復變函數(shù)目標檢測練習冊-2010

1、練習一 復數(shù)及其代數(shù)運算、復數(shù)的幾何表示一、 填空題14 2 Arg= arg 3.已知z=，則= argz= 4.將z=cos + isin表示成三角形式為 表示成指數(shù)形式為 Argz= argz= 5.i的三角表示形式為 ，指數(shù)表示形式為 二分別就0與-兩種情形將復數(shù)z=1 - cos + isin化成三角形式與指數(shù)形式，并求它的輻角主值。三利用復數(shù)表示圓的方程 a2+y2+ bx + cy + d = 0，其中a , b , c , d是實常數(shù)。四求下列方程所表示的曲線z + = 1zz = 4五證明若z1 + z2 + z3 = 0且1=2=3=1，則點z1 , z2 , z3為一內(nèi)接

2、單位圓的等邊三角形的頂點。若z1 + z2 + z3 + z4 = 0且1=2=3=4，則點z1 , z2 , z3 , z4或者為一矩形的頂點，或者兩兩重合。練習二 復數(shù)的乘冪與方根、區(qū)域一、 填空題1（1i）3（1i）3 2 3z1<<2的內(nèi)點是 外點是 邊界點是 40<Re(z)<1所確定的是 （區(qū)域、閉區(qū)域） 它是 （有界、無界）二、求下列復數(shù)的值（1） 10（2） 三、已知正方形的兩個相對頂點為z1(0，1)于z3(2，5)，求另外兩個頂點z2于z4的坐標。四、畫出1所表示的圖形，并指出所表示的圖形是否是區(qū)域，是否有界？五、已知x2+x+1=0，求x11+x7

3、+x3的值。六、求證：（1+cos+isin）n=2ncosn(cos+isin)練習三 復變函數(shù)、復變函數(shù)的極限和連續(xù)性一、 選擇題1下列函數(shù)極限存在的是（ ）A B. C. D. ()2將Z平面上的曲線x2+y2=4映射成W平面上的曲線u2+v2=的映射函數(shù)f(z)為（ ）AW= B.W=Z2 C.W= D.W=3復變函數(shù)W=Z2確定的兩個實元函數(shù)為（ ）A.u=x2+y2 v=2xy B.u=2xy v=x2-y2 C.u=x2 v=2xy D.u=x2+y2 v=2xy4兩個實二元函數(shù)u=5在映射W=Z2之下，Z平面的雙曲線x2y2=4映射成W平面上的圖形為（ ）A直線u=4 B.圓u

4、2+v2=4 C.直線v=4 D.雙曲線uv=4二、考慮f(z)=+在z=0的極限三、函數(shù)W=把下列z平面上的 曲線映射成W平面上怎樣的曲線？（1）y=x (2) x=1 (3) (x1)2+y2=1四、試討論函數(shù)f(z)= 練習四 解析函數(shù)的概念 函數(shù)解析的充要條件一、 選擇題1下列命題正確的是（ ）A如果在z0連續(xù)，那么存在B如果存在，那么在z0解析C如果在z0解析，那么存在D如果z0是的奇點，那么在z0不可導2下列函數(shù)僅在z=0處可導的是（ ）A. 2 B. =x+2yi C. =z2 D. =3下列函數(shù)在復平面內(nèi)處處解析的是（ ）Af(z)= B.f(z)=ex(cosy+isiny)

5、 C.f(z)= D.f(z)=4.下面各式是柯西黎曼方程的極坐標形式的是（ ）A= =-B. = =-C. = =-D. =r =-r5下列說法正確的是（ ）A如果z0是f(z)和g(z)的一個奇點，那么z0也是f(z)g(z)的一個奇點B如果z0是f(z)和g(z)的一個奇點，那么z0也是f(z)g(z)的一個奇點C如果z0是f(z)和g(z)的一個奇點，那么z0也是f(z)g(z)的一個奇點D如果z0是f(z)和g(z)的一個奇點，那么z0也是f(z)/g(z)的一個奇點二設ay3+bx2y+i(x3+pxy2)為解析函數(shù)，試求a,b,p之值。三下列函數(shù)在何處可導，何處解析，并求可導處的

6、導數(shù)1f(z)= 2.f(z)=zIm(z) 3.f(z)=(y3-3x2y)+i(x3-3xy2+1)四設f(z)=u+iv=為解析函數(shù)，證明：若函數(shù)u,v,之一恒等于常數(shù)，則函數(shù)f(z)亦為常數(shù)。練習五 初等函數(shù)一 填空題1i2-i= (-1) = 1i= 2.e= eln(1-i)= 3.lni= Lni= 4.sin(i+2i)= 二解方程1sinz+1=0 z為復數(shù)2e z=-1 z為復數(shù)三求22i的主值及主值的輻角主值四當z=x+iy時，試證下列不等式（1） (2)練習六 復變函數(shù)積分的概念 柯西古薩基本定理 復合閉路定理一 填空題1 設C為正向圓周：=3 則= = = (n為大于

7、1的正整數(shù))2= 其中C為正向圓周：23 其中C為正向圓周：44 其中C為正向圓周：15 其中C為正向圓周：二求和，其中和的起點和終點相同，都是0和1i，但路徑不同，是連接這兩點的直線段，是經(jīng)過z=1的折線段。三試求下列積分的值（1）c= (2)c= (3)c= (4)c= 四設0<r<R,求函數(shù)沿圓周（正向）的積分，并由此推證 練習七 原函數(shù)與不定積分 柯西積分公式一 填空題1dz 其中C為正向圓周：2 3若f(z)=(z-z)(z-z2)(z-z)(zz;ij,i,j=1,n,n>1),又若封閉曲線C不通過每一點z,則積分能取 個不同的值。4dz 5 dz 二求積分dz其

8、中C為正向圓周：三求函數(shù)沿正向圓周C：的積分值，設圓周C的圓心分別在：（1）z=1; (2) z=; (3) z=-1; (4) z=-i四設f(z)=(1)試證f(1)=4i(2)當時，試求f(z)之值練習八 解析函數(shù)的高階導數(shù) 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系一 填空題1 2 3如果二元實變函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，并且滿足 ，那么稱f(x,y)為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。4區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部 （是，不是）實部的共軛調(diào)和函數(shù)，實部 （是，不是）虛部的共軛調(diào)和函數(shù)。二設C是不通過z的簡單閉曲線，試求g(z)=的值。三求積分的值，若C為正向圓周：（1） （2） （3）四已知為調(diào)和函

9、數(shù)，求滿足f(2)=-i的解析函數(shù)f(z)=u+iv練習九 復數(shù)項級數(shù) 冪級數(shù)一 選擇題1下列數(shù)列極限不存在的是（ ）A B. C. D.2下列結論正確的是（ ）A每一個冪級數(shù)在它的收斂圓內(nèi)與收斂圓上收斂B每一個冪級數(shù)收斂于一個解析函數(shù)C每一個在z連續(xù)的函數(shù)一定可以在z的領域內(nèi)展開成冪級數(shù)D在收斂圓內(nèi)，冪級數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù)3下列級數(shù)絕對收斂的是（ ）A B. C. D.4.下列級數(shù)收斂半徑為的是（ ）A B. C. D.5=（ ）A0 B. C.1 D.為0 為 為1 時不存在二下列級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂？（1） （2） （3） （4）三設級數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為1練習十 泰

10、勒級數(shù) 洛朗級數(shù)一 將函數(shù)f(z)=展開成z的冪級數(shù)，寫出它的收斂圓周。二求函數(shù)在點z-1處的泰勒展開式，并指出它的收斂半徑。三（1）求函數(shù)f(z)=在以z0為中心，由它的奇點互相隔開的各個不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式。（2）求函數(shù)f(z)=在以z1為中心的圓環(huán)域： 內(nèi)的洛朗展開式。練習十一 孤立奇點一 選擇題1Z0是函數(shù)的（ ）A可去奇點 B.一級極點 C.本性奇點 D.解析點2z1是f(z)=的（ ）A可去奇點 B.三級極點 C.本性奇點 D.二級極點3z1是f(z)的（ ）A一級零點 B.三級零點 C.一級極點 D.三級極點4z0是函數(shù)f(z)=的 級極點A一級 B.二級 C.三級 D.四級

11、5是f(z)=的（ ）A可去奇點 B.一級極點 C.本性奇點 D.二級極點二求出函數(shù)f(z)= 的奇點，如果是極點，指出它的級。三函數(shù)f(z)=在擴充復平面內(nèi)有些什么類型的奇點？如果是極點，指出它的級。練習十二 留數(shù) 留數(shù)在定積分計算上的應用一 填空題1 設f(z)=，則Res= 2 Res= 3 Res= 4 Res= 5 Res= 二求函數(shù)f(z)=在各有限孤立奇點處的留數(shù)。三利用留數(shù)計算，其中C為一正向圓周（1）C的中心在0點，半徑為（2）C的中心在0點，半徑為2四計算積分dz，C為正向圓周：5五計算下列積分（1） （2） （3）六如果f(z)在解析，證明在時等式成立。練習十三 共形映射

12、的概念 分式線性映射一 填空題1設函數(shù)在z的領域內(nèi)有定義，且在z具有 ，那么稱映射在z是共形的，或稱在z是共形映射。2在z=i處伸縮率為 ，旋轉(zhuǎn)角為 。3一個解析函數(shù)所構成的映射在 條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)角的不變性。4映射是第 類共形映射。5映射把上半個圓域：，Im(z)0映射成 二證明：映射 把圓周映射成橢圓： 三如果函數(shù)將z平面上的單位圓映射成平面上的直線，試求a,b,c,d應滿足的條件。四區(qū)域在映射下映射成什么？練習十四 唯一決定分式線性映射的條件 幾個初等函數(shù)所構成的映射一 選擇題1下面幾個映射中，能將上半平面映射成上半平面的映射為（ ）A ,a,b,c,d為實常數(shù)B ,a,b,c,d

13、為實常數(shù)C， 為實數(shù)D2指數(shù)函數(shù)將水平的帶形域映射成（ ）A角形域 B.角形域C角形域 D.圓域3能將點z1,i,-i分別映射成點w1,0,-1的分式線性映射為（ ）A B.C. D. 4.下面幾個映射中，能將右半平面映射成單位圓的映射為（ ）A B. 其中為任意實數(shù)C D. 其中為任意實數(shù)二已知分式線性變換將上半平面變到上半平面，且滿足f(0)=0,f(i)=1+i，求f(z)三求把區(qū)域變到上半平面的一個映射。復變函數(shù)單元練習（一）一、 判斷題（正確打，錯誤打）1.復數(shù). ( )2.若為純虛數(shù)，則. ( )3.。 （ ）4.在點連續(xù)的充分必要條件是在點連續(xù)。 （ ）5.參數(shù)方程 （為實參數(shù)）

14、所表示的曲線是拋物線. ( ) 二、填空題1.若等式成立，則_, _.2.方程表示的曲線是_.3.方程的根為_.4.復變函數(shù)的實部_,虛部_.5.設,，則= _ _.6.復數(shù)的三角表示式為 _，指數(shù)表示式為_.三、計算、證明題 1求出復數(shù)的模和輻角。2設滿足求與的關系式。3求 =將平面上的直線所映射成平面上的曲線方程。 4求角形域在映射下的象。 5將直線方程化為復數(shù)形式。復變函數(shù)單元練習（二）一、 判斷題（正確打，錯誤打）1.若在區(qū)域D內(nèi)處處為零，則在D內(nèi)必恒為常數(shù)。 （ ） 2.若可導，則也可導。 （ ）3.若在點不解析，則在點必不可導。 （ ）4. . （ ）5.函數(shù)在點可微等價于在點可微

15、。 （ ）6.函數(shù)是周期函數(shù)。 （ ）二、填空題1.設 , 則_2. _.3. _.4. _.5.方程的解為_.6.設, 則的模為_.7.函數(shù)在點連續(xù)是在該點解析的_條件。三、計算、證明題1問取何值時, 在域內(nèi)是解析函數(shù)。 2討論函數(shù)在何處可導，何處解析，并求其可導點處的導數(shù)。3若函數(shù)解析,且,求證為一個常數(shù)。 4若函數(shù)解析,且，試求. 5求方程的全部解。復變函數(shù)單元練習（三）一、 判斷題（正確打，錯誤打）1.設C為的解析域D內(nèi)的一條簡單正向閉曲線,則 . （ ）2.若都是調(diào)和函數(shù)，則是解析函數(shù)。 （ ）3.設在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，是的一個原函數(shù)，C為D內(nèi)的一條正向閉曲線，則. ( )4.設是

16、區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，則函數(shù)在D內(nèi)解析。 ( )5.若函數(shù)在D內(nèi)解析，則函數(shù). ( )二、填空題1.設C為從點到點的直線段，則_.2.若C為正向圓周，則_.3.若C為正向圓周，則_.4.若函數(shù)為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，則_.5.若，則_,.三、計算、證明題1設點A，B分別為和，試計算的值，其中C為（1） 點到點的直線段；（2）由點沿直線到再到的折線段.2設C為從-2到2的上半圓周，計算積分的值。3計算4計算，其中C為正向圓周.5計算積分，(1)當點0在C內(nèi)，點1在C外；(2)當點1在C內(nèi)，點0在C外；(3)當點0，1均在C內(nèi)；(4)當點0，1均在C外。6證明為調(diào)和函數(shù)，再求其共軛函數(shù)，并寫出 關于z

17、的表示式。復變函數(shù)單元練習（四）一、判斷題（正確打，錯誤打）1.數(shù)列必收斂。 （ ）2.設，則級數(shù)收斂的充要條件是級數(shù)與都收斂。（ ）3.每個冪級數(shù)必在其收斂圓上收斂。 （ ）4.若冪級數(shù)在點收斂則它必在點收斂。（ ）5.若冪級數(shù)在處收斂，則它必在處收斂。 （ ）二、填空題1. 設的收斂域為，則冪級數(shù)的收斂域為_.2.冪級數(shù)的收斂圓的中心為_,收斂半徑為_.3.函數(shù)在處所展泰勒級數(shù)的收斂半徑為_.4.設的羅朗級數(shù)展開式為，則其收斂圓環(huán)域為(A) ； (B) 或；(C) 或； (D) .三、計算、證明題1將函數(shù)在處展開成泰勒級數(shù)，并指出其收斂半徑。2將分別在下列圓環(huán)域內(nèi)展成羅朗級數(shù)(1) (2)

18、 . 3將在圓環(huán)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù)。復變函數(shù)單元練習（五）一、判斷題（正確打，錯誤打）1. 必為的可去奇點。 ( )2.若，且在點解析，則必是的m極零點。( )3.若是的m級(m>1)極點，則必為的m+1級極點。 ( )4. =0是的可去奇點。 （ ）5.已知在內(nèi)成立，由式中知，. （ ）二、選擇、填空題1. 為函數(shù)的_.(A) 二級零點； （B） 一級極點； (C) 可去奇點； (D) 本性奇點。2. 是的_. (A) 非孤立奇點；（B）一級極點； (C) 可去奇點； (D)本性奇點。3. =0為函數(shù)的_級極點。4. _.5.三、計算、證明題1判別下列函數(shù)的孤立奇點的類型，對其極點，指出其級數(shù)：（1） （2）2求下列函數(shù)在有限孤立奇點處的留數(shù)：（1）（2）（3）（4）（5）復變試卷 一、判斷題（正確打，錯誤打.）1.復函數(shù)表示平面上的一條曲線。 （ ）2.函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處可導,是在D內(nèi)解析的充要條件。 （ ）3