微分中值定理

1、第一講 微分中值定理教學(xué)目的 使學(xué)生掌握羅爾定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理,并能應(yīng)用羅爾定理, 拉格朗日中值定理及柯西中值定理證明和解決一些簡(jiǎn)單問題教學(xué)重點(diǎn) 使學(xué)生深刻理解微分中值定理的實(shí)質(zhì)教學(xué)難點(diǎn) 拉格朗日中值定理的證明教學(xué)學(xué)時(shí) 2學(xué)時(shí)教學(xué)過程 上一章我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念,并討論了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用,這一章我們來學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,首先學(xué)習(xí)微分中值定理,他們是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ) 微分中值定理包括: 羅爾定理, 拉格朗日中值定理和柯西中值定理,簡(jiǎn)稱微分中值三定理一、羅爾定理我們首先來觀察一個(gè)圖形，見圖1.設(shè)圖1中曲線弧是函數(shù)的圖形這是一條連續(xù)的曲線弧，除端點(diǎn)外處處具有不垂直

2、于X軸的切線，即在內(nèi)處處可導(dǎo)且兩端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相等，即可以發(fā)現(xiàn)在曲線弧的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)處，曲線都有水平的切線如果記曲線弧的最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則若我們用分析的語言把這一幾何現(xiàn)象描述出來，就得到了下面的羅爾（）定理羅爾定理 若函數(shù)滿足(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3) 在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得為了給出羅爾定理的嚴(yán)格證明，我們首先需要學(xué)習(xí)下面的引理，它稱為費(fèi)馬定理費(fèi)馬定理 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的，有，則分析 為了利用函數(shù)值的大小關(guān)系得出導(dǎo)數(shù)的結(jié)論，顯然應(yīng)該考慮使用導(dǎo)數(shù)的定義不妨設(shè)時(shí)，于是，對(duì)于，有，從而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由

3、于函數(shù)在處可導(dǎo)，上述兩式的左端當(dāng)時(shí)極限皆存在，因此由極限的保號(hào)性知 ，所以，類似地可證明時(shí)，的情形通常稱導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)(或穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn))費(fèi)馬定理告訴我們，若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且函數(shù)在點(diǎn)處取得了局部的最大值或最小值，則函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定為零，即由圖1知，函數(shù)在處取得了局部的最大值因此，根據(jù)費(fèi)馬定理不難證明羅爾定理羅爾定理的證明 由于在上連續(xù)，所以在上必定取得它的最大值和最小值這樣，只有兩種可能的情形：(1) 此時(shí)對(duì)于任意的，必有故對(duì)任意的，有因此，內(nèi)任一點(diǎn)皆可作為我們找的(2) 因?yàn)?，所以和中至少有一個(gè)不等于不妨設(shè)，則在內(nèi)必有一點(diǎn)，使得又因?yàn)閷?duì)于任意的，有，且存在故由費(fèi)馬定理知，類似

4、可證的情形羅爾定理成立 例1 不求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，說明方程有幾個(gè)實(shí)根，并指出它們所在的區(qū)間 分析 討論方程的根的問題，通?？紤]用羅爾定理，因?yàn)橛闪_爾定量的結(jié)論知，實(shí)際上是方程的根而討論這類問題的基本思路是，在函數(shù)可導(dǎo)的范圍內(nèi)，找出所有端點(diǎn)處函數(shù)值相等的區(qū)間而由羅爾定理知，在每個(gè)這樣的區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得即為方程的一個(gè)實(shí)根，同時(shí)也得到了這個(gè)實(shí)根所在的范圍對(duì)于本問題來說，根據(jù)代數(shù)學(xué)基本定理，方程至多有兩個(gè)實(shí)根而由函數(shù)的表達(dá)式知，因此，和就是我們所要找的區(qū)間，在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)各有方程的一個(gè)實(shí)根解 因?yàn)樵诤蜕线B續(xù)，在和內(nèi)可導(dǎo)，且，所以由羅爾定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得和都是方

5、程的實(shí)根又由代數(shù)學(xué)基本定理知，方程至多有兩個(gè)實(shí)根，所以方程必有且只有兩個(gè)實(shí)根，它們分別位于和內(nèi)小結(jié) 利用函數(shù)的性質(zhì)討論的根(也稱為的零點(diǎn))，應(yīng)用羅爾定理是一個(gè)常用方法二、拉格朗日中值定理羅爾定理中這個(gè)條件是相當(dāng)特殊的，也是非?？量痰挠捎谝话愕暮瘮?shù)很難具備這個(gè)條件，因此它使羅爾定理的應(yīng)用受到了很大限制我們可以設(shè)想一下，若把條件適當(dāng)放寬，比如把這個(gè)條件去掉，僅保留羅爾定理中的第一個(gè)和第二個(gè)條件，那么相應(yīng)的結(jié)論會(huì)發(fā)生什么變化呢？為了更好地討論這個(gè)問題，我們先從幾何直觀入手，見圖2設(shè)圖2中曲線弧是函數(shù)的圖形，它是一條連續(xù)的曲線弧，除端點(diǎn)外處處具有不垂直于軸的切線，并且兩端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)不相等，即不難發(fā)現(xiàn)

6、在曲線弧上至少有一點(diǎn)，使曲線在點(diǎn)處的切線平行于弦若記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為而弦的斜率為因此若我們用分析的語言把這一觀察結(jié)果描述出來，就得到了下面的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若函數(shù)滿足(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 （）從圖1可以看到，在羅爾定理中，由于，弦是平行于軸的，因此點(diǎn)處的切線不僅平行于軸，實(shí)質(zhì)上也是平行于弦的由此可見，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形下面我們來討論拉格朗日中值定理的證明問題由羅爾定理與拉格朗日中值定理的關(guān)系，使我們自然想到利用羅爾定理來證明拉格朗日中值定理但在拉格朗日中值定理中，函數(shù)不一定具備這個(gè)條件，為

7、此我們?cè)O(shè)想構(gòu)造一個(gè)與有密切聯(lián)系的函數(shù)(稱為輔助函數(shù))，使?jié)M足條件及羅爾定理的另外兩個(gè)條件，并對(duì)應(yīng)用羅爾定理，然后再把對(duì)所得的結(jié)論轉(zhuǎn)化到上，從而使拉格朗日中值定理得到證明這就是我們所設(shè)想的證明拉格朗日中值定理的思路，那么怎樣去構(gòu)造輔助函數(shù)呢？若記圖2中弦的方程為，那么根據(jù)所構(gòu)造的輔助函數(shù)需要滿足的條件，通過對(duì)圖2的觀察，我們不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)很可能就是我們所需要的那個(gè)輔助函數(shù)為什么呢？首先，若我們記，則函數(shù)與有著密切的聯(lián)系；第二，由于曲線弧與弦在兩點(diǎn)相交，因此，即；第三，由于函數(shù)和在上都連續(xù),在內(nèi)都可導(dǎo)，因此在上滿足羅爾定理的條件至于對(duì)在上應(yīng)用羅爾定理后，能否得到我們所需要的結(jié)論，請(qǐng)看下面的證明拉

8、格朗日中值的證明 弦的直線方程為因此，函數(shù), 且對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用羅爾定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即 ，定理得證由上述證明可知，函數(shù)正是我們所需要的那個(gè)輔助函數(shù)現(xiàn)在回過頭來看一看輔助函數(shù)的幾何意義是什么？在圖2的閉區(qū)間上任取一點(diǎn)，并過作與縱軸平行的直線，交弧于，交弦于，則有向線段的值恰好是我們所構(gòu)造的輔助函數(shù)其中為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，為點(diǎn)的縱坐標(biāo)幾點(diǎn)說明：(1) 顯然，公式對(duì)于也成立，(1)式稱做拉格朗日中值公式(2) 設(shè)為區(qū)間上一點(diǎn)，為該區(qū)間內(nèi)的另一點(diǎn)，則公式（）可寫成 (3) 若記為，則，于是式又可寫成 我們知道，若函數(shù)在處可微，則這時(shí)可以用函數(shù)的微分來近似地代替函數(shù)增量，并且所產(chǎn)生的誤差是比高階

9、的無窮小但我們卻沒有實(shí)現(xiàn)用微分精確表示函數(shù)的增量，而式給出了自變量取得有限增量時(shí)，函數(shù)增量的微分精確表達(dá)式因此，拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理，式也稱為有限增量公式拉格朗日中值定理在微分學(xué)中占有重要地位，有時(shí)也稱其為微分中值定理利用它可實(shí)現(xiàn)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的變化作為拉格朗日中值定理的一個(gè)應(yīng)用，我們看下面的問題我們知道，如果函數(shù)在某一區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)，則在該區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為零那么它的逆命題是否成立呢？這就是下面的定理所要回答的問題定理 若函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為零，則在區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)證 在區(qū)間上任取兩點(diǎn) ，應(yīng)用式即得 由題設(shè)知，所以，即 因?yàn)槭巧先我鈨牲c(diǎn)，所以在區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)這個(gè)定理在以后

10、我們要學(xué)習(xí)的積分學(xué)中將起到至關(guān)重要的作用下面我們應(yīng)用拉格朗日中值定理來證明不等式例2 證明當(dāng)時(shí)， 分析 拉格朗日中值公式的形式并不是不等式的形式，那么怎么能用拉格朗日中值定理去證明不等式呢？我們知道，在拉格朗日中值公式中，而不知道具體等于多少？但根據(jù)在之間的取值卻可以估計(jì)出的取值范圍，或者說可以估計(jì)出取值的上下界分別用取值的上下界去代換拉格朗日中值公式中的，就可以得到不等式了，這就是用拉格朗日中值定理去證明不等式的思路用拉格朗日中值定理去證明不等式，最重要的是去找函數(shù)和相應(yīng)的區(qū)間那么怎樣去找函數(shù)和相應(yīng)的區(qū)間呢？注意，拉格朗日中值公式的左端是很有特點(diǎn)的，它恰好是函數(shù)在區(qū)間上的增量與區(qū)間的長(zhǎng)度之比

11、因此，只要我們通過不等式的變形，把其核心部分變形為的形式，就不難確定函數(shù)和相應(yīng)的區(qū)間了對(duì)于本例來講，首先我們可以做如下的變形：，由此變形結(jié)果，我們不難確定出所需要的函數(shù)為，相應(yīng)的區(qū)間為如果我們對(duì)原不等式再做另外一種變形，即 ，則由此變形結(jié)果，我們不難確定出所需要的函數(shù)為，相應(yīng)的區(qū)間為確定了所需要的函數(shù)及相應(yīng)的區(qū)間后，接下來就是對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，并估計(jì)拉格朗日中值公式中取值的上下界了證 方法一設(shè)，顯然在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件拉格朗日中值定理得由于，所以，即，方法二設(shè)，顯然在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件對(duì)函數(shù)在區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，并對(duì)拉格朗日中值公式中取值的上下

12、界進(jìn)行估計(jì)，即可證得本例中的不等式具體證明過程請(qǐng)同學(xué)們課后完成總結(jié)(1) 例2中的分析是用拉格朗日中值定理證明不等式的一般思路，同學(xué)們務(wù)必要掌握其要領(lǐng)(2) 由例2的證明過程可見，用拉格朗日中值定理證明不等式時(shí)所選擇的函數(shù)并不是唯一的，重要的是函數(shù)應(yīng)與相應(yīng)區(qū)間相匹配三、柯西中值定理拉格朗日中值定理的幾何意義是：如果在連續(xù)曲線的弧上，處端點(diǎn)外處處具有不垂直于軸的切線，則在該弧上至少存在一點(diǎn)，使曲線在點(diǎn)處的切線平行于弦若我們不用來表示連續(xù)的曲線弧，而用參數(shù)方程來表示連續(xù)的曲線弧，那么上述結(jié)論的表達(dá)形式會(huì)發(fā)生什么變化呢？設(shè)連續(xù)的曲線弧由參數(shù)方程表示，見圖3 ，其中為參數(shù)那么利用參數(shù)方程求導(dǎo)公式，曲線

13、上點(diǎn)處切線的斜率為 ， 弦的斜率為假定點(diǎn)對(duì)應(yīng)于參數(shù)，那么曲線上點(diǎn)處的切線平行于弦可表示為 與這一結(jié)論的表達(dá)式相對(duì)應(yīng)的就是下面的柯西中值定理柯西中值定理 若函數(shù)及滿足(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3) 對(duì)任一，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 證 首先我們來證明在已給條件下顯然函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理的條件，根據(jù)定理應(yīng)有由于，由假定知，又，所以 類似于拉格朗日中值定理的證明，我們?nèi)匀挥帽硎居邢蚓€段的值的函數(shù)作為輔助函數(shù)，見圖3 這里點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，于是 由假定知，函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，因此，在上滿足羅爾定理的條件，故在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即由此得 ，定理證畢很明顯，如果取，那么，因而公式就可以寫成，這樣就變成了拉格朗日中值定理由此可見拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣顯然公式對(duì)于也成立，式稱做柯西中值公式最后我們需要指出，不論是羅爾定理、