biāo)題欄中 注明物理量的名稱、符號和單位 ；(2) 記錄原始數(shù)據(jù)(如記錄刻度數(shù)，而不是記錄長度)；(3) 簡單處理結(jié)果(如算出長度)或函數(shù)關(guān)系；(4) 參數(shù)和說明(如表格名稱、儀器規(guī)格、環(huán)境參數(shù)、常量以及公用單位等)。例6:拉伸法測彈性模量的載荷一一伸長

15、曲線如圖所示，圖上至少有 不規(guī)。它們是 坐標(biāo)軸應(yīng)標(biāo)注物理量和單位，軸上缺少分度值標(biāo)記標(biāo)出，曲線應(yīng)光滑連接，計算點坐標(biāo)標(biāo)注不規(guī)。3 最小二乘法與一元線性回歸法5處繪制錯誤或 實驗點應(yīng)以醒目各測量值與這條曲線上對應(yīng)點之差的平方和應(yīng)例7:試用最小二乘原理推導(dǎo)直線方程y=kx中回歸系數(shù)k的計算公式。解：根據(jù)最小二乘原理應(yīng)有n(yik i 1kxi )20n(yii 1n2(yii 1kxi )2minkxi)(為)0nXiyii 1nkxi20i 1于是得xi yiXixyx2(2) 元線性回歸法:由最小二乘原理,應(yīng)有設(shè)直線方程kyi (a1y=a+bx，其中自變量bxi )2 minx的誤差可略ky

16、i即 a i 1k匚yib i 1(a(a解之得(3 )相關(guān)系數(shù)r物理意義bXi)2bXi)2Xik2yii 1k2yii 1Xiyi22(Xi) k XiXi yiXi yi yx2a 2 2(X )2k Xi2yi(a bxj( 1)(a bXj)( k )Xy xyX2x2bXr:用于檢驗x和y之間是否存在線性關(guān)系。y a bx通過全部實驗點 之間線性相關(guān)強烈yiyi隨xi增加而增加yi隨xi增加而減小xi、yi之間無線性關(guān)系擬合直線為與akXi1xykyii 12Xikxiyii 1xyx2 X2)(y2y2)x軸平行的直線例8:根據(jù)所給相關(guān)系數(shù) r=-1r作出實驗點分布草圖: r =

17、0.9993 r=0.015(1)最小二乘法：對等精密度測量若存在一條最佳的擬合曲線，那么 取極小值。(4) 回歸法使用要點： 自變量x測量誤差可略，即應(yīng)選擇測量精度較高的物理量作自變量； 因變量y為等精度測量 或近似等精度測量，即 u(y)近似相等； 作線性關(guān)系的檢驗：利用物理規(guī)律或作圖等其它方法確認(rèn)線性關(guān)系的存在；或檢驗相關(guān)系數(shù)是否滿足|r| 1。解：根據(jù)線路圖可得R ()20.050.0100.0200.0300.0400.0V (V廠2.802.722.602.382.202.04例9：實驗線路及測量數(shù)據(jù)如下，用一元線性回歸法計算電壓表阻RV (寫出計算公式即可)EVRVR RvERv

18、Vu(R).0.10.1計算R1丄精度:R20.0，400.0Vu(1/V)u(V)0.011/VV2.80故將公式:變形為1 R1令V ERvE則有a 1b1aEERvRvR Rv4.逐差法(1)測量次數(shù)為偶數(shù)的逐差法0.005,0.00025可知R的精度較高0010.0036,0.0052.041y R x并設(shè)直線方程y=a+bxV-Rvab設(shè)自變量和因變量之間存在線性關(guān)系y a bx ,并有組實驗數(shù)據(jù):yn 1y1隔n項逐差，可得到b1Xn 1X1,bny2n yn取平均值X2nXnX1, xn , xn 1, x2n .； y1, ,yk, yn 1,y2nb 1 n b 1 n yn

19、 i yi b bi 一ni 1 n i 1Xn i Xi對于自變量x等間隔分布的情況，有 xnXinX求得bl后，可由公式y(tǒng)ia b求出n nX i 1yi bXi(yn i yi)例10：已知R=R)(1+t)，實驗數(shù)據(jù)如下，用逐差法求電阻溫度系數(shù)(不要求計算不確定度)t (C)85.080.075.070.065.060.055.050.0R ()0.36220.35650.34990.34370.33800.33240.32700.3215解：R=R)+ Rot 并設(shè) y=a+bx則有a= Rob= Ro=a即而利用逐差法可得:ai1234平均t =t i +4- t i(C)20.0

20、20.020.020.020.0R= Ri +4- R()0.02420.02410.02290.02220.0233 5于是有0.0233520.00.0011675R b t)b 0.00116750.26264.45 10 3 (1/C)條紋吞吐n0100200300400M鏡位置X (mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300例11:邁克爾遜干涉儀實驗數(shù)據(jù)處理條紋吞吐n500600700800900M鏡位置X (mm)34.6446534.6763534.7080034.7394534.77085解法一：由逐差法可得i12345平均N=ni+

21、曠 ni500500500500500500d5oo=X +5-X (mm)P 0.161600.160500.159700.158850.15785 :0.15970u()222d500N2 08(nm)U(d 500 )d500u(N)N其中I 22U(d500)Ua (d 500 ) Ub(d500)U a (d 500 )U b (d 500 ) 2(d id 500 )540.000648(mm)于是u(N) Ub(N)0.530.2890.000050.0000289( mm)u()2U(d500 )d5002u(N)N638.820.000648 0.1

22、5970220.28950022.6( nm)u()=6393( nm)i12345平均N'=( ni +5- n )/5100100100100100100d1oo=( Xi +5- Xi) /5 (mm):0.0323200.0321000.0319400.0317700.0315700.031940解法二：由逐差法可得u()22d100N2 0.031940100638.8( nm)u(d100)d100u(N )Nu(d100 ).Ua (d 100 ) Ub (d 100 )其中U a (d100 )U b ( d 100 )(didp。)25 40.000130(mm)于是

23、u()u(N ) Ub(N )2u(d100 )d 1000.000055、30.00000577(mm)0.55i30.05772u(N )N638.8 °.000130：O'0572V 0.031940210022.6 (nm)u()=6393( nm)(2)測量次數(shù)為奇數(shù)的逐差法 處理原則：去掉中間的數(shù)據(jù)。條紋吞吐n0100200300400例12：重新處理邁克爾遜干涉儀實驗數(shù)據(jù)條紋吞吐n5006007008009001000M鏡位置X (mm)34.6446534.6763534.7080034.7394534.7708534.80280M2 鏡位置 X (mm) 3

24、4.4830534.5158534.5483034.5806034.61300M鏡位置X (mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300i12345平均N=ni+6 ni600600600600600600D6oo=X +6-X (mm)P 0.193300.192150.191150.190250.18980 ：0.1913322d600N2 °19133637.8(nm)600u()u(d600 )d600u(N)N其中u()U( d600 ), U a (d 600 )Ub (d 600 )2(d i d 600 )5 40.00005

25、ub(d 600 )0.0000289(mm)Ua (d 600 )0.000636(mm)0 5u(N) ub(N)0.289v'3I22u(d600)U(N),d 600Nu()=6382(nm)" 20.0006366378,2 0.1913320.289 22.1( nm) 600解：去掉中間的數(shù)據(jù)后為條紋吞吐n0100200300400M鏡位置X (mm)34.4830534.51585 :34.54830 :34.58060 :34.61300條紋吞吐n6007008009001000M鏡位置X (mm)34.6763534.7080034.7394534.7708534.80280由逐差法可得(3)逐差法說明 逐差法多用在自變量等間隔測量且其測量誤差可略去的情況，這樣可簡化計算。 使用逐差法