弦振動(dòng)分析王文璞

1、遼寧工程技術(shù)大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院振動(dòng)力學(xué)綜合訓(xùn)練（三）題 目 樂(lè)器弦振動(dòng)問(wèn)題分析 班 級(jí) 工力12級(jí)2班 姓 名李大為 劉怡 李鳳飛 王文璞 王先明 指導(dǎo)教師 張智慧 成 績(jī) 遼寧工程技術(shù)大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院制 目錄第一章 綜合訓(xùn)練要求1第二章 模型的建立及振動(dòng)方程的求解2第三章 影響弦振動(dòng)物理量分析63.1.弦的長(zhǎng)度對(duì)其振動(dòng)的影響63.2.弦的張力對(duì)其振動(dòng)的影響73.3 弦的粗細(xì)對(duì)其振動(dòng)的影響9第四章 結(jié)論與分析11參考文獻(xiàn) .12第一章 綜合訓(xùn)練要求進(jìn)行以下規(guī)定內(nèi)容的建模、計(jì)算與分析工作,具體思考如下問(wèn)題:1. 為什么吉它上的六根弦在弦長(zhǎng)一致的情況下所發(fā)出的音調(diào)（聲音的頻率）不同？ 2. 在演

2、奏時(shí)依靠什么來(lái)改變弦的音調(diào)？3.為什么僅通過(guò)調(diào)整弦的張力就能進(jìn)行校音？教學(xué)過(guò)程：教師布置任務(wù)，學(xué)生課外查資料、計(jì)算、分析，形成材料，集中討論、答辯、教師總結(jié)。成果形式：撰寫(xiě)計(jì)算分析報(bào)告并進(jìn)行分組匯報(bào)。 吉他弦圖片第二章 模型的建立與振動(dòng)方程的求解 1.橫波運(yùn)動(dòng)分析 由于弦樂(lè)器是靠弦的振動(dòng)發(fā)聲的，而弦振動(dòng)產(chǎn)生的聲波屬于橫波，因而，要了解弦振動(dòng)規(guī)律應(yīng)從橫波模型的運(yùn)動(dòng)分析入手。設(shè)弦上有一向右傳播的橫波，如圖1所示.現(xiàn)具體分析弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。當(dāng)波沿工軸方向前進(jìn)時(shí)，弦上各質(zhì)點(diǎn)沿y軸上下振動(dòng)，其位移可表示為 圖1 橫波及其質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)示意圖其中A為振動(dòng)的振幅,k為波矢量，為圓頻率,為初位相。弦上各質(zhì)點(diǎn)振

3、動(dòng)的速度為 式表明,各質(zhì)點(diǎn)上下振動(dòng)的速度在隨位置、時(shí)間不斷變化。圖1標(biāo)出了部分質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度,其中A、C、E處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度最大（A),而B(niǎo)、D處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度最小(0).顯然,弦上各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向并非波的傳播方向。為得到波動(dòng)沿弦傳播時(shí)波速的表達(dá)式,現(xiàn)取波峰處一小段長(zhǎng)度的弦作研究對(duì)象分析其受力情況,如圖2所示.相對(duì)于弦內(nèi)張力Tl,弦的重力可以忽略.此時(shí),兩個(gè)張力合力的方向豎直向下成為使弦回到平衡位置的回復(fù)力F,.由牛頓第二定律得 圖2 波峰附近繩子的受力分析式中產(chǎn)為弦的線密度(即單位長(zhǎng)度弦的質(zhì)量),這段弦的加速度a,可由下式得到 由于波矢量 ,波速 ,所以故這段弦在波峰D處對(duì)應(yīng)的加速度為 進(jìn)而由

4、牛頓第二定律可得弦的回復(fù)力為 現(xiàn)從受力角度討論弦的回復(fù)力 .因兩張力豎直向下的分力合成弦的回復(fù)力,故 由于 ,角度應(yīng)非常小.按照小角近似條件應(yīng)有,代換(7)得,由于可表示弦在處的斜率,而這段弦的振動(dòng)方程為,故按斜率公式可得 由于口很小,按照小角近似理論,，于是式變?yōu)椋牖貜?fù)力的表達(dá)式即得 現(xiàn)比較、兩式可得于是弦上傳播的橫波的波速表達(dá)式為 2.弦模型中的駐波以上討論了正弦波的振動(dòng)與傳播規(guī)律.對(duì)于實(shí)際的弦樂(lè)器,因弦的兩端固定,當(dāng)弦被撥動(dòng)時(shí)振動(dòng)傳播到弦兩端會(huì)產(chǎn)生反射,而反射波和入射波在一定條件下疊加會(huì)形成駐波。駐波振動(dòng)的位移,由兩個(gè)振幅相等、圓頻率相同的反向傳播正弦波疊加,則 考慮到駐波特點(diǎn)弦的兩

5、端(即)弦振動(dòng)位移為零,因而上式必須滿(mǎn)足，或，(n=1,2,3,.為波腹數(shù))。所以 由于頻率f與波長(zhǎng)又以及波速v滿(mǎn)足關(guān)系式,所以有 對(duì)于 其振動(dòng)頻率很低，叫做基頻或基音,此時(shí)對(duì)應(yīng)當(dāng)時(shí)，頻率表達(dá)式形如式,對(duì)應(yīng)頻率較高,叫做泛音,其對(duì)應(yīng)的頻率別為基頻的n倍.基音與泛音統(tǒng)稱(chēng)諧音。上述結(jié)果表明,對(duì)于弦長(zhǎng)、張力、線密度、材料性質(zhì)一定的弦,兩端固定時(shí)其自由振動(dòng)頻率不止一個(gè),而是n個(gè),并且僅與弦的固有力學(xué)參量有關(guān),所以該頻率也稱(chēng)為固有頻率.每一個(gè)n對(duì)應(yīng)于一種駐波,圖3表示弦的三個(gè)駐波模式。 圖3 一維橫駐波中的基頻與泛頻第三章 影響弦振動(dòng)物理量分析3.1.弦的長(zhǎng)度對(duì)其振動(dòng)的影響 根據(jù)以上建立的力學(xué)振動(dòng)模型，

6、令弦的張力T0=40N，令弦為鋼絲這一材料，故密度，分別取弦的直徑為:d=0.30inch，弦的長(zhǎng)度L=0.5m、0.6m、0.7m、0.8m、0.9m、1.0m，針對(duì)不同長(zhǎng)度的弦振動(dòng)，利用MATLAB求解，編寫(xiě)程序如下：format longL=0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0; % L表示弦長(zhǎng)，單位mTo=input(To=); % To表示弦張力，單位Np=input(p=); % p表示鋼絲的密度，單位Kg/m3d1=input(d1=); % d1表示弦的直徑，單位inchd=d1*2.54/100;for i=1:6w1(i)=3.14/(L(i)*sqrt(To/(

7、p*3.14/4*d*d);w2(i)=2*3.14/(L(i)*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d);w3(i)=3*3.14/(L(i)*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d);endplot(L,w1,o-)grid onxlabel(L弦的長(zhǎng)度/m),ylabel(第一階固有頻率/(rad/s)title(不同弦長(zhǎng)度時(shí)的第一階固有頻率)plot(L,w2,o-)grid onxlabel(L弦的長(zhǎng)度/m),ylabel(第二階固有頻率/(rad/s)title(不同弦長(zhǎng)度時(shí)的第二階固有頻率)plot(L,w3,o-)grid onxlabel(L弦的長(zhǎng)度/m),ylabe

8、l(第三階固有頻率/(rad/s)title(不同弦長(zhǎng)度時(shí)的第三階固有頻率)輸入以上程序得到不同長(zhǎng)度時(shí)共振頻率如下圖所示： 圖3-1 弦不同長(zhǎng)度時(shí)共振頻率3.2.弦的張力對(duì)其振動(dòng)的影響 根據(jù)以上建立的力學(xué)振動(dòng)模型，令弦為鋼絲這一材料，故密度，分別取弦的直徑為:d=0.30inch，弦的長(zhǎng)度L=0.6m，弦的張力To=10N、20N、30N、40N、50N、60N，針對(duì)不同張力的弦振動(dòng)，利用MATLAB求解，編寫(xiě)程序如下：format longL=input(L=); % L表示弦長(zhǎng)，單位md1=input(d1=); % d1表示弦的直徑，單位inchd=d1*2.54/100;To=10,2

9、0,30,40,50,60; % To表示弦張力，單位Np=input(p=); % p表示鋼絲的密度，單位Kg/m3for i=1:6w1(i)=3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d);w2(i)=2*3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d);w3(i)=3*3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d);endplot(To,w1,o-)grid onxlabel(To弦的張力/N),ylabel(第一階固有頻率/(rad/s)title(不同弦張力時(shí)的第一階固有頻率)plot(To,w2,o-)grid on

10、xlabel(To弦的張力/N),ylabel(第二階固有頻率/(rad/s)title(不同弦張力時(shí)的第二階固有頻率)plot(To,w3,o-)grid onxlabel(To弦的張力/N),ylabel(第三階固有頻率/(rad/s)title(不同弦張力時(shí)的第三階固有頻率)輸入以上程序得到不同張力時(shí)共振頻率如下圖所示： 圖3-2 弦不同張力時(shí)共振頻率3.3 弦的粗細(xì)對(duì)其振動(dòng)的影響 根據(jù)以上建立的力學(xué)振動(dòng)模型，令弦長(zhǎng)L=0.6m，弦的張力F=40N，令弦為鋼絲這一材料，故密度，分別取弦的直徑為:d=0.10inch、0.14inch、0.22inch、0.30inch、0.39inch、

11、0.47inch，針對(duì)不同粗細(xì)的弦振動(dòng)，利用MATLAB求解，編寫(xiě)程序如下：format longL=input(L=); % L表示弦長(zhǎng)，單位mTo=input(To=); % To表示弦張力，單位Np=input(p=); % p表示鋼絲的密度，單位Kg/m3d1=0.10,0.14,0.22,0.30,0.39,0.47; % d1表示弦的直徑，單位inchd=d1*2.54/100;for i=1:6w1(i)=3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i);w2(i)=2*3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i);w3(i)=

12、3*3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i);endplot(d1,w1,o-)grid onxlabel(d1弦的直徑/(inch),ylabel(第一階固有頻率/(rad/s)title(不同弦直徑時(shí)的第一階固有頻率)plot(d1,w2,o-)grid onxlabel(d1弦的直徑/(inch),ylabel(第二階固有頻率/(rad/s)title(不同弦直徑時(shí)的第二階固有頻率)plot(d1,w3,o-)grid onxlabel(d1弦的直徑/(inch),ylabel(第三階固有頻率/(rad/s)title(不同弦直徑時(shí)的第三階固有頻率）輸入以

13、上程序得到不同粗細(xì)時(shí)共振頻率如下圖所示： 圖3-3 弦不同粗細(xì)時(shí)共振頻率第四章 結(jié)論與分析 通過(guò)對(duì)弦樂(lè)器振動(dòng)規(guī)律的理論推導(dǎo)和分析,可得到如下結(jié)論:1.弦上各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向不等于波動(dòng)的傳播方向。2.增大弦振動(dòng)的振幅只能增大弦上各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度,并不改變波動(dòng)的傳播速度。也就是說(shuō),弦振動(dòng)振幅的改變,改變不了樂(lè)曲的音調(diào)。3.決定弦振動(dòng)頻率的物理參量為L(zhǎng)、To、,因而弦樂(lè)曲的音調(diào)就由這三個(gè)參量決定。亦即弦長(zhǎng)越短(L小),弦繃得越緊(To大),弦的線密度越小（小),音調(diào)也就越高(f高)。4.在其他條件(如弦長(zhǎng),松緊程度)相同的情況下,使用不同性質(zhì)、不同粗細(xì)的琴弦材料(即產(chǎn)不同),樂(lè)器音調(diào)也有差別。實(shí)際中的弦樂(lè)器,這些物理參數(shù)都能根據(jù)需要改變,特別是弦的緊張程度最容易改變。理論分析與實(shí)驗(yàn)證明:弦樂(lè)器的音調(diào)與弦的長(zhǎng)短、粗細(xì)、松緊程度以及弦材料