截一個(gè)正方體所得截面問題教材資源的整合利用與再創(chuàng)造

1、“截一個(gè)正方體所得截面問題”教材資源的整合利用與再創(chuàng)造耒陽市杜甫中學(xué) 謝永紅所謂課程資源是指富有教育價(jià)值的、能夠轉(zhuǎn)化為學(xué)校課程或服務(wù)于學(xué)校課程的各種條件的總稱，它包括教材以及學(xué)校、家庭、社會(huì)中所有可資利用的，有助于提高學(xué)生素質(zhì)的人力、物力與自然資源。有關(guān)正方體的截面問題，在義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書的兩種權(quán)威版本中都有提及。如北師大版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)七年級上冊中課題截一個(gè)幾何體有探究活動(dòng)：截一截如圖1-7，用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，截出的面（叫做截面，section）可能是什么形狀？（P13頁）圖1-7截面的形狀可能是三角形嗎？可能是三條邊都相等的三角形嗎？先做一做，再想一想。做

2、一做下圖中的截面的形狀分別是什么？（已刪減兩個(gè)非正方體截面圖）（P13頁）又如華東師大版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)七年級上冊課題讓我們來做數(shù)學(xué)后P11頁練習(xí)T1：如圖，表示用刀切去正方體的一個(gè)角得到切口圖形是等邊三角形的方法 下列圖形中，哪一個(gè)也能通過切正方體得出來？一、教材背景分析新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與框架體系上有較大的調(diào)整，整個(gè)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容分為四大體系，即數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、實(shí)踐與綜合應(yīng)用。標(biāo)準(zhǔn)將以往的“幾何”拓廣為“空間與圖形”是出于什么考慮？1、“空間與圖形”的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生更好地認(rèn)識和理解人類的生存空間；2、“空間與圖形”的學(xué)習(xí)，有助于培養(yǎng)

3、學(xué)生的創(chuàng)新精神；3、“空間與圖形”的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生獲得必需的知識和必要的技能，并初步發(fā)展空間觀念，學(xué)會(huì)推理；4、“空間與圖形”的學(xué)習(xí)，有助于促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。在認(rèn)識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系方面，“空間與圖形”的作用是不可替代的；在構(gòu)建直觀的、形象化的數(shù)學(xué)模型方面，“空間與圖形”的作用是獨(dú)特的。正方體是我們現(xiàn)實(shí)生活中常見的幾何圖形，研究正方體的截面問題，對于發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的空間想像能力，作用是非凡的；同時(shí)，研究正方體的截面問題，實(shí)現(xiàn)三維與二維圖形之間轉(zhuǎn)化，也可作為將來高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)很好的鋪墊。因此，我認(rèn)為，無論是從學(xué)科教學(xué)內(nèi)容要求的角度看，還是從數(shù)學(xué)教學(xué)素材來源

4、的角度看，或是從學(xué)生持續(xù)發(fā)展的角度看，“截一個(gè)正方體”都應(yīng)是作為不同版本教材發(fā)展學(xué)生空間觀念的一個(gè)載體。二、教材資源的整合利用綜合兩種版本中的相關(guān)問題，實(shí)際上可歸為一個(gè)問題，即：用一個(gè)平面去截一個(gè)小正方體，截面可能是三角形嗎？可能是四邊形嗎？五邊形、六邊形呢？七邊形呢？因此，教學(xué)設(shè)計(jì)中，我將兩種版本中的相關(guān)問題整合在一起，并沿著知識結(jié)構(gòu)的“最近發(fā)展區(qū)”進(jìn)行發(fā)散性延拓，提出了一個(gè)專題性探究課題。即：用刀切截一個(gè)小正方體，切口可能是三角形嗎？可能是四邊形嗎？五邊形、六邊形呢？七邊形呢？（含特殊多邊形，如等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、正方形、矩形、菱形、平行四邊形、梯形、正五邊形、正六邊形等）

5、其教學(xué)目的，一是讓學(xué)生經(jīng)歷切截正方體的活動(dòng)過程，體會(huì)正方體在切截過程中的變化，在面與體的轉(zhuǎn)換中豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念；二是讓學(xué)生通過正方體截面問題的探究，經(jīng)歷探究、合作、與別人交流等實(shí)踐活動(dòng)，分享彼此的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，培養(yǎng)團(tuán)結(jié)協(xié)作意識，豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感體驗(yàn)。三、課程實(shí)施中存在的困難其一，對于初中一年級的學(xué)生來說，認(rèn)知角度存在困難。從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)來看，截一個(gè)正方體，得到截面圖形可為三角形、四邊形是不成問題的，誘發(fā)學(xué)生有興趣、有信心進(jìn)一步探究截面是否可以為五邊形、六邊形、七邊形，甚至任意多邊形？但很難探究出結(jié)果。從認(rèn)知的角度來看，學(xué)生最先感知的是三維世界，是“空間”。因此，正方體

6、的截面問題的探究過程，極大程度上是人的思維不斷地在二維和三維之間轉(zhuǎn)換的過程。這種轉(zhuǎn)換在數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生往往只能是經(jīng)過大腦的想象來處理的。然而，想象可以被視作為一種特殊形式的思維，它是創(chuàng)造出新形象的能力，這個(gè)能力恰恰是缺乏空間觀念、空間想象力的學(xué)生所缺乏的，因此學(xué)生感到困難。而困難的根本原因，在于缺乏經(jīng)驗(yàn)。其二，實(shí)驗(yàn)操作載體選擇上存在困難。教學(xué)設(shè)計(jì)中，我試圖創(chuàng)新教法、創(chuàng)新課堂教學(xué)模式，將實(shí)驗(yàn)帶進(jìn)數(shù)學(xué)課堂。因?yàn)椋艺J(rèn)為，借助親手實(shí)踐操作手段，觀察、猜想，運(yùn)用圖形直觀、幾何直覺可以增進(jìn)學(xué)生對幾何體截面圖形的數(shù)學(xué)理解能力。另一方面，我認(rèn)為，這一設(shè)計(jì)思路，也可能讓學(xué)生感覺自己就是專家、學(xué)者，自己是在做一

7、個(gè)學(xué)術(shù)研究，這樣，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。事實(shí)上，在課前的準(zhǔn)備工作中，學(xué)生果然表現(xiàn)出了極大的興趣和極強(qiáng)的參與意識。按照我最初的設(shè)計(jì)思路，學(xué)生通過切蘿卜、切橡皮泥（將它們分別切成正方體模型）等實(shí)踐操作，并經(jīng)過小組合作交流、探究是較容易得到切口形狀的。而且，我認(rèn)為找到了一種很適合基層教學(xué)的實(shí)驗(yàn)載體（蘿卜、薯類、橡皮泥甚至普通泥等都是基層學(xué)生易找的）。然而，實(shí)際教學(xué)不盡如此。一）切截蘿卜、薯類等制成的實(shí)物模型，有幾個(gè)不利因素。1、實(shí)物模型大小受到限制，給切截實(shí)踐操作帶來困難，很難得到五邊形、六邊形；2、實(shí)物模型有一定的硬度，學(xué)生必須帶刀實(shí)踐操作，給學(xué)校帶來不安全因素；3、實(shí)物模型含有水分，不易造

8、色，不易觀察切口形狀，也不便于教師展示；4、一堂課實(shí)驗(yàn)結(jié)束，教室內(nèi)遍地蘿卜等雜渣，環(huán)境受損；5、一次切截如不成功，很難重復(fù)實(shí)驗(yàn)。二）切截泥類也不盡人意。幾何體模型易制，大小也可不受限制，但因硬度不夠，刀一接觸，幾何體就變形了。因此，在實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ洼d體的選擇上，截一個(gè)幾何體問題就是一個(gè)極具挑戰(zhàn)性的探究性課題。況且，能不能得到五邊形、六邊形的切口呢？如果能，刀口應(yīng)怎樣放置，怎樣處理刀面的傾斜角度才能得到五邊形、六邊形呢？這都是極具挑戰(zhàn)性和探究性的。四、教材資源的再創(chuàng)造與創(chuàng)新設(shè)計(jì)關(guān)于正方體切截載體的選擇，在苦苦的探求過程中，終于在一個(gè)偶然的機(jī)會(huì)，我想到了“以水代刀”?！霸谝粋€(gè)正方體玻璃模具中，加入水，水

9、面的形狀不就是切口的形狀嗎？”，于是，我將教材資源中的“截面”、“切口”統(tǒng)一換成“水面”，重新設(shè)計(jì)了教學(xué)程序。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過程師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、玩具激趣，暗示課題水晶車（相片）師：大家喜歡玩具嗎？生：略師：現(xiàn)在老師手上就有一個(gè)小小的玩具，大家看，漂亮嗎？生：略師：其實(shí)，它的制作原理很簡單，只是在車身里面裝入了一些漂亮的飾品，并裝入了一些水，但它給我們的感覺卻是一種流動(dòng)的美。盡量整合教師的經(jīng)驗(yàn)、學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和“情商”，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和好奇心，培養(yǎng)他們的求知欲望，促使他們的思維進(jìn)入最佳狀態(tài)。二、玩中寓學(xué)，創(chuàng)新思維正方體玻璃模具中裝有紅墨水（相片）燈片1“議一議”用刀切截小正

10、方體，切口可能是三角形嗎？可能是四邊形嗎？五邊形、六邊形呢？七邊形呢？試用你手中的小正方體，與同伴交流你的想法。師：（1）下面我們也來做一個(gè)類似的游戲：在正方體玻璃器皿中裝入紅墨水美?。?）引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想用刀切截正方體得到的切口圖形。生：觀察正方體中水面的形狀，領(lǐng)悟正方體中水面的形狀即可想象為用刀切截正方體所得的切口圖形。師：適當(dāng)提示，指導(dǎo)學(xué)生如何觀察、如何聯(lián)想。切口的邊數(shù)由液面與正方體相交的面數(shù)決定。生：前后兩排四人一組分組討論“議一議”中的問題。教師點(diǎn)評：數(shù)學(xué)作為一門自然科學(xué)，源于生活、寓于生活、用于生活，只要我們平時(shí)注意觀察、勤于思考、大膽聯(lián)想，勇于探索，就一定能學(xué)好數(shù)學(xué)。這也是我們本節(jié)課

11、的主題，讓我們一起來做數(shù)學(xué)。（給出課題讓我們來做數(shù)學(xué)）從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，通過一個(gè)充滿探索、思考和合作的過程，促使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，獲取知識，收獲自信心、責(zé)任感、求實(shí)態(tài)度、科學(xué)精神、創(chuàng)新意識、實(shí)踐能力讓學(xué)生經(jīng)歷探究、合作、與別人交流等實(shí)踐活動(dòng)，分享彼此的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，培養(yǎng)團(tuán)結(jié)協(xié)作意識，激發(fā)學(xué)生潛在的創(chuàng)造力，逐步形成創(chuàng)新意識。五、操作說明1、在正方體玻璃瓶中裝入少量水，水面為三角形，聯(lián)想用刀切截正方體的切口圖形。2、在正方體玻璃瓶內(nèi)裝入不同體積的水，根據(jù)正方體的不同擺放方式，以及體內(nèi)水面的不同形狀可以很容易探究出用刀切截正方體可能得到的平面圖形。3、切口為特殊多邊形的探究方法。如：4、探究出為什么最多只能

12、得到六邊形（因?yàn)檎襟w只有六個(gè)面，水面跟每個(gè)面最多只能形成一條邊）。六、教后反思根據(jù)新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)置數(shù)學(xué)課程的基本目的，不再只是讓學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)知識、技能，它還包括在啟迪思維、解決問題、情感與態(tài)度等方面的發(fā)展。關(guān)于正方體切截載體的選擇，我想到了“以水代刀”，這一發(fā)現(xiàn)是我在火車上一邊喝礦泉水，一邊思考截幾何體“載體”時(shí)得到的。我把這一過程告訴學(xué)生，意在以正方體的截面問題為切入口，誘導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)源于生活、寓于生活、用于生活。用水面形狀來代替切口形狀即是將生活題材數(shù)學(xué)化的一個(gè)前所未有的創(chuàng)新。我的創(chuàng)新過程將啟迪學(xué)生思維、解決問題的方式、方法，并增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的勇氣，增強(qiáng)探究的好奇心，加深對數(shù)

13、學(xué)的理解，激發(fā)學(xué)生潛在的創(chuàng)造力，逐步形成創(chuàng)新意識。當(dāng)代偉大的數(shù)學(xué)家M·阿蒂亞先生指出：幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一部分，其中視覺思維占主導(dǎo)地位，幾何直覺是增進(jìn)數(shù)學(xué)理解力的很有效的途徑，而且它可以使人增加勇氣，提高修養(yǎng)，有人說，幾何作為一種直觀、形象的數(shù)學(xué)模型，它在發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新精神方面的價(jià)值，卻是獨(dú)特的、難以替代的。“從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，通過一個(gè)充滿探索、思考和合作的過程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，獲取知識，收獲的將是自信心、責(zé)任感、求實(shí)態(tài)度、科學(xué)精神、創(chuàng)新意識實(shí)踐能力等這些遠(yuǎn)比升學(xué)重要的公民素質(zhì)?！碧骄恳粋€(gè)正方體的切口形狀作為教學(xué)內(nèi)容是一個(gè)源于教材的很有意義的課程資源，以水代刀，將水面形狀代替切口形狀作為教學(xué)媒

14、體也是廉價(jià)的推廣可行的課程資源。關(guān)于正方體的截面問題的研究，還有一些值得探討的問題，本人設(shè)計(jì)了用水面代替刀切截正方體的構(gòu)想，然而，在課堂教學(xué)實(shí)踐中，由于水的流動(dòng)性，液面難于穩(wěn)定，因此，教師給學(xué)生展示時(shí)存在不便。2003年10月和12月，我曾就這一課題分別在多個(gè)縣鄉(xiāng)送教下鄉(xiāng)，不少專家、同行給我提出了許多有益的建議。如用沙代水、或制成正方體鐵絲框架座等等，這些方法都是可行的，在此表示感謝。但是否有更好的處理方法呢？還望能得到專家、同行們的指教。另外，值得一提的是，正方體玻璃瓶需到玻璃店特制，在設(shè)計(jì)時(shí)需在其中一面留一小孔，以便于控制水的多少；有關(guān)部門若能聯(lián)系廠家，統(tǒng)一制成塑料模具，將使教育一線教師減輕許多不必要的工作負(fù)擔(dān)；裝水時(shí)，為便于觀察，宜將水染色。有關(guān)正方體的截面問題，還可進(jìn)一步拓展課程資源，如：1、用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，截下的兩個(gè)立體圖形各有幾個(gè)面？2、用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，要使所截得的面為長方形，那么被截下的兩個(gè)立體圖形各有幾個(gè)面？一共有幾種情形？你能全部列舉出來嗎？3、用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐、圓柱等其它甚至一般的幾何體，所得的截面是怎樣的？（也可以用“水面”代替“截面”）“用教材”而不是“教教材”，教材是我國學(xué)校教育的主