粘性流場(chǎng)中圓柱殼結(jié)構(gòu)的頻散特性分析

1、粘性流場(chǎng)中圓柱殼結(jié)構(gòu)的頻散特性分析陳浩森，李天勻，朱 翔(華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北 武漢 430074）摘 要：以往的文獻(xiàn)在分析流場(chǎng)中圓柱殼的聲振特性時(shí)，往往將流場(chǎng)簡(jiǎn)化為理想狀態(tài)，忽略了粘性的影響。本文以浸沒在粘性流場(chǎng)中的無限長彈性薄圓柱殼為研究對(duì)象，研究了流體粘性對(duì)頻散特性的影響規(guī)律。首先，分別用Flgge薄殼理論和勢(shì)函數(shù)方法分析殼體結(jié)構(gòu)振動(dòng)和外部流體聲場(chǎng)。然后，通過殼壁外表面的運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)條件，建立此耦合系統(tǒng)的聲振耦合方程，進(jìn)而采用Winding-Number圍線積分法搜索求根，重點(diǎn)求取和分析了粘性流場(chǎng)中無限長彈性薄圓柱殼的頻散曲線，并與理想流體中的特性作了對(duì)比，得出了一些有價(jià)值的

2、結(jié)論，有助于理解粘性的影響及程度。關(guān)鍵詞：粘性流場(chǎng)-圓柱殼耦合系統(tǒng)；Flgge薄殼理論；波傳播法；勢(shì)函數(shù)方法；頻散特性；圍線積分法中圖分類號(hào)：TB 535；U661.44 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào): 收稿日期： ；修訂日期： 基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(40976058)，高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目(20100142110051)引言對(duì)于浸沒在流場(chǎng)中的無限長彈性薄圓柱殼，其頻散特性一直是研究的熱點(diǎn)，很多學(xué)者都已就此問題提出了自己的見解。Junger1,2最早對(duì)浸沒聲場(chǎng)中的圓柱殼進(jìn)行研究，得出了附連水的存在大大降低了殼體的固有頻率，并且主要影響低頻振動(dòng)的結(jié)論。Scott3對(duì)水下無

3、限長彈性圓柱殼自由波傳播的頻散特性方程作了深入研究。他基于Love殼體理論和能量原理建立了耦合系統(tǒng)的頻散方程，并用真空中相同的無限長圓柱殼的頻散方程的解在復(fù)平面上通過迭代求得了水下圓柱殼的頻散曲線，結(jié)束了前人用頻散方程實(shí)部的根代替頻散方程的根的歷史，具有很高的理論價(jià)值。Guo4推導(dǎo)出水下圓柱殼頻散方程的近似解，繪制了扭轉(zhuǎn)波、壓縮波以及彎曲波對(duì)應(yīng)的頻散曲線。左迎濤5等人求取和分析了水下無限長彈性薄圓柱殼的頻散特性曲線，并與真空和空氣中相同參數(shù)結(jié)構(gòu)的特性作了對(duì)比。劉志忠6在前人工作的基礎(chǔ)上，計(jì)入靜水壓力的影響，并研究了靜水壓力對(duì)耦合系統(tǒng)頻散特性的影響。在以往對(duì)流場(chǎng)-圓柱殼耦合系統(tǒng)的研究中，采用的流

4、場(chǎng)大多為理想流場(chǎng)，針對(duì)聲振問題建立的數(shù)學(xué)模型較簡(jiǎn)單。然而在實(shí)際情況中，流體必然存在粘性，僅在量級(jí)上不同。流體的粘性作用使流體中產(chǎn)生切向應(yīng)力，并影響結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性和動(dòng)力強(qiáng)度，進(jìn)而對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量流和聲輻射特性產(chǎn)生影響。相對(duì)于理想流場(chǎng)中只存在縱波，粘性流場(chǎng)中既有縱波又有橫波，加入粘性的影響勢(shì)必會(huì)使流場(chǎng)與殼體結(jié)構(gòu)的耦合變得更加復(fù)雜。忽略流體粘性固然可以使問題大大簡(jiǎn)化，但是考慮流體的粘性無疑會(huì)使建立的理論模型與實(shí)際情況更加接近，能更好地模擬真實(shí)情況。因此，研究中考慮流體粘性的影響是非常有價(jià)值的，為實(shí)際中的粘性流場(chǎng)-圓柱殼耦合系統(tǒng)的聲振特性的研究提供了更充分的理論依據(jù)。本文的工作旨在定量分析流體粘性對(duì)結(jié)

5、構(gòu)波和流體聲波的影響程度，這些目前尚無文獻(xiàn)報(bào)道?，F(xiàn)今針對(duì)粘性流場(chǎng)-圓柱殼耦合系統(tǒng)的特性研究的相關(guān)文獻(xiàn)較少。Yeh和Chen7分析研究了雙層同心圓柱殼-粘性流體耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。Vollmann等8采用Navier線彈性理論結(jié)合波傳播方法來描述耦合系統(tǒng)，導(dǎo)出了黏彈性介質(zhì)的充液雙層圓柱殼的頻率與軸對(duì)稱波型復(fù)波數(shù)之間的關(guān)系。Hasheminejad等9把Havriliak-Negami模型應(yīng)用于粘彈性材料動(dòng)態(tài)的描述，并與Donnell理論結(jié)合起來研究浸沒在粘性和充有粘性液體無限長圓柱殼的自由振動(dòng)和阻尼特性。Hasheminejad和Safari10對(duì)浸沒在粘性流體中有粘彈性覆蓋層球殼和圓柱殼的聲散

6、射進(jìn)行了研究。Sorokin11研究了加載了靜態(tài)粘性可壓縮流體的彈性板的自由波傳播和衰減，分析表明液體粘性對(duì)自由波存在不同程度的影響。Hu12對(duì)一個(gè)充滿粘性液體、徑向極化、浸沒在粘性液體中的壓電球殼進(jìn)行了軸對(duì)稱振動(dòng)的研究，說明了在球殼中的液體對(duì)于浸沒在液體中的球殼的振動(dòng)有主導(dǎo)作用。這些文獻(xiàn)的研究一方面表明流體粘性對(duì)聲振特性存在影響，另一方面其研究方法有較好的借鑒作用。但是，部分前期文獻(xiàn)更多是從流固耦合的角度分析粘性流場(chǎng)-圓柱殼耦合系統(tǒng)的振動(dòng)，將流場(chǎng)介質(zhì)認(rèn)為是不可壓縮的。當(dāng)從聲固耦合的角度分析耦合系統(tǒng)的聲振特性時(shí)，由于聲波的存在，流場(chǎng)中的介質(zhì)是可壓縮的，不可壓縮粘性流體理論不再適用，需要尋找新的

7、理論方法來描述聲固耦合問題。論文首次開展粘性流場(chǎng)中圓柱殼結(jié)構(gòu)的頻散特性研究，建立了圓柱殼-粘性聲場(chǎng)的聲振耦合模型。本文考慮薄圓柱殼殼體與由有粘、可壓縮流體組成的流場(chǎng)之間的相互作用，把線性化的連續(xù)性方程、線性處理后的Navier-Stokes方程和小振幅波動(dòng)下的狀態(tài)方程結(jié)合起來得到了粘性流場(chǎng)中的聲波波動(dòng)方程，運(yùn)用對(duì)矢量場(chǎng)的Helmholtz分解定理將波動(dòng)方程中粘性流體的速度場(chǎng)分解為標(biāo)量勢(shì)和矢量勢(shì)，根據(jù)波動(dòng)方程解的假設(shè)形式得到粘性流場(chǎng)在柱坐標(biāo)系下的速度和應(yīng)力的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)聲場(chǎng)與圓柱殼外表面的運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)條件，從理論上首次建立了粘性流場(chǎng)-圓柱殼耦合系統(tǒng)的聲振模型，提出了相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算方法，初步揭示了

8、流體粘性對(duì)結(jié)構(gòu)波和流體聲波的影響，為進(jìn)一步研究耦合系統(tǒng)振動(dòng)能量流、聲輻射特性以及水下精確NAH（近場(chǎng)聲全息）成像打下基礎(chǔ)。1. 理論模型考慮殼厚為h、中面半徑為R的無限長彈性薄圓柱殼浸沒于粘性流體聲介質(zhì)中，以x、和r分別表示殼體的軸向、周向和徑向，U、V和W表示殼體中面的軸向位移、周向位移和徑向位移，n為周向模態(tài)階數(shù)，如圖1所示。圖 1 圓柱殼坐標(biāo)系和周向模態(tài)Fig.1 Coordinate system and circumferential modes1.1. 殼體振動(dòng)方程假設(shè)圓柱殼為各向同性的彈性薄殼，其厚度h遠(yuǎn)小于其中面半徑R。圓柱殼動(dòng)力模型可用Flgge方程表達(dá)6,13：(1)其中，

9、s為殼體材料密度，為泊松比，E為彈性模量，Px、P和Pr分別為粘性流體對(duì)薄壁圓柱殼在x、和r方向施加的等效載荷，為無量綱頻率，為無量綱軸向波數(shù)。1.2. 粘性流場(chǎng)動(dòng)力方程假設(shè)流場(chǎng)是由有粘、無旋、可壓縮的正壓流體組成的均勻、靜止流場(chǎng)，其連續(xù)性方程、線性化Navier-Stokes運(yùn)動(dòng)方程和線性狀態(tài)方程分別為14：(2)(3)(4)其中，f為流體密度，uf為流場(chǎng)的速度分布，p表示聲壓，為剪切粘性系數(shù)，b為膨脹粘性系數(shù)，cf為聲傳播速度。根據(jù)Helmholtz定理，任何矢量場(chǎng)都能夠表示成無旋和有旋分量的和：(5)其中，為速度勢(shì)的無旋分量，為標(biāo)量，代表縱波（膨脹波）；為有旋分量，為矢量，代表橫波（剪切

10、波）。假設(shè)流體中的傳播波是簡(jiǎn)諧波，則方程的解具有以下形式10：(6)聯(lián)立方程（2）、（3）、（4）、（5）和（6），可以推導(dǎo)出標(biāo)量勢(shì)函數(shù)和矢量勢(shì)函數(shù)應(yīng)分別滿足以下方程：(7a)(7b)其中，為壓縮波數(shù)，為剪切波數(shù)。在柱坐標(biāo)下，方程（7）具有以下形式的解15,16：(8)其中，Hn(2)為柱坐標(biāo)下的第二類漢克爾（hankel）函數(shù)，Ans、Bns和Cns為待定系數(shù)，。根據(jù)柱坐標(biāo)下的基本場(chǎng)方程，可以得到用勢(shì)函數(shù)表達(dá)的流場(chǎng)三個(gè)方向速度的大小17：(9)同樣也可以得到流場(chǎng)三個(gè)方向應(yīng)力的大小17,18：(10)將式（8）分別代入上面兩式并略去簡(jiǎn)諧項(xiàng)，所得結(jié)果見附錄。1.3. 耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程通過波傳播

11、法推導(dǎo)所得的三向應(yīng)力大小即為殼體方程中的粘性流體對(duì)薄壁圓柱殼在x、和r方向施加的等效載荷：(11)這里要指出的是Px、P和Pr的量綱取面載荷的量綱，而不是力的量綱。根據(jù)殼壁外表面的運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)條件，流場(chǎng)與圓柱殼在結(jié)合面三個(gè)方向的速度是連續(xù)的，即：(12)聯(lián)立方程（1）、（11）和（12），即可得到耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：(13)其中，方程（13）有非零解的條件是系數(shù)矩陣的行列式為零，即為描述軸向波數(shù)kns與無量綱頻率關(guān)系的特征方程：(14)從上式可知，根據(jù)給定的頻率，可求得一系列的軸向波數(shù)，即可得到系統(tǒng)各支波的頻散特性。2. 數(shù)值計(jì)算耦合系統(tǒng)的特征方程是一個(gè)復(fù)平面上的高階超越方程，必須采用數(shù)值方法來求

12、解。本文采用的是Winding-Number圍線積分法來求解其復(fù)根19,20。這些方程的解可按的值分為三類3：當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，它表示沿圓柱殼軸向的傳播波；當(dāng)為純虛數(shù)時(shí)，它表示近場(chǎng)衰減波；當(dāng)為復(fù)數(shù)時(shí)，有兩種情形：一種為Re()Im()的形式，表示隨傳播距離呈指數(shù)衰減的耗散波；另一種為Re()+Im()的形式，它必須成對(duì)出現(xiàn)，表示一對(duì)沿相反方向傳播，而沿其中一個(gè)方向衰減的共扼衰減駐波。取計(jì)算參數(shù)與文獻(xiàn)6相同：殼體參數(shù)材料為鋼，彈性模量E=2.11011N/m2，泊松比=0.3，密度s=7850kg/m3，厚徑比為h/R=0.02。流體自由波傳播速度cf=1500m/s，流體密度f=1000kg/m3。

13、給定不同的無量綱頻率和周向波數(shù)n，求解頻散方程即可得到相應(yīng)的無量綱軸向波數(shù)。2.1. 對(duì)比與驗(yàn)證理想流體是對(duì)實(shí)際問題的一種簡(jiǎn)化，忽略了流體的粘性，即其膨脹粘性系數(shù)和剪切粘性系數(shù)b均為零，因而其中只存在縱波，也就是上述推導(dǎo)中與橫波相關(guān)的勢(shì)函數(shù)為零。于是圓柱殼浸沒在理想流體中時(shí)，其結(jié)合面的連續(xù)條件發(fā)生了變化，僅存在徑向的速度連續(xù)。而將勢(shì)函數(shù)為零代入方程（9）會(huì)發(fā)現(xiàn)，在周向和軸向速度的表達(dá)式中仍然存在關(guān)于與縱波相關(guān)的勢(shì)函數(shù)的項(xiàng)，與上述不符。描述粘性流場(chǎng)和理想流場(chǎng)的波動(dòng)方程不僅僅是粘性系數(shù)上的差別，兩種方法的思路和建立途徑都是不一樣的，直接將=b=0代入頻散方程中計(jì)算無法退化得到理想流體中的結(jié)果。當(dāng)粘

14、性流場(chǎng)中流體的膨脹粘性系數(shù)和剪切粘性系數(shù)b取趨近于零的極小值而且結(jié)果收斂時(shí)，粘性所產(chǎn)生的影響變得極其微弱，流體可視為理想的。將=b=10-10kg/ms、=b=10-12kg/ms和=b=10-15kg/ms分別代入特征方程中并比較后可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)=b=10-15kg/ms時(shí)，計(jì)算結(jié)果趨于收斂。因此，選取周向模態(tài)數(shù)n=0，=b=10-15kg/ms時(shí)的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)6中理想流體的相關(guān)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，如圖2所示。圖 2 計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)值的比較Fig.2 Comparison between the calculation results and the literature values (n=0

15、)圖中橫軸表示無量綱頻率，縱軸表示無量綱軸向波數(shù)，在橫軸上方繪制實(shí)部的絕對(duì)值，橫軸下方繪制其虛部絕對(duì)值的負(fù)值。由圖可知，本文的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)吻合較好，說明了本文方法的正確性和計(jì)算程序的可靠性。2.2. 耦合系統(tǒng)的頻散曲線為了分別研究剪切粘性系數(shù)和膨脹粘性系數(shù)b對(duì)耦合系統(tǒng)頻散特性的影響，取表1所示的三組數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比研究，并分別標(biāo)記為參數(shù)1、參數(shù)2和參數(shù)321。需要說明的是，這里所選的參數(shù)1和參數(shù)3分別對(duì)應(yīng)水和甘油的粘性系數(shù)。但是，水和甘油相比，在密度、聲速等上都有較大的差距。如果單純地拿出水和甘油作為介質(zhì)進(jìn)行對(duì)比分析，就引入了密度、聲速等的變化帶來的對(duì)頻散特性的影響，不利于結(jié)論的得出。因此，為了

16、能夠更明確地說明流體粘性對(duì)耦合系統(tǒng)頻散特性的影響，這里只選取兩種介質(zhì)的剪切粘性系數(shù)和膨脹粘性系數(shù)，其他計(jì)算參數(shù)均不變。表 1 剪切粘性系數(shù)和膨脹粘性系數(shù)b的取值Tab.1 The values of coefficients of viscosity and b粘性系數(shù)參數(shù)1參數(shù)2參數(shù)3(kg/ms)0.0008940.950.95b(kg/ms)0.00250.00250.95將得到的結(jié)果繪成不同周向模態(tài)下耦合系統(tǒng)傳播波的頻散特性曲線，如圖3、4和5所示，圖中曲線上的數(shù)字為頻散方程軸向波數(shù)解的序號(hào)s。(a) n=0(b) n=1(c) n=5圖 3 參數(shù)1下耦合系統(tǒng)的頻散曲線Fig.3 Di

17、spersion characteristic curves under Case 1(a) n=0(b) n=1(c) n=5圖 4 參數(shù)2下耦合系統(tǒng)的頻散曲線Fig.4 Dispersion characteristic curves under Case 2(a) n=0(b) n=1(c) n=5圖 5 參數(shù)3下耦合系統(tǒng)的頻散曲線Fig.5 Dispersion characteristic curves under Case 32.3. 殼體中結(jié)構(gòu)波的性質(zhì)從頻散曲線可知，對(duì)于任一個(gè)周向模態(tài)，殼體中都存在三個(gè)傳播波，分別對(duì)應(yīng)于圖中的s=1、s=2和s=3三條曲線。由上至下三個(gè)波的相速度

18、在高頻處分別接近于平板中的彎曲波，軸中的扭轉(zhuǎn)波和平板中拉伸波的相速度。當(dāng)n=0時(shí)，三支傳播波總是出現(xiàn)在=0處；隨著n的增大，它們的起始頻率也增大，且起始頻率的大小與周向模態(tài)數(shù)成正比。此外，傳播波s=1完全位于聲速線以上，是亞聲速波，不能向外輻射能量；傳播波s=2和傳播波s=3位于聲速線以下是超聲速波，可以向外輻射能量。當(dāng)周向波數(shù)增大時(shí)，第一支波逐漸接近聲速線，二者甚至?xí)嘟?，反映出第一支波與流體的作用增強(qiáng)，甚至可能向外輻射能量。從圖中發(fā)現(xiàn)，耦合系統(tǒng)中不僅存在著沿圓柱殼軸向的傳播波，還存在著耗散波，某些周向模態(tài)下甚至?xí)霈F(xiàn)近場(chǎng)衰減波（將后兩者統(tǒng)稱為復(fù)數(shù)波，下同），例如圖3（a）中的曲線s=4就是

19、周向模態(tài)n=0時(shí)系統(tǒng)中耗散波的頻散特性曲線，而3（c）中的曲線s=4就是周向模態(tài)n=5時(shí)系統(tǒng)中近場(chǎng)衰減波的頻散特性曲線。為了定性地說明殼體中衰減波的性質(zhì)，將求得的軸向波數(shù)代回原方程（18），定義特征向量：n=0(20)n0(21)它們表示對(duì)任一特定的波（n，s），殼體三個(gè)方向上位移分量的比值，從而可以說明殼體運(yùn)動(dòng)是以軸向拉伸、周向扭轉(zhuǎn)或者徑向彎曲運(yùn)動(dòng)為主。以參數(shù)3為例，將計(jì)算結(jié)果繪制成不同粘性系數(shù)下，耦合系統(tǒng)復(fù)數(shù)波的幅值比曲線，如圖6所示。圖中橫軸表示無量綱頻率，縱軸表示特征向量ns和ns，在橫軸的上方繪制ns的絕對(duì)值，橫軸下方繪制ns絕對(duì)值的負(fù)值。(a) n=0 (s=4和s=5)(b) n

20、=0 (s=6)(c) n=1 (s=4和s=5)(d) n=1(s=6和s=7)(e) n=5 (s=4和s=5)(f) n=5 (s=6和s=7)圖 6 參數(shù)3下耦合系統(tǒng)復(fù)數(shù)波的幅值比曲線Fig.6 Amplitude ratio curves of the complex waves under Case 3可以看出，對(duì)于耦合系統(tǒng)中的復(fù)數(shù)波，其波的數(shù)量會(huì)隨著周向模態(tài)數(shù)的增大而增多，且不同的波的類型也不盡相同，有些波的類型甚至?xí)S著頻率的增加而發(fā)生變化。比如，當(dāng)=0.000984kg/ms，b=0.0025kg/ms，n=5，s=7時(shí)，剛開始時(shí)這支波以彎曲波為主，隨著頻率的增大，其扭轉(zhuǎn)波的

21、成分逐漸增大。此外，對(duì)于耦合系統(tǒng)而言，當(dāng)衰減波是以扭轉(zhuǎn)或拉伸波為主要成分時(shí)，其虛部相應(yīng)很?。幌鄳?yīng)地，當(dāng)彎曲波成為衰減波的主要成分時(shí)，其虛部相應(yīng)很大。3. 流體粘性對(duì)耦合系統(tǒng)頻散特性影響參考文獻(xiàn)6的數(shù)據(jù)，以n=0為例，將理想流場(chǎng)和粘性流場(chǎng)中耦合系統(tǒng)的頻散特性曲線進(jìn)行對(duì)比，如圖7所示。圖 7 理想流場(chǎng)和粘性流場(chǎng)中耦合系統(tǒng)的頻散特性曲線對(duì)比Fig.7 Comparison of the dispersion characteristics in the coupled systems of ideal and viscous fluid從圖中可以看到，流體粘性對(duì)耦合系統(tǒng)頻散特性的影響主要體現(xiàn)在波的起

22、始階段或者低頻帶，具體表現(xiàn)為以下三個(gè)方面：1). 流體粘性會(huì)導(dǎo)致傳播波無量綱軸向波數(shù)的值減小，尤其體現(xiàn)在第一支上面。大部分復(fù)數(shù)波波數(shù)的實(shí)部基本都與粘性系數(shù)成正比，虛部則與之成反比。2). 流體粘性會(huì)使傳播波的起始頻率增大，并增加耦合系統(tǒng)中復(fù)數(shù)波的數(shù)量。而且，傳播波的起始頻率即為增加的復(fù)數(shù)波的截止頻率。流體對(duì)流固耦合系統(tǒng)的影響主要集中在中低頻段，并且考慮其粘性時(shí)增大了耦合系統(tǒng)的能量損耗。因此當(dāng)頻率較低時(shí)，某些波會(huì)因?yàn)檎承缘挠绊憻o法向外傳播，變成了近場(chǎng)衰減波，體現(xiàn)在圖上即為傳播波的起始頻率增大和復(fù)數(shù)波的數(shù)量變多。3). 對(duì)于復(fù)數(shù)波s=4，粘性的增大使其無量綱軸向波數(shù)從復(fù)數(shù)變?yōu)樘摂?shù)，即它從耗散波變?yōu)?/p>

23、近場(chǎng)衰減波。為了能夠更直觀地研究剪切粘性系數(shù)和膨脹粘性系數(shù)b對(duì)耦合系統(tǒng)頻散特性的影響，將三組不同參數(shù)下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，并引入相對(duì)變化參數(shù)Error的概念，將其定義為22：(22)(23)其中，i和j分別對(duì)應(yīng)所選參數(shù)的編號(hào)。以參數(shù)1和參數(shù)2為例，將上文計(jì)算得到的無量綱波數(shù)代入式（22）和（23），繪制不同粘性系數(shù)時(shí)，相對(duì)變化參數(shù)的變化曲線，如圖8所示。圖中橫軸表示無量綱頻率，縱軸表示相對(duì)變化參數(shù)Error，在橫軸的上方繪制ErrorijRe的絕對(duì)值，橫軸下方繪制ErrorijIm絕對(duì)值的負(fù)值。(a) 傳播波 (n=0)(a) Propagating wave (n=0)(b) 復(fù)數(shù)波 (n=

24、0)(b) Complex wave (n=0)(c) 傳播波 (n=1)(c) Propagating wave (n=1)(d) 復(fù)數(shù)波 (n=1)(d) Complex wave (n=1)(e) 傳播波 (n=5)(e) Propagating wave (n=5)(f) 復(fù)數(shù)波 (n=5)(f) Complex wave (n=5)圖 8 相對(duì)變化參數(shù)曲線（參數(shù)1和參數(shù)2）Fig.8 The relative error parameter curves between Case 1and Case 2分析圖8中傳播波的相對(duì)變化參數(shù)曲線，并結(jié)合相應(yīng)的頻散特性曲線可以發(fā)現(xiàn)，剪切粘性系數(shù)

25、對(duì)耦合系統(tǒng)中傳播波頻散特性的影響主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：1). 隨著剪切粘性系數(shù)的增大，傳播波s=1的起始頻率會(huì)增大，而且其增大速度隨著周向模態(tài)數(shù)n的增大而變慢，直至為零。2). 剪切粘性系數(shù)會(huì)影響傳播波軸向波數(shù)的大小，而且大多數(shù)情況下，在波的起始階段影響較大。當(dāng)n=0時(shí)，三支傳播波的相對(duì)變化參數(shù)Error最大約為0.045%；當(dāng)n=1時(shí)，相對(duì)變化參數(shù)Error最大約為24%；當(dāng)n=5時(shí)，相對(duì)變化參數(shù)Error最大約為2.7%。而對(duì)于耦合系統(tǒng)中的復(fù)數(shù)波，剪切粘性系數(shù)的影響也體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：1). 隨著剪切粘性系數(shù)的增大，耦合系統(tǒng)中復(fù)數(shù)波的個(gè)數(shù)會(huì)增加；而隨著周向模態(tài)數(shù)n的增大，其數(shù)量逐漸趨于

26、一致。2). 隨著剪切粘性系數(shù)的增大，復(fù)數(shù)波s=5的截止頻率會(huì)增大，而且其增大速度會(huì)隨著周向模態(tài)數(shù)n的增大而變小，直至為零。3). 剪切粘性系數(shù)會(huì)影響復(fù)數(shù)波軸向波數(shù)的大小，而且對(duì)復(fù)數(shù)波s=4的影響相對(duì)較大。當(dāng)n=0時(shí)，復(fù)數(shù)波實(shí)部的相對(duì)變化參數(shù)ErrorRe最大約為5.3%，虛部的相對(duì)變化參數(shù)ErrorIm最大約為1.7%；當(dāng)n=1時(shí)，其實(shí)部的相對(duì)變化參數(shù)ErrorRe最大約為0.027%，虛部的相對(duì)變化參數(shù)ErrorIm最大約為0.022%；當(dāng)n=5時(shí)，其實(shí)部的相對(duì)變化參數(shù)ErrorRe最大約為0.11%，虛部的相對(duì)變化參數(shù)ErrorIm最大約為0.037%。膨脹粘性系數(shù)b對(duì)耦合系統(tǒng)中波的頻散

27、特性的影響，可以通過觀察圖11中的相對(duì)變化參數(shù)曲線，并結(jié)合相應(yīng)的頻散特性曲線來得到，主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：1). 對(duì)于傳播波而言，膨脹粘性系數(shù)b的影響主要集中在s=1這支波上。隨著膨脹粘性系數(shù)b的增大，僅傳播波s=1的起始頻率在周向模態(tài)數(shù)n=5時(shí)出現(xiàn)增大的現(xiàn)象。膨脹粘性系數(shù)b會(huì)影響傳播波軸向波數(shù)的大小，且其相對(duì)變化參數(shù)Error的最大值基本出現(xiàn)在無量綱頻率=2左右的位置。當(dāng)n=0時(shí)，三支傳播波的相對(duì)變化參數(shù)Error最大約為25.1%；當(dāng)n=1時(shí)，相對(duì)變化參數(shù)Error最大約為11.7%；當(dāng)n=5時(shí)，相對(duì)變化參數(shù)Error最大約為24.9%。2). 至于復(fù)數(shù)波，隨著膨脹粘性系數(shù)b的增大，僅復(fù)數(shù)波

28、s=6的截止頻率在周向模態(tài)數(shù)n=1時(shí)出現(xiàn)增大的現(xiàn)象。膨脹粘性系數(shù)b會(huì)影響復(fù)數(shù)波軸向波數(shù)的大小，且其相對(duì)變化參數(shù)Error的最大值基本出現(xiàn)在無量綱頻率=2之前的頻段。當(dāng)n=0時(shí)，復(fù)數(shù)波實(shí)部的相對(duì)變化參數(shù)ErrorRe最大約為2.25%，虛部的相對(duì)變化參數(shù)ErrorIm最大約為0.72%；當(dāng)n=1時(shí)，其實(shí)部的相對(duì)變化參數(shù)ErrorRe最大約為72%，虛部的相對(duì)變化參數(shù)ErrorIm最大約為7.42%；當(dāng)n=5時(shí)，其實(shí)部的相對(duì)變化參數(shù)ErrorRe最大約為73%，虛部的相對(duì)變化參數(shù)ErrorIm最大約為1.3%。4. 結(jié)論本文首先推導(dǎo)出粘性流場(chǎng)中無限長圓柱殼耦合系統(tǒng)的動(dòng)力方程和特征方程，然后運(yùn)用數(shù)值

29、方法求解，最終得到其頻散特性曲線。通過對(duì)粘性流場(chǎng)中無限長薄圓柱殼頻散特性的分析，并結(jié)合復(fù)數(shù)波的幅值比曲線以及無量綱軸向波數(shù)的相對(duì)變化參數(shù)曲線，可以得到以下結(jié)論：1) 對(duì)于耦合系統(tǒng)而言，當(dāng)衰減波是以扭轉(zhuǎn)或拉伸波為主要成分時(shí)，其虛部相應(yīng)的很小，這很小的虛部也極有可能是由占很小成分的彎曲波所產(chǎn)生的。虛部很小表明了其與流場(chǎng)進(jìn)行能量交換的能力也較弱。相應(yīng)地，當(dāng)彎曲波成為衰減波的主要成分時(shí)，其虛部相應(yīng)很大，與周圍流場(chǎng)之間的能量交換也較強(qiáng)。2) 剪切粘性系數(shù)的增大會(huì)帶來耦合系統(tǒng)中復(fù)數(shù)波個(gè)數(shù)的增加，膨脹粘性系數(shù)b則不會(huì)；3) 剪切粘性系數(shù)的增大會(huì)帶來傳播波（主要體現(xiàn)在s=1這支波上）起始頻率和復(fù)數(shù)波截止頻率的

30、增大，而且其增大速度會(huì)隨著周向模態(tài)數(shù)n的增大而變小，直至為零。膨脹粘性系數(shù)b的增大則僅會(huì)使傳播波s=1的起始頻率在周向模態(tài)數(shù)n=5時(shí)和復(fù)數(shù)波s=6的截止頻率在周向模態(tài)數(shù)n=1時(shí)出現(xiàn)增大的現(xiàn)象。導(dǎo)致這一現(xiàn)象的原因可能是流體對(duì)耦合系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響主要集中在低頻，以及流體粘性的存在使得耦合系統(tǒng)的能量損耗。4) 剪切粘性系數(shù)和膨脹粘性系數(shù)b都會(huì)影響耦合系統(tǒng)中各支波軸向波數(shù)的大小。相對(duì)而言，膨脹粘性系數(shù)b對(duì)軸向波數(shù)的改變更為明顯，其相對(duì)變化參數(shù)的最大值可達(dá)73%。5) 剪切粘性系數(shù)和膨脹粘性系數(shù)b改變所引起的相對(duì)變化參數(shù)，其峰值大部分都位于波的起始階段或者低頻帶，也就是說流體粘性對(duì)耦合系統(tǒng)頻散特性的影

31、響主要集中在波的起始階段或者低頻帶。需要指出的是，本文用來分析圓柱殼體結(jié)構(gòu)振動(dòng)的Flgge薄殼理論是基于Love-Kirchhoff假設(shè)的，忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、橫向剪切變形和橫向擠壓，僅適用于中低頻和小的厚度半徑比的情況，因此本文的計(jì)算結(jié)果同樣僅適用于中低頻和小的厚度半徑比的情況。參考文獻(xiàn)：1 M.C. Junger. Radiation loading of cylindrical and spherical surfaces J. Journal of Acoustical Society of America, 1952, 24(3)：288-289.2 M.C. Junger. Vibrat

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