微分方程復習

1、第四章 微分方程4.1 方程分類與解法 一階，可分離變量方程l 一階變量分離方程l 齊次方程令， 一階線性非齊次方程齊次方程通解 標準形 通解伯努利方程令得 特殊二階方程 降階法l 微分方程接連積分n次，便得到微分方程的含有n個任意常數(shù)的通解。l 令 則l 令 則l 首次積分方法若則稱為方程0的首次積分。這樣就把原方程降了一階。特別地，二階的就變成一階方程了。 二階（高階）線性常系數(shù)方程1線性方程解的結構理論定理1（疊加原理） 設是齊次方程的解，則它們的線性組合 也是齊次方程的解，其中是任意常數(shù)。定理2 設是非齊次方程的一個解， 是對應的齊次方程的解，則也是非齊次方程的解，其中是任意常數(shù)。定理

2、3 （二階齊次線性微分方程通解的結構） 設和是方程（3）的兩個線性無關特解，則 （是任意常數(shù)）是方程（3）的通解。對于二階非齊次線性微分方程（4）有如下的定理。定理4（二階非齊次線性微分方程通解的結構） 設是方程（4）的一個特解，和是方程（4）對應的齊次線性方程（3）的兩個線性無關解，則(5)是方程（4）的通解。2齊次方程 特征方程 綜上所述，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步驟如下：第一步 寫出微分方程的特征方程第二步 求出特征方程的兩個根。第三步 根據(jù)特征方程兩個根的不同情形，按照下列表格寫出微分方程（3）的通解特征方程的兩個根微分方程的通解兩個不相等的實根兩個相等的實根一對共軛復根對

3、于高階常系數(shù)齊次線性微分方程可以根據(jù)下表給出的特征方程的根寫出對應齊次線性微分方程的解如下：特征方程的根微分方程通解中的對應項單實根一對單復根k重實根k重復根給出一項給出兩項給出k給出k項：項給出2k項： 3非齊次方程 其通解是其中是對應齊次方程的解，是非齊次方程的解。特解 k是特征根的重復次數(shù)， 特解k是特征根的重復次數(shù)。4歐拉方程 令 或 ，則，若引入微分算子符號，則上述結果可簡記為，一般地 4.2 解法選例 基本題目類例1 解 首先觀察此類方程：一階，可分離變量，代入初值故例2 解 首先觀察此類方程：一階，線性非齊次方程。例3 令，則，例4 解 例5 解 觀察：一階，齊次方程令 代入方程

4、消去 得整理 積分將代入得代入初值 整理。例6 解 （1）令代入方程或 （舍不符合初值）積分即代初值代初值解 （2） 代初值，代初值例7 填空a 方程 通解為（）b 方程 的通解為（）c 方程 的通解為（）d 方程 的通解為（ 綜合題目類例8 設于上可導，且其反函數(shù)為，若，求。解 對求導 ，即 ，故，即。例9 于上可導。 且滿足（1）求（2）證明當時。解 求導 則 代初值 得 又故即。例10 有連續(xù)一階導數(shù)，且滿足 ，求。解 （注意到,）代入初值 ，積分，代初值 得，則例11 已知是方程的一個特解，求方程通解。解 設也是方程的解，代入方程有整理取，則。故是方程通解例12 求解歐拉方程（1）；（

5、2）。解 （1） 令 則 特征方程為 則。（2） 令 則特征方程：不是特征根，故設特解代入方程 ，則方程通解 。例13 求解方程 解 此方程是全微分方程。因為其原函數(shù)（勢函數(shù)）即方程為 或解 則即 是方程的解。例14 已知 是二階線性齊次方程的解，試建立此方程解 線性無關，則是方程的通解（1）又（2）（3）聯(lián)立（1）（3）求，代入（2）整理得例15 設，是的兩個解，求值。解 是解，則是特征根，是解，則是特征根，且是二重根。特征方程為 即 ，比較原特征方程 得。也可以將代入方程得；將代入方程得，從而，。例16 已知 的三個特解為試求 特解。解 非齊次方程的任兩個特解之差是齊次方程特解，故是齊次方

6、程的解，且線性無關，故是非齊次方程通解。代入初值，則從而特解為。4.3 微分方程應用問題解題總的步驟（1） 分析題意建立方程（2） 依題意寫出初始條件（3） 識別方程類型解方程 幾何問題例1 設曲線過點，曲線上任一點處的切線交軸于點，若（是原點），求的方程。解 1. 列方程 切線方程為令的（OT）|PT|，由整理得2結合初值條件得初值問題3方程是齊次方程 令 代入方程消去 得整理 積分將代入得代入初值 整理。例2 設函數(shù)二階可導，且，。過曲線上任一點作切線及軸的垂線，上述兩條直線與軸所圍成的三角形的面積記為，區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形的面積記為，且，求曲線。解 在點處的切線方程為它與軸的交點為，

7、由知，于是又，由得由此知，上式兩端對求導并化簡得令 ，則方程變形為由，即，故有解得代入初始條件得，即于是代入初始條件，得 故所求曲線為。例3 位于坐標原點的我艦向位于點處的敵艦發(fā)射制導魚雷，設魚雷永遠對準敵艦，已知敵艦航速為。在直線上行駛，魚雷速度為。求魚雷航跡曲線。又敵艦行駛多遠時被魚雷擊中？解 如圖，設時刻魚雷行至點，敵艦至T點，則。以下求|AT|。過點P的切線方程為，令，（AT）故得方程：求導整理得解方程：將代入 即平方：代入初值 故 當，擊中。小結：用幾何關系建立方程 物理問題例4 物理問題從船上向海中沉放某種探測儀器，按探測要求，需確定儀器的下沉深度（從海平面算起）與下沉速度之間的函

8、數(shù)關系，設儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉，在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用。設儀器的質量為m，體積為B，海水比重為，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為，試建立與所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關系式。解 取沉放點為原點，軸正向鉛直向下，則由牛頓第二定律得依題意，代入上式消去，得分離變量得積分后得由初始條件定出故所求函數(shù)關系式為 微元分析法例5 設一半徑為6cm，高為25cm的圓柱體容器充滿水，其底部有一0.2（cm）的小孔，那么水就以的速度從小孔流出。（h為自由水面到柱底的高度），求水流規(guī)律（h（t）？）解 設時刻，自由水面高度為，再經(jīng)dt時段水位下降位dh則，則記 解得，

9、令 t213秒例6 設一車間容積為10000M?？諝庵泻校ㄒ匀莘e記計算）?，F(xiàn)將含有的新鮮空氣以1000的速度輸入車間，同時以的流量抽出混合氣體。問10分鐘后，車間內的濃度降到多少？解：設t時刻，車間內含M，經(jīng)dt時段改變量為dx，則輸入輸出10dt整理得解得 此時濃度為“翻譯”！例7 一半球形雪堆其溶化速度與半球表面積成正比，比例系數(shù),假設溶化過程中，雪堆始終保持半球體狀。已知半徑的雪堆開始溶化3小時，其體積是原來的，問全部溶化需多少時間？解 時段 令（全部溶化）。例8 人口問題、細菌繁殖、種群繁殖、新產(chǎn)品推廣某種群增長速度除與該種群個體數(shù)量成正比，還由于受環(huán)境制約而與成正比，試求該種群函數(shù)

10、關系。解 積分得若給定初值，則可定，從而令，是該環(huán)境對此種群的容納量。注：（1）原始：，A為總容量。（2）本模型適應，種群繁殖、疾病傳染、信息傳播、新技術、新產(chǎn)品推廣等等。第四章 復習1若方程中出現(xiàn)等形式的項時，通常要做相應的變換。例1 求解微分方程解 令，則，原方程，即，再令，而，代入上式，有，從而習題課 1 試求以為通解的微分方程在兩邊對求導，得，再求導，得或即為所求微分方程2 求微分方程的通解解 令，則。，代入原方程，得，分離變量，得，即積分，得，將代回，即得通解3 求微分方程的通解解 將方程變形為，方程右端是以為中間變量的函數(shù)。令，求導得，代入方程，得，即，分離變量，得，積分，得或，以

11、代回，得原方程通解為4 設是一個連續(xù)函數(shù)，且滿足，求。解 這種方程稱為積分方程，通常將它化為微分方程的初值問題。為此，再在等式兩端對自變量x求導，有，在確定初值條件，于是得到微分方程的初值問題。又，得，從而5 設曲線上任一點滿足（如圖），其中為L在點P處的切線，又知L過點（1，2），求曲線L的方程。解 一般用微分方程解決應用問題分三個主要步驟。（1）建立方程 根據(jù)題意，過的切線方程為，故點的坐標為，由此得直線得斜率為，直線OP的斜率，由于，所以，即，得。（2） 確定初值問題 因曲線L過點（1，2），得初值問題為（3） 解方程 根據(jù)初值條件，可以限定在的范圍內求解。方程課變型為齊次方程，令，有，代入上式，得。方程得。將代回，得， ，以初值條件代入，得，因此曲線L的方程為。6 求微分方程的通解。解 令，方程化為，分離變量并分，再積分兩次，得，或。7 求的通解解 特征方程為，特征根為，故方程通解為8 設為連續(xù)函數(shù)，且滿足方程，求。解 將上式兩邊對x求導，得，再對上式求導，得，即。有已知即上式可知。因此所求函數(shù)滿足下列初值問題，易得其通解為根據(jù)初值條件，得。從而所求的函數(shù)為。9 光滑曲線l過原點和點（2，3），如圖所示，任取l上一點P(x, y)，過點P作兩坐標軸的平行線PA、PB，PA與x軸和曲線l所圍成圖形的