有理數(shù)乘法的運算律VIP

1、“負負得正”的乘法法則可以證明嗎關于“負負得正”的乘法法則，是否可以通過證明來確認這條法則呢？這個問題歷來被老師們關注，有關專家對此也有各種看法，現(xiàn)將一篇文章轉摘如下，供老師們參考（田載今，中學數(shù)學教學參考，2005年第3期）。有理數(shù)的乘法法則中包括“負負得正”一條，“兩個負有理數(shù)相乘，結果（積）是一個正有理數(shù)，其絕對值等于相乘兩數(shù)的絕對值的乘積.”例如，（2）X（3）=6。這條法則對剛學它的人來說，不是很容易理解，多數(shù)人是把它硬記下來的.記得水稻專家袁隆平院士說過他學正負數(shù)時想不清這個法則的道理，就去向老師請教，老師說：“你記住就行了.”編寫教材時，大家為說明這條法則的道理想了很多辦法,有的

2、教材以實際問題為背景來說明,有的教材從運算律的角度進行說明,有的教材利用相反數(shù)的意義解釋教學中,許多老師都反映這條法則的道理不是很好講.也有人考慮：是否可以通過證明來確認這條法則呢？教科書中哪種說法可以算是對它的證明呢？一種意見認為，“負負得正”有著豐富的實際背景，實踐是檢驗真理的標準，這些實際背景對這一法則的證明.例如，考慮這樣的問題：如果水位一直以每小時2厘米的速度下降，現(xiàn)在水位在水文標尺刻度的A處，3小時前水位在水文標尺的刻度在何處？為區(qū)分水位變化方向，我們規(guī)定水位上升為正，下降為負；顯然3小時前水位在水文標尺刻度的A處上方6cm處，這可以表示為（2）X（3）=6.在許多情況下，都能找到

3、類似這樣的“負負得正”的原型，因此，“負負得正”可以認為是通過客觀實踐檢驗證明的.上面的意見中，以“實際事物的原型”替代“數(shù)學的證明”的做法是不妥的.數(shù)學中的證明不是個例的驗證，數(shù)學不是物理、化學、生物那樣的實驗科學，它的命題具有一般性，不能依靠檢驗個別案例完成對一般結論的證明，而需要依據(jù)已有的結論（定義、公理和定理等）經(jīng)合乎邏輯的推導來證明.這些客觀事物中的原型，只有在人為地規(guī)定問題中有關量的正負意義之后，即經(jīng)過數(shù)學化、抽象化之后，才具有了“負負得正”的意義，它們只能說明“負負得正”有實際背景，或作為應用“負負得正”法則的例子，而不能作為邏輯地推導這個法則的根據(jù).另一種意見認為，可以通過運算

4、律來證明“負負得正”這一法則，具體推導過程如下：有了有理數(shù)的加法法則以及“正正得正”，“正負得正”的乘法法則之后，由分配律，有(-1)X(1)=(1)乂(12)=(1)X1(1)X2=-1-(-2)=-1+2=1.進而由交換律和結合律可以推出任何兩個負數(shù)相乘的結果,例如，(-2)X(3)=(1)X2X(1)X3=(1)X(1)X2X3=(1)X(1)X(2X3)=1X6=6.于是,得出“負負得正”這一法則.筆者認為,上面的意見中在應用分配律時,用到了(-1)X(12)=(1)X1-(1)X2.(1)當確立了有理數(shù)的加法法則以及“正正得正”,“正負得負”的乘法法則,而尚未確立“負負得正”這一法則

5、時,這樣做是缺乏根據(jù)的.在這時，我們可以確信(一1)乂(21)=(-1)X2-(1)X1.(2)這是因為的左邊為(-1)X(21)=(1)X1=-1.的右邊為(-1)X2(1)X1=-2-(-1)=-2+1=-1.所以(2)的左邊等于右邊,即(2)成立.但是,我們不能用類似的方法推出成立，因為的左邊為(-1)X(12)=(1)X(1),而(1)X(1)的法則此時尚未成立,所以無法確定的左邊是否等于右邊,即此時分配律等于(-1)x(1-2)是否適用尚且存疑。先確定運算法則，后才能確定那些運算律成立，是合乎邏輯順序的做法.這就是說，只有當(1)X(-1)的結果確定后，才能明確(1)成立.因此,像上

6、面那樣用分配律推導“負負得正”的法則有循環(huán)論證之嫌.還有一種意見認為,如果在確立了通常的有理數(shù)加法法則后,把有理數(shù)的乘法定義為一種抽象的運算(即先不規(guī)定具體的乘法運算法則),并從抽象代數(shù)角度約定有理數(shù)集合連同加法、乘法運算構成一個域，那么就能推導出通常的具體的有理數(shù)乘法法則，自然也就推出了“負負得正”.筆者認為，事實上并非如此，請看下面反例我們這樣規(guī)定有理數(shù)的乘法"®”：對于任意兩個有理數(shù)a、b它們的“乘積"a®b=-ab即這樣“乘積”等于通常乘法的乘積的相反數(shù)可以驗證，-1是這種“乘法”的單位元，對任意非零有理數(shù)x,他的逆元是一1x,并且（a®

7、;b）®c=a®（b®c）（結合律）；a®b=b®a（交換律）；a®（b+c）=a®b+a®c（分配律）在有理數(shù)結合內(nèi)都成立.因此，有理數(shù)集合Q連同通常意義的有理數(shù)加法“+”、如上定義的有理數(shù)的乘法“®"，滿足抽象代數(shù)中域的定義，即Q,+,®是一個域.但是，這個“乘法”法則不是“負負得正”，而是“負負得負.”上述反例證明，在確立了有理數(shù)通常的加法法則，并約定有理數(shù)集合連同加法、乘法運算構成一個域的條件下，并不能一定得出“負負得正”的乘法法則.第四種意見證明，如果先確立通常的有理數(shù)的加法

8、法則以及兩個非負有理數(shù)的乘法（及算術中的乘法）法則，然后再把含有負因數(shù)的有理數(shù)乘法定義為一種抽象的運算，并把這種抽象的乘法運算連同算術中的乘法合起來作為整個有理數(shù)的乘法法則，并且約定有理數(shù)集合連同加法、乘法運算構成一個域，那么就能推導出通常的有理數(shù)乘法法則，自然也就推出了“負負得正”.具體推導過程如下：由于約定了有理數(shù)集合連同加法、乘法運算構成一個域，根據(jù)分配律(1)X1=(12)X1=1X12X1=12=1,(1)X2=(1)X(1+1)=(1)X1+(1)X1=1+(1)=-2,(1)X(1)=(1)X(12)=(1)X1(1)X2=1-(-2)=-1+2=1,因此，（-1）X（1）=10

9、在此基礎上，由父換律和結合律可以推出任何兩個負數(shù)相乘的法則，即兩個負有理數(shù)相乘，結果（積）是一個正有理數(shù)，其絕對值等于相乘兩數(shù)的絕對值的乘積.這種意見中，作為推理依據(jù)除了確定加法法則及部分乘法法則外，還有“有理數(shù)集合連同加法、乘法運算構成一個域”這個重要的約定，然而，在乘法法則尚未確定之前，就做出這個約定在邏輯上是否合適呢？應先完全確定有理數(shù)的加法和乘法的具體法則，才能根據(jù)域的定義判斷Q,十,X是一個域，這是一種合乎邏輯的推理順序.而像上面那樣先約定Q+,X是一個域，再由約定去確定乘法法則的過程，恰與正常的推理順序相反.這樣進行本未倒置的分析，目的在于說明確定乘法法則的一種意圖，即使新確定適用

10、于Q的乘法法則與已有的算術中的乘法法則不矛盾，并且能使Q+,X是一個域.這樣的分析只能說明確定有理數(shù)乘法法則的思想背景，而不能認為是合乎邏輯地導出了有理數(shù)的乘法法則.代數(shù)中類似上面那樣說明某種規(guī)定的背景的例子有許多，例如下面的對規(guī)定a0=1(aw0)的解釋.我們已知，同底數(shù)幕除法法則，即am+an=am-n(aw0,m、nCN+,m>n)。如果這一法則在aw0,m、nN+,m=n時也適用，則有am+aam-Ja0另一方面，顯然有am+am=1o于是，規(guī)定a°=1(aw0).這里的“這一法則在aw0,m、nCN+,m=n時也適用”事先缺乏根據(jù)，而只是一種假設，借以作為后面如何具體定義0指數(shù)幕的背景.因為“這一法則在aw0,m、nCN+,m=n時也適用”這個前提條件，在未定義0指數(shù)幕前還未落實，所以不能認為由這個空中樓閣可以推導a0=1(a*0),否則就犯了推理理由不真實和循環(huán)論證的邏輯錯誤.這個問題與前面第四種意見的做法是