江蘇省懷仁中學(xué)高中數(shù)學(xué)橢圓的標準方程教案 新人教A版選修21

1、江蘇省懷仁中學(xué)高中數(shù)學(xué)橢圓的標準方程教案 新人教A版選修2-1教材分析：橢圓的標準方程選自普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)（蘇教版必修1-1）。這部分內(nèi)容與人教版教材相比減少了橢圓定義的教學(xué)（前一節(jié)教學(xué)內(nèi)容），重點是橢圓標準方程的教學(xué)，其推導(dǎo)過程占有重要地位。采用動手操作與直觀感知的方法探索橢圓的標準方程。它是繼直線與圓及圓錐曲線定義了解后的內(nèi)容，通過類比符合學(xué)生的認知規(guī)律，起到承上啟下作用，為今后學(xué)習(xí)雙曲線，拋物線打下堅實基礎(chǔ)。學(xué)生分析：所教對象是高二的學(xué)生，這一階段的學(xué)生的形象思維，邏輯思維有了一定的基礎(chǔ)。在教學(xué)中可以讓學(xué)生通過類比，總結(jié)，親自動手嘗試推導(dǎo)來的橢圓的標準方程，把感性認識上升到

2、理性認識。在教學(xué)時要在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和認知規(guī)律上采用合情合理的辦法引導(dǎo)學(xué)生認識橢圓的標準方程。設(shè)計理念：通過實際生活中應(yīng)用橢圓的圖形展示（多媒體），引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓的興趣；通過問題情境，激發(fā)學(xué)生研究橢圓的標準方程的熱情，同時在人知的基礎(chǔ)上，通過與求圓的標準方程相類比，推導(dǎo)橢圓的標準方程；通過熱身小練習(xí)和例題，加深對橢圓的標準方程的理解與應(yīng)用；通過開放性的小結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納思維，發(fā)散思維和想象思維。教學(xué)目標：1知識與技能:(1)通過建立直角坐標系，根據(jù)橢圓的定義建立橢圓的標準方程，能根據(jù)已知條件求橢圓標準方程。(2)能用標準方程判定曲線是否是橢圓。(3)在已有經(jīng)驗（直線，圓方程及求法）的基

3、礎(chǔ)上，進一步感受曲線方程的概念，了解建立曲線方程的基本方法，滲透數(shù)行結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。2過程與方程: 通過實際背景感受橢圓應(yīng)用，提出研究課題“橢圓的標準方程”。類比求圓的標準方程，通過學(xué)生自主探究，使學(xué)生經(jīng)歷橢圓標準方程的產(chǎn)生和形成過程。同時滲透數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力。3情感、態(tài)度與價值觀： 通過自主探究、討論合作使學(xué)生親身體驗知識研究形成的過程，從中體味快樂，由此激發(fā)學(xué)生積極主動的學(xué)習(xí)精神。通過多媒體展示，使學(xué)生體會橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美、簡潔美，培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣和良好的思維品質(zhì)。教學(xué)重點：1 感受建立曲線方程的基本過程。2 掌握橢圓的標準方程形式和求法。教學(xué)難點：橢圓的標準方

4、程的推導(dǎo)及應(yīng)用課前準備：多媒體，實物投影儀，三角尺教學(xué)過程：一：問題情境情景1：體育場的外形（陽光照射下的影子）。情景2：汽車貯油罐的橫截面的外輪廓線形狀情景3：我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道情景4：動畫演示經(jīng)過均勻壓縮將圓變形為橢圓的過程。問題一：上述圖形像橢圓，那么是不是數(shù)學(xué)概念上的橢圓曲線呢？問題二：怎樣來驗證上述曲線是橢圓？引出課題：橢圓的標準方程二：學(xué)生活動聯(lián)想曾經(jīng)學(xué)習(xí)的圓的標準方程，通過什么方法來推導(dǎo)的？回顧求曲線方程（坐標法）的一般步驟：（1）建系（2）設(shè)點（3）列等量關(guān)系（4）坐標化（5）化簡，檢驗問題三：如何建立橢圓的標準方程？（通過類似求圓的標準方程的坐標法）三：建

5、構(gòu)數(shù)學(xué)（由學(xué)生參與整個推導(dǎo)過程）回顧橢圓定義:設(shè)橢圓的兩個焦點，它們之間的距離為2c,橢圓上任意一點到的距離和為解:以所在直線為x軸, 以它的中垂線為y軸,建立直角坐標系,則設(shè)為橢圓上任意一點坐標,根據(jù)橢圓的定義知: (如圖)即移項,兩邊平方,得即兩邊在平方,得整理得: 令xOyF1F2P于是得: 整理得: 注意:(1)含根式的方程的化簡技巧 (2)橢圓方程形式的和諧,對稱,簡潔美（注意對標準方程形式的美加以強化，讓學(xué)生親自體會到數(shù)學(xué)中的美無處不在，無處不有）若橢圓如圖所示在直角坐標系中,則橢圓的標準方程為)(可以從結(jié)構(gòu)上的變化猜想出結(jié)論)xOyF1F2P結(jié)論:橢圓的標準方程為:當焦點在x 軸

6、上時, 當焦點在軸上時, 問題三:如何根據(jù)方程的形式判斷橢圓的焦點位置?四:數(shù)學(xué)應(yīng)用(一) 熱身練習(xí):1、填空：(1)已知橢圓的方程為 ，則a=_， b=_，c=_，焦點坐標為_(2)已知橢圓的方程為 ,則a=_， b=_，c=_，焦點坐標為_2 、求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)a=4,c=1，焦點在y軸上； (2)b=1,c= ，焦點在坐標軸上(二)例題講解例1:已知一個運油罐橫截面的外輪廓線是一個橢圓.它的焦距為2.4米,外輪廓線上的點到兩個焦點的距離的和為3米,求這個橢圓的標準方程.xOyF1F2P解:以所在直線為x軸, 以它的中垂線為y軸,建立直角坐標系,則這個橢圓的標準方程可

7、設(shè)為: 由題意所以這個橢圓的標準方程為: （由學(xué)生加以反思）評注(1)幫助記憶,鞏固橢圓的標準方程(2)說明橢圓(圓錐曲線)在實際生活中應(yīng)用的廣泛性 (3)待定系數(shù)法求曲線方程(數(shù)學(xué)來源于生活,又服務(wù)于生活)xo例2.將圓的點的橫坐標保持不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?求所得曲線的方程,并說明它是什么曲線?解:設(shè)所得的曲線上任意一點坐標為p(x,y)圓上對應(yīng)的點的坐標為由題意得: 因為即,這就是變換后所得曲線的方程.它表示一個橢圓.（由學(xué)生加以反思）評注(1)運用方程證實猜想:橢圓可以永遠壓縮變換得到.(2)揭示了橢圓與圓的內(nèi)在聯(lián)系,為將來運用這種內(nèi)在聯(lián)系進行類比探索,從圓的有關(guān)性質(zhì)發(fā)現(xiàn)橢圓的相關(guān)

8、性質(zhì)作準備.(3)介紹一種證明曲線類型的方法:根據(jù)方程形式進行判定. （4）中間變量法求橢圓的標準方程。五:回顧與總結(jié)（先由學(xué)生自己總結(jié)所學(xué)到的有關(guān)橢圓的知識及其中的數(shù)學(xué)思想方法）1 橢圓的概念橢圓的定義圖形xOyF1F2PxOyF1F2P標準方程焦點坐標a,b,c的大小關(guān)系焦點位置的判斷分母哪一個大，分母所對的軸就是焦點所在的位置2 求橢圓的標準方程的方法：待定系數(shù)法，中間變量法3 數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合，分類討論六：作業(yè) 30頁習(xí)題1，2七：教學(xué)后記本節(jié)課是在經(jīng)歷圓錐曲線形成的過程（用平面對圓錐面的不同截法）之后，具體地對“橢圓”這一重要的圓錐曲線展開深入學(xué)習(xí)。通過實際背景，感受橢圓的廣泛應(yīng)用，進而由“是不是橢圓及如何設(shè)計橢圓”提出研究課題：怎樣建立橢圓的方程？以激發(fā)學(xué)生的積極性。同時也為如何根據(jù)方程研究橢圓的性質(zhì)埋下伏筆。本節(jié)課堅持“自主學(xué)習(xí)，主