第五章應(yīng)力狀態(tài)分析與強度理論

1、第五章 應(yīng)力狀態(tài)分析與強度理論一、 內(nèi)容提要1.應(yīng)力狀態(tài)的概念1.1一點的應(yīng)力狀態(tài)通過受力構(gòu)件的一點的各個截面上的應(yīng)力情況的集合，稱為該點的應(yīng)力狀態(tài)。1.2一點的應(yīng)力狀態(tài)的表示方法單元體研究受力構(gòu)件內(nèi)一點處的應(yīng)力狀態(tài)，可以圍繞該點取一個無限小的正六面體，即單元體。若單元體各個面上的應(yīng)力已知或已計算出，則通過該點的其他任意方位截面上的應(yīng)力就可用解析法或圖解法確定。1.3主平面、主應(yīng)力單元體上切應(yīng)力為零的平面稱為主平面，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。過受力構(gòu)件內(nèi)任一點總有三對相互垂直的主平面。相應(yīng)的主應(yīng)力用、來表示，它們按代數(shù)值的大小順序排列，即。是最大主應(yīng)力，是最小主應(yīng)力，它們分別是過一點的所有截

2、面上正應(yīng)力中的最大值和最小值。1.4應(yīng)力狀態(tài)的分類（1）單向應(yīng)力狀態(tài)，只有一個主應(yīng)力不為零，另兩個主應(yīng)力均為零；（2）二向或平面應(yīng)力狀態(tài)，兩個主應(yīng)力不為零，另一個為零；（3）三向或空間應(yīng)力狀態(tài)，三個主應(yīng)力都不為零。單向應(yīng)力狀態(tài)又稱簡單應(yīng)力狀態(tài)，二向、三向應(yīng)力狀態(tài)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。2.平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法在平面應(yīng)力狀態(tài)的單元體中，有一對平面上的應(yīng)力等于零，即為主平面，其上主應(yīng)力為零。可將單元體用平面圖形表示，如圖5-1所示。 2.1任意斜截面上的應(yīng)力當(dāng)已知、時，應(yīng)用截面法，可得 （5-1）式中，正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負；切應(yīng)力以對單元體內(nèi)任意點的矩為順時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負；為斜截面外

3、法線與x平面外法線即x軸間的夾角，角從x軸量起，反時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。2.2主應(yīng)力 （5-2） 式中，和分別表示單元體上垂直于零應(yīng)力面的所有截面上正應(yīng)力的最大值和最小值。它們是三個主應(yīng)力中的兩個，而另一個主應(yīng)力為零。三個主應(yīng)力、和0要按代數(shù)值大小排列，分別用、表示。2.3主平面的方位角主平面與x軸間的夾角可按下式計算 （5-3）由上式可確定兩個主平面的方位角和，其中當(dāng)時，主平面上的主應(yīng)力為，主平面上的主應(yīng)力為；當(dāng)時，主平面上的主應(yīng)力為，主平面上的主應(yīng)力為。3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法3.1應(yīng)力圓方程 圓心坐標 半徑3.2畫法當(dāng)已知、時，選取坐標系統(tǒng)，選取適當(dāng)?shù)谋壤撸_定和兩點，連接兩點，交

4、軸于C點，以C為圓心，以和為半徑，畫出對應(yīng)于此應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓，如圖5-2所示。3.3單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系（1） 對于某一平面應(yīng)力狀態(tài)而言，單元體的應(yīng)力狀態(tài)一定和一個應(yīng)力圓相對應(yīng)。（2） 單元體中的一個面一定和應(yīng)力圓上的一個點相對應(yīng)。（3） 單元體中一個面上的應(yīng)力對應(yīng)于應(yīng)力圓上一個點的坐標。（4） 應(yīng)力圓上兩點沿圓弧所對應(yīng)的圓心角是單元體上與這兩點對應(yīng)的兩個平面間夾角的兩倍，且轉(zhuǎn)向相同。4.三向應(yīng)力狀態(tài)如已知三向應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力單元體及主應(yīng)力、和，則有（1） 一點處的最大正應(yīng)力。（2） 一點處的最大切應(yīng)力，其作用面與平行且與、所在主平面夾角各成。（3） 根據(jù)、和作出三個應(yīng)力圓，則該點任意斜

5、截面上的應(yīng)力對應(yīng)于三個應(yīng)力圓所圍的陰影區(qū)內(nèi)的一點的坐標值，如圖5-3所示。5.廣義胡克定律5.1一般形式對于各向同性材料，在小變形情況下，線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，切應(yīng)變只與切應(yīng)力有關(guān) (5-5)5.2主應(yīng)力與主應(yīng)變間的關(guān)系 （5-6）5.3平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 （5-7a）或 （5-7b）6.體積應(yīng)變和變形應(yīng)變已知三個主應(yīng)力、和，及材料的彈性常數(shù)E和，則6.1體積應(yīng)變 （5-8）6.2體積改變能密度 （5-9）6.3畸變能密度 （5-10）64應(yīng)變能密度 （5-11）7.強度理論7.1材料失效破壞現(xiàn)象的兩種類型（1）屈服失效 材料出現(xiàn)不可恢復(fù)的塑性變形而導(dǎo)致材料的失效。塑性材料的失效就屬

6、于屈服失效。（2）斷裂失效 材料無明顯的變形而突然斷裂。脆性材料的失效就屬于斷裂失效。7.2強度理論的概念 強度理論是關(guān)于材料失效現(xiàn)象主要原因的假設(shè)。即認為不論是簡單應(yīng)力狀態(tài)還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，材料某一類型的破壞是由于某一種因素引起的。據(jù)此，可以利用簡單應(yīng)力狀態(tài)的實驗結(jié)果，來建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強度條件。7.3幾種常用的強度理論（1） 有關(guān)脆性斷裂的強度理論最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）基本假設(shè) 最大拉應(yīng)力是引起材料斷裂的主要因素。斷裂準則 強度條件 （5-12）最大伸長線應(yīng)變理論（第二強度理論）基本假設(shè) 最大伸長線應(yīng)變是引起材料斷裂的主要因素。斷裂準則 強度條件 （5-13）對兩種強度理論的分析

7、最大拉應(yīng)力理論比較符合鑄鐵、大理石、混凝土等脆性材料的脆性斷裂規(guī)律，應(yīng)用較廣。但沒有考慮到和對破壞的影響，對沒有拉應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)則無法應(yīng)用此理論檢驗其強度。最大伸長線應(yīng)變理論，在形式上除了考慮第一主應(yīng)力外，還考慮了第二、第三主應(yīng)力的影響。但實踐表明，它只與少數(shù)脆性材料的實驗結(jié)果相符合，如鑄鐵在拉壓二向應(yīng)力、且壓應(yīng)力較大的情況吻合。故現(xiàn)今工程中甚少應(yīng)用這一理論。（2）有關(guān)塑性屈服的強度理論 最大切應(yīng)力理論（第三強度理論）基本假設(shè) 最大切應(yīng)力是引起材料塑性流動的主要因素。斷裂準則 強度條件 （5-14） 畸變能密度理論（第四強度理論）基本假設(shè) 畸變能密度是引起材料塑性屈服的主要因素。斷裂準則 強度

8、條件 （5-15） 對兩種強度理論的分析最大切應(yīng)力理論與畸變能理論均能適合于塑性材料的屈服失效。按第三強度理論計算出的構(gòu)件尺寸往往偏于安全，按第四強度理論計算的結(jié)果與實驗接近。7.4上述四種強度理論可寫成統(tǒng)一形式 （5-16） 其中稱為計算應(yīng)力，從第一到第四強度理論的次序分別為 （5-17）7.5莫爾強度理論基本假設(shè) 以實驗資料為基礎(chǔ)，考慮了材料拉、壓強度的不同，承認最大切應(yīng)力是引起屈服剪斷的主要原因并考慮了剪切面上正應(yīng)力的影響。強度條件 （5-18）分析 莫爾強度理論考慮了材料抗拉和抗壓能力不等的情況，這符合脆性材料（如巖石混凝土等）的破壞特點。但未考慮中間主應(yīng)力的影響是其不足之處。對于和相

9、同的材料，式（5-18）可演化成式（5-14）7.6強度理論的選用一般情況下，脆性材料選用關(guān)于脆斷的強度理論與莫爾強度理論，塑性材料選用關(guān)于屈服的強度理論。但材料的失效形式還與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。例如，無論是塑性或脆性材料，在三向拉應(yīng)力情況下將以斷裂形式失效，宜采用最大拉應(yīng)力理論。在三向壓應(yīng)力情況下都引起塑性變形，宜采用第三或第四強度理論二、基本要求1.理解應(yīng)力狀態(tài)的概念。2.熟練掌握平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法和圖解法。3.了解三向應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力。4.理解廣義胡克定律并熟練應(yīng)用。5.了解復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)變能密度的概念及計算。6.理解強度理論的概念及常用的四種強度理論。三、典型例題分析例5.1已知圖（

10、a）所示單元體的， 。試求（1）斜截面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力、主平面和主應(yīng)力單元體；（3）最大切應(yīng)力。解：1斜截面上的應(yīng)力2主應(yīng)力、主平面和主應(yīng)力單元體由此得到：，主方向可由下式求得解得，或，由于，可知主平面的主應(yīng)力為，主平面的主應(yīng)力為?？傻弥鲬?yīng)力單元體如圖（b）所示。3最大切應(yīng)力其所在平面與、所在主平面各成。例5.2用圖解法求解例5.1解：1作應(yīng)力圓 在直角坐標系中，按選定的比例尺，確定點D1（60，-30）和點D2（-40，30），連接兩點與軸交于C點，以C點為圓心，為半徑作出應(yīng)力圓。2由，使半徑瞬時針轉(zhuǎn)過到，量得E點的坐標（9，-58），可得斜截面上的應(yīng)力為，。3量得A1，A2點的橫坐標

11、，則主應(yīng)力為，。量得圓心角，得，且知該主平面上的主應(yīng)力為。由此畫出主單元體。4量得應(yīng)力圓上F的縱坐標，得。例5.3討論圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵構(gòu)件受扭轉(zhuǎn)時的破壞現(xiàn)象。解：1取單元體 圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫截面的邊緣處切應(yīng)力最大，其數(shù)值為。在圓軸的表面，按圖（a）所示方式取出單元體ABCD，單元體各面上的應(yīng)力如圖（b）所示，其中，這是純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2作應(yīng)力圓 在直角坐標系中，確定點D1（0，）和點D2（0，），連接兩點與軸交于O點，以O(shè)點為圓心，為半徑作出應(yīng)力圓。則主應(yīng)力為，。由D1到A1為順時針轉(zhuǎn)向，且。所以在單元體上以x軸順時針轉(zhuǎn)過，即可確定所在主平面的法線。（圖b）。3分析 純剪切應(yīng)力

12、狀態(tài)的兩個主應(yīng)力絕對值相等，但一個為拉應(yīng)力，另一個為壓應(yīng)力。圓截面鑄鐵構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時，表面各點所在的主平面連成傾角為的螺旋面。由于鑄鐵抗拉強度較低，構(gòu)件將眼這一螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞，如圖（d）所示。例5.4單元體各面上的應(yīng)力如圖（a）所示。試求出單元體的主應(yīng)力及最大切應(yīng)力。解：該單元體有一個已知的主應(yīng)力，因此，與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力無關(guān)。于是，可x,y平面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓（圖（b），求出出另外兩個主應(yīng)力。從圓上量得兩個主應(yīng)力的值分別為，。將單元體的三個主應(yīng)力按代數(shù)值的大小排列為，根據(jù)上述三個主應(yīng)力值，可作出三個應(yīng)力圓（圖（b）。單元體的最大切應(yīng)力為最大應(yīng)力圓的半徑例55邊長

13、為0.1m的銅立方塊，無間隙地放入變形可略去不計的剛性凹槽中（圖（a）。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比=0.34。當(dāng)銅塊受到了F=300kN的均步壓力作用時，試求銅塊的三個主應(yīng)力的大小。解：1 銅塊橫截面上的壓應(yīng)力為2銅塊受到軸向壓縮將產(chǎn)生橫向變形，但由于剛性凹槽壁的約束，使得銅塊在x，z方向的應(yīng)變等于零。于是，在銅塊與凹槽壁接觸面將產(chǎn)生均勻的壓應(yīng)力，（圖（b）。按廣義胡克定律公式，可得聯(lián)解兩式，可得3按主應(yīng)力的代數(shù)值順序排列，的該銅塊的主應(yīng)力為 例56當(dāng)鍋爐或其他圓筒形容器的壁厚t遠小于它的內(nèi)直徑D時（譬如，），稱之為薄壁圓筒。圖（a）所示一薄壁容器承受內(nèi)壓力的壓強為p。圓筒部分的內(nèi)直徑為D，壁厚為t，且。試按第三、第四強度理論寫出圓筒壁的計算應(yīng)力表達式。解： 1圓筒部分橫截面上的正應(yīng)力 由圓筒及其受力的對稱性可知，作用在圓筒底上壓力的合力F的作用線與圓筒的軸線重合（圖（b）。因此圓筒部分的橫截面上各點處的正應(yīng)力可按軸向拉伸時的公式計算2圓筒部分縱截面上的正應(yīng)力 用相距為l的兩個橫截面和包含直徑的縱向平面，從圓筒中截取一部分（圖（c）。若在筒壁縱向截面上應(yīng)力為，則內(nèi)力為。在這一部分圓筒內(nèi)壁的微分面積上的壓力為。該部分內(nèi)壓力在y方向的投影的代數(shù)和為積分