微3試題解答07

1、清華大學(xué)本科生考試試題專用紙 微積分期終考試 A卷 2006年 1 月8 日 姓名 學(xué)號 班級 一、填空題（每空題3分，共39分）1曲面在點(diǎn)的切平面方程是.2設(shè)為連續(xù)可微函數(shù)，.令，則 (4,2,2) 。解：，.3設(shè)為球面上的不與坐標(biāo)軸相交的一片，則上的點(diǎn)的外側(cè)單位法向量是；如果的面積等于，則.解：,.原積分.4常微分方程的通解為。5設(shè)常微分方程有三個(gè)線性無關(guān)解，和則微分方程的通解是.6假設(shè)函數(shù)滿足方程則0。7設(shè)空間光滑曲面的方程為，上側(cè)為正其中函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)則。解：.8設(shè)，則三重積分可以化成球坐標(biāo)系下的累次積分.9是由曲線、直線，以及軸圍成的平面區(qū)域，則解：10錐面含在柱面內(nèi)部的面積等于

2、。11設(shè)為曲線，則。解：二、解答題12(分)是錐面與平面圍成的空間區(qū)域計(jì)算 解. 解法：先一后二：由對稱性有分 分. 分解法：先二后一：分 其中是區(qū)域， 分分13（分）設(shè)是拋物在任意點(diǎn)一點(diǎn)的質(zhì)量密度為求的質(zhì)心 解.求質(zhì)量：分 分分靜力矩有對稱性知道分分分分質(zhì)心的坐標(biāo)分有同學(xué)理解成三重積分。如果質(zhì)量和靜力矩寫到下面的結(jié)果：.，則可以得8分。其后視具體情形而定.1(10分)如圖，是有向光滑曲線，起點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)為已知與線段圍成的區(qū)域的面積等于有連續(xù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算曲線積分 解：根據(jù)格林公式得到于是對于后一個(gè)積分，取為參數(shù)，.10分15 (8分)設(shè)為平面在第一卦限中的部分的邊界，方向是空間有一個(gè)力場求單位質(zhì)

3、點(diǎn)在上某點(diǎn)出發(fā)，繞運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，對于質(zhì)點(diǎn)所做的功解：設(shè)上側(cè)為正由斯托克斯公式, 單位質(zhì)點(diǎn)在上某點(diǎn)出發(fā)，繞運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，對于質(zhì)點(diǎn)所做的功等于 .3分16(10分)設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且 又設(shè)對于空間中的任意一張光滑的閉合曲面，都有，求解：由題意，在任意一個(gè)由光滑簡單封閉曲面圍成的區(qū)域上，由高斯公式有分所以由的任意性有分即滿足常微分方程 齊次方程通解：，非齊次方程特解一般表達(dá)式分17 (12分) 設(shè)是任意一個(gè)正數(shù)，是圓周 (逆時(shí)針方向).計(jì)算積分 如果將換成不經(jīng)過原點(diǎn)但環(huán)繞原點(diǎn)的光滑、簡單的閉合曲線(逆時(shí)針方向)計(jì)算上述積分.向量場在右半平面有沒有勢函數(shù)？簡述理由.設(shè)為從到的有向線段，計(jì)算 解：圓周參數(shù)方程：分在內(nèi)部做圓周(逆時(shí)針方向)設(shè)為和包圍的區(qū)域由格林公式得到所以分右半平面是單連通區(qū)域，并且所以在右半平面有勢函數(shù)分求得向量場的勢函數(shù)為于是分18(分) 設(shè)是圓域: .在上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且處處滿足方程 求證在恒等于常數(shù)如果是不包含原點(diǎn)的圓域，舉例說明上述結(jié)論未必正確.解：按照下列三個(gè)要點(diǎn)給分要點(diǎn) 1: 由條件推出沿徑向的方向?qū)?shù)恒等于零。要